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定义新运算
定义:定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。
　　如：　设a△b=a+b+ab
　 3△2=3+2+6=11
　　 5△5=5+5+25=35
例题
　　定义新运算可以作为一类数学问题，如：
　　x,y表示两个数,规定新运算"*"及"△"如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中 m,n,k均为自然数,已知 1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)*3的值.
　　分析 我们采用分析法,从要求的问题入手,题目要求(1△2)*3的值,首先我们要计算1△2,根据"△"的定义:1△2=k×1×2=2k,由于k的值不知道,所以首先要计算出k的值.k值求出后,1△2的值也就计算出来了,我们设1△2=a.
　　(1△2)*3=a*3,按"*"的定义: a*3=ma+3n,在只有求出m,n时,我们才能计算a*3的值.因此要计算(1△2)* 3的值,我们就要先求出 k,m,n的值.通过1*2 =5可以求出m,n的值,通过(2*3)△4=64求出 k的值.
　　解 因为1*2=m×1+n×2=m+2n,所以有m+2n
　　=5.又因为m,n均为自然数,所以解出:
　　①当m=1,n=2时:
　　(2*3)△4=(1×2+2×3)△4
　　=8△4=k×8×4=32k
　　有32k=64,解出k=2.
　　②当m=3,n=1时:
　　(2*3)△4=(3×2+1×3)△4
　　=9△4=k×9×4=36k
　　所以m=l,n=2,k=2.
　　(1△2)*3=(2×1×2)*3
　　=4*3
=1×4+2×3
=10.
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5，2×3＝6。都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.
例1 设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，
①求 3△2， 2△3；
②这个运算“△”有交换律吗？
　　③求（17△6）△2，17△（6△2）；
　　④这个运算“△”有结合律吗？
　　⑤如果已知4△b＝2，求b.
　　分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：① 3△2＝ 3×3-2×2＝9-4＝ 5
　　2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.
②由①的例子可知“△”没有交换律.
③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再计算第二步
　　39△2＝3 × 39-2×2＝113，
　　所以（17△6）△2＝113.
　　对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6-2×2＝14，其次
　　17△14＝3×17－2×14＝23，
　　所以17△（6△2）＝23.
④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5.
例2 定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；
　　②求12※（3※4），（12※3）※4；
　　③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.
解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.
②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，
　　所以 12※（3※4）＝43.
　　对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；
　　b※a＝b×a－（b＋a）
　　＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）
　　所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.
　　由②的例子可知，运算“※”没有结合律.
　　④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；
　　3※（5※x）＝3※（4x－5）
　　＝3（4x－5）－（3＋4x－5）
　　＝12x－15－（4x－2）
　　＝ 8x－ 13
　　那么 8x－13＝3
　　解出x＝2.
③这个运算有交换律和结合律吗？
例3 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.
　　分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.
(1△2)*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出 k的值.
解：因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n
　　=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：
　　①当m=1，n=2时：
　　（2*3）△4=（1×2+2×3）△4
　　=8△4=k×8×4=32k
　　有32k=64，解出k=2.
　　②当m=3，n=1时：
　　（2*3）△4=（3×2+1×3）△4
　　=9△4=k×9×4=36k
　　所以m=l，n=2，k=2.
　　（1△2）*3=（2×1×2）*3
　　=4*3
　　=1×4+2×3
　　=10.
在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.
例4 已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。
　　分析与解：这是一道很简单的题，把a=9，b=2代入新运算式，即可算出结果。但是，根据四则运算的法则，我们可以先把新运算“※”化简，再求结果。
　　a※b=（a+b）-（a-b）
　　=a+b-a+b=2b。
所以，9※2=2×2=4。
由例1可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。
例5 定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb，
　　其中a，b为任意两个数，k为常数。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。
　　（1）已知5⊙2=73。问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？
　　（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，
　　即新运算“⊙”符合交换律？
　　分析与解：（1）首先应当确定新运算中的常数k。因为5⊙2=3×5+5×5×2+k×2
　　 =65+2k，
　　所以由已知 5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定义的新运算是：a⊙b=3a+5ab+4b。
　　8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244，
　　5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。
　　因为244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。
　　（2）要使a⊙b=b⊙a，由新运算的定义，有
　　3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，
　　3a+kb-3b-ka=0，
　　3×(a-b)-k(a-b)=0，
　　(3-k)(a-b)=0。
　　对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。
　　当新运算是a⊙b=3a+5ab+3b时，具有交换律，即　a⊙b=b⊙a。
　　例6 对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。
　　比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。
1） 求12☆21的值；
（2） （2）已知6☆x=27，求x的值。
　　分析与解：（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81；
　　（2）因为定义的新运算“☆”没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入表达式求x，只能用推理的方法。
　　因为6☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6与x的最大公约数（6，x）只能是1，2，3，6。所以6与x的最小公倍数[6，x]只能是28， 29， 30， 33。这四个数中只有 30是 6的倍数，所以 6与x的最小公倍数和最大公约数分别是30和3。因为a×b=[a，b]×（a，b），
　　所以6×x=30×3，由此求得x=15
　　例7 a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转90°，d表示不转。定义运算“◎”表示“接着做”。求：a◎b；b◎c；c◎a。
　　分析与解： a◎b表示先顺时针转90°，再顺时针转180°，等于顺时针转270°，也等于逆时针转90°，所以a◎b=c。
　　b◎c表示先顺时针转180°，再逆时针转90°，等于顺时针转90°，所以b◎c=a。
　　c◎a表示先逆时针转90°，再顺时针转90°，等于没转动，所以c◎a=d。
　　对于a，b，c，d四种运动，可以做一个关于“◎”的运算表（见下表）。比如c◎b，由c所在的行和b所在的列，交叉处a就是c◎b的结果因为运算◎符合交换律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的结果。
　　例8 对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1， g（b）=b×b。
　　（1）求f（5）-g（3）的值；
　　（2）求f（g（2））+g（f（2））的值；
　　（3）已知f（x+1）=21，求x的值。
　　解：（1） f（5）-g（3）=（2×5+1）-（3×3）=2；
　　（2）f（g（2））+g（f（2））
　　 =f（2×2）+g（2×2+1）
　　 =f（4）+g（5）=（2×4+1）+（5×5）=34；
　　（3）f（x+1）=2×（x+1）+1=2x+3，
　　由f（x+1）=21知2x+3=21，解得x=9。
1、设a、b都表示数，规定a◎b＝5×a－3×b，求：
（1）6◎4，4◎6 （2）（19◎6）◎2， 19◎（6◎2）
2、已知2△3＝2×3×4，4△2＝4×5，那么，（6△3）－（5△2）是多少？
3、规定a※b＝a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+…+(a+b－1)，（a和b都是自然数），如果c※10=75,那么c＝？
4、设a▽b＝a×b+a-b,求5▽8
5、对于两个数a、b，a⊙b表示b×5-a×2,计算
（1）29⊙57， （2）38⊙（14⊙23）
6、若3◆4＝3+4+5+6，6◆5＝6+7+8+9+10，计算：
（11995◆5 （2）95◆x＝585 （3）x◆3=5973，求x
7、已知1☆6＝1×2×3×4×5×6，6☆5＝6×7×8×9×10，按此规定，计算
（2☆5）÷（6☆4）
2008-11-15 07:07
　1 规定a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5。
　　2 定义运算“△”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b。例如：
　　4△ 6=(4，6)＋[4，6]=2＋12=14。
　　根据上

面定义的运算， 18△12等于几？
　　3 两个整数a和b，a除以b的余数记为a7 b。例如，13 5=3。根据这样定义的运算，(26 9) 4等于几？
　　4 规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3 5=3。请计算下式：
　　[(70 3)△5]×[ 5 (3△7)]。
　　5 对于数 a， b， c， d，规定〈a， b， c，d〉=2ab-c＋d。已知〈1，3，5，x〉=7，求x的值。
　　6 规定： 6* 2=6＋66=72，
　　2*3=2＋22＋222=246，
　　1*4=1＋11＋111＋1111=1234。
　　求7*5。
　　7 如果用φ(a)表示 a的所有约数的个数，例如φ(4)=3，那么φ(φ(18))等于几？
　　8 如果a△b表示(a-2)×b，例如
　　3△4=(3-2)×4=4，
　　那么当( a△2)△3=12时， a等于几？

　　10 对于任意的两个自然数a和b，规定新运算“*”：
　　a*b＝a(a＋1)(a＋2)…(a＋b-1)。如果(x*3)*2＝3660，那么x等于几？
　　11 有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3。这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A•B，输入1后，经过A•B，输出3。
　　(1)输入9，经过A•B•C•D，输出几？
　　(2)经过B•D•A•C，输出的是100，输入的是几？
　　(3)输入7，输出的还是7，用尽量少的装置该怎样连接？

定义新运算教案
一、提出课题：
同学们一定对+、-、×、÷很熟悉了。如2+4=6、2×4=8，都是2和4参加运算，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，所对应的法则不同。
二、新授、练习。
除了这四种运算外，还可以定义新运算。
例1：设a、b都表示数，规定a△b表示a的4倍减去b的3倍，
即a△b=4×a -3×b。试计算5△6，6△5.
解析：由定义转换等式可知，“△”表示：把△前面的数乘4，再把△后面的数乘3，最后把两次乘得的积相减。
解：5△6=4×5-3×6=20-18=2
6△5=4×6-3×5=24-15=9
说明：① 定义新运算是指在题目中用“△”“*”“⊙”等特殊符号连接的数的运算，有别于四则运算。我们必须把这种特殊符号在每道题中所规定的新的运算规则转换为四则运算，才能计算得到答案。
②例1定义的△没有交换律，计算中不得将△前后的数交换。
做一做：
1、设a、b为两个自然数，定义一种新运算“*”，规定：a*b=5a+2b，求8*6等于多少？
2、规定：a※b=3×a-b÷3，那么10※9=？
例2：对于两个数a、b，规定a⊙b表示3×a +2×b。
试计算（5⊙6）⊙7，5⊙（6⊙7）
解析：在计算中要先算小括号里面的，再算小括号外面的。
解： （5⊙6）⊙7 5⊙（6⊙7）
=（3×5 +2×6）⊙7 = 5⊙（3×6 +2×7）
= 27⊙7 = 5⊙32
= 3×27 +2×7 = 3×5 +2×32
= 95 = 79
说明：本题定义的运算不满足结合律，这是与常规的运算有区别的。
做一做：
3、定义一种新运算“△”，规定：a△b=（a+b）×2，
求（1）2△7△4 （2）3△（2△5）
4、定义一种新运算“＃”，规定：a＃b= a×b+a+b，
求（1）6＃2 （2）（1＃2）＃3
5、对于数a、b定义新运算“⊙”，规定：a⊙b=(a-3) ×(b+2)，
求6⊙（4⊙3）
6、对于任意两个整数a、b，定义两种运算“△”“⊙”，
规定：a△b= a×b-3，a⊙b= a+b-3。求6△（2⊙5）
例3：已知2△3=2×3×4，4△2=4×5，一般地，对自然数a△b表示a×（a+1）×…×（a+b-1）.计算：（6△3）-（5△2）
解析：通过观察可以发现，“△”这个特殊符号在这道题中所规定的定义是求几个连续的自然数的积。2△3表示从2开始连续3个数的积，4△2表示从4开始连续2个数的积。
解： （6△3）-（5△2）
= 6×7×8-5×6
= 336-30
= 306
做一做：
7、已知1○4=1+2+3+4 ， 4○5=4+5+6+7+8 ，按此规定，2001○5=？
8、如果2☆4=2345 ，5☆3=567 ，7☆2=78 ，那么：（4☆6）-（3☆5）=？
9、“※”表示一种新的运算符号，已知：2※3=2+3+4；7※2=7+8;3※5=3+4+5+6+7;
……;
按此规则，如果n※8=68，那么n等于多少？
补充例题4：
已知：4◇2=4+44=48 3◇4=3+33+333+3333=3702 5◇3=5+55+555=615
求：6◇5=？
解： 6◇5
= 6+66+666+6666+66666 ………… （用到前面学习的速算与巧算）
= 6×（1+11+111+1111+11111）
= 6×12345
= 74070
做一做：
10、如果：3＃2=3+33=36 2＃3=2+22+222=246 1＃4=1+11+111+1111=1234
那么：4＃5=？
补充例题5：
有一种数学符号◎，使下列算式成立：8◎4=28 ， 7◎6=27 ，10◎8=38
求：12◎8=？
解析：要找出符号◎所规定的运算定义是解题的关键，8×3+4=28；7×3+6=27；10×3+8=38，这就说明a◎b=a×3+b
解：12◎8=12×3+8=44
做一做：
11、有一种数学运算符号⊙，使下列算式成立：2⊙4=8 ，5⊙3=13 ，9⊙7=25 ，那么6⊙4=？
练习：
12、对于任意自然数，定义：n！=1×2×……×n。例如: 4！=1×2×3×4。
那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是几？
13、对于两个不相等的自然数，定义运算a#b，表示将a、b中较大的数除以较小的数，结果取其余数，比如：9#5=5#9=4，18#6=6#18=0。如果X#13=3，且X<20，那么X等于多少？
14、有A、B、C、D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数，装置A将输入的数加上5，装置B将输入的数乘2，装置C将输入的数减去4，装置D将输入的数乘3，这些装置可以连续使用，如A·B表示数字先经Ａ处理再经B处理，问：
（1）输入7，经过A·B·C·D输出几？
（2）一个数经过B·C·A·D后输出159，输入的数是几？