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双曲复数与Cauchy—Riemann方程
摘要: 利用Clifford 代数的双曲虚单位引入双曲复数和双曲复平面的概念，并讨论了它
们的性质，然后给出了Cauchy-Riemann方程的几种不同的表达形式.
关键词: Clifford 代数;双曲复数; 双曲复平面; Cauchy—Riemann方程

用Clifford 代数表述非欧几何及近代物理的有关问题已经成为人们关注的课题.文献［2］以 Clifford 代数为工具，讨论 Minkowski空间的几何性质及狭义相对论的时空结构.文献［3］介绍了双曲复数，双曲复变函数及双曲正则函数，并且给出了Cauchy-Riemann方程的代数表达式，本文在此基础上给出了Cauchy-Riemann方程的极坐标表达式、向量形式和旋量形式的表达式，为讨论双曲正则函数奠定了基础.
1 双曲复数与双曲复平面
1．1 双曲复数的性质
形如的数，称为双曲复数，其中(实数域)，为Clifford 代数的双曲虚单位，有，将双曲复数的全体记为，是Clifford 代数的偶子代数.事实上，Clifford 代数是基为的4维实代数，基元素的乘法表为：

1

-1
1
基元素生成的子空间由纯量、向量和、以及双向量组成，且.令(称为偶部)，，(称为奇部)，则.偶部不仅是子空间而且是子代数，它有形如的元素组成，这里且，所以的偶子代数同构于，记.
定义的加法和乘法运算为:

---------------------------------
的加法和乘作成二维实交换代数.
定义的内积为：
.
特别地， ，令，则有
或 .
若设，，则是的子空间，且有，.的所有零因子所成的集为，和互为共轭零因子集，即，作为的子代数均与实数域同构，有同构映射：
.
，有逆元.
定理1 关于的乘法作成Abel群.
1．2 双曲复平面的对称性
与双曲复数对应的平面称为双曲复平面，又称平面.引入二元实函数，则平面成为一个Minkowski平面. 定义它的间隔数为，
间隔数为0的数称为迷向数，平面的迷向数所成的集合恰为二维实代数的所有零因子所成的集合，平面的迷向数将平面分为四个部分，记为

，

中的非零元均为非迷向数，定义非迷向数的示向数为

平面的间隔数与传统的模长()概念不同，它具有如下性质：
为迷向数；
；

其中
定义其幅角为
，
任意非迷向数的指数式及双曲函数表达式依次为

直角坐标与极坐标的转化关系为

所有迷向数所成的集合为有，为平面上的两正交直线，由原点将其分为四个部分，记为：
，
，
，
.
的示向数为

定义其迷向间隔为，则，可以表示为.
时，定义迷向距离

定理2 具有如下性质：
(1)关于的加法作成有恒等元的半群，且相互同构.
(2)是半环上的半线性空间，且相互同构.
(3) 在上定义二元运算

则成为半环上半线性空间，且相互同构.其中
.
由双曲复平面的对称性可知，双曲复平面的若干性质可以借助某个加以讨论.
1．3 双曲复数的矩阵表示
在几何代数中向量旋转角可表示成
，
分量为

写成矩阵形式为

复数的矩阵表达式为
，，.
这时，
因此有 ，.
2 Cauchy-Riemann方程
2．1 代数形式的Cauchy-Riemann方程
称为双曲复变函数，其中都是实变量的实值函数，分别叫作的实部与虚部.如果在某个内是连续可微的，则在该内连续可微的，且

其中，，
由于沿任意方向趋于零时极限都存在，所以
当取时，
当取时，
比较上面两式有 ， (2.1)
它是最简单的一阶双曲型方程组，它与椭圆型方程理论中的Cauchy-Riemann方程组相对应，称之为双曲型方程理论的Cauchy-Riemann方程组，简称为C.-R.方程，把C.-R.方程的连续可微的解称为双曲正则函数.
C.-R.方程(2.1)能被简写成
. (2.2)
定理3 设在某个内有定义，则在点可微的充要条件是在点可微，且满足，这时.
证明 略.
令，则，

故C.-R.方程(2.1)又能被简写成 (2.3)
定理4 设函数在平面内可微，以下两个条件是等价的：
(1) .
(2)
2．2 极坐标形式的C.-R.方程
由平面的对称性只须在中讨论即可.
为方便令，则，它的双曲函数表达式为
，
直角坐标与极坐标的转化关系为
。
函数又可以表示成.
此时， ，
，
，
，
由(2.1) 知 . (2.4)
此为C.-R.方程在极坐标系下的表达形式.
定理5 设，，若在点可微，且满足(2.4)，则在点是可微的且

证明 仅在内讨论，同理可以证明其它三种情况.
，令，，它们有一阶连续偏导数，且，由反函数存在定理知存在唯一的具有一阶连续的偏导数的反函数组，所以在点可微，且有
， ，
，
又因为在点可微，则复合函数在点可微，且同理有，故在点是可微的.

2．3 向量形式的C.-R.方程
由(2.2)知，，左乘和右乘，利用的结合性和反交换性，有 (2.5)
此为向量到的C.—R.方程的表达式.
注意这里 .
定义1 若二元实函数在点存在对自变量的偏导数，则称向量为在点的梯度，记作grad.
定义9 若二元实函数在某个内有二阶连续偏导数且满足Laplace方程，则称该内的调和函数.
定理6 若向量是调和函数的梯度，则有.
证明 grad，故，
而，因此；
又，由于二阶偏导数连续，故，所以有.
向量到Clifford代数的偶部的C.—R.方程表示为. (2.6)
2．4 旋量形式的C.-R.方程
由复数的矩阵表示知， ，
且满足：，向量对应着旋
，
这里
，
即是幂等的.
旋量空间是的左理想，这是因为.又由于 ，故有

由于，, 故有
. (2.7)
此为旋量空间中的C.—R.方程表达式.
定理7 设函数在平面内可微，以下个条件是等价的
(1) .
(2) .

参 考 文 献

[1] Baylis W E. Clifford(Geometric) Algebra with Applications to Physics, mathematics,and engineering[M]. Birkhauser, Boston,1996.
[2] 李武明. Clifford 代数与Minkowski空间的性质[J]. 吉林大学学报，2000,(4)：13—16.
[3] Wen Guocoshun,Luo Zhaofu. Hyperbolic Complex Functions and Hyperbolic Pseudoregular Functions. 宁厦大学学报，1998(1)：12—18.
[4] Yu Xuegang and Li wuming, The Four-dimensional Hyperbolic Spherical Harmonics[J]. Advances in Applied Clifford Algebra, 2000, 10(2):163-171
[5] Pertti Lounesto. Clifford Algebras and Spinor[M] . CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS ,1996
[6] 闻国椿. 非线性偏微分复方程. 北京：科学出版社，1999.
[7] 于学刚. 双曲复函与相对论［J］，数学物理学报，1995,15 (4)：435-441.

The Hyperbolic Complex and Cauchy—Riemann Equation

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