第三讲 复数域上的极限与连续.doc

第三讲 复数域上的极限与连续
一．定义距离(两个复数之间的距离)
两个复数的距离为
.
有了两个复数之间的距离后,容易得出下面的结论
(如图2.1).
二．复数序列的极限
复数列,存在,使得
对,当时,有.
图2.1
引理 若,则
.
三．复函数的极限
定义 设单值函数,是D的一个聚点(非孤立点).若对于,,当时,有,则称当时以A为极限,记为
.
引理 设,,则有
.
四．复函数的连续
定义 设定义在复数集D上,是D的一个聚点,若,则称在点连续.
注:若点是D的一个孤立点,则在点连续.

引理 复函数在点连续函数在点连续.
复函数在点集D上的每一点连续,则是D上的连续函数.
五．复级数
定义 设复数列,复数项级数的前项之和,
然而得部分和序列,级数和,即.

引理 复数列,若,,有
.
绝对收敛:级数收敛,则称绝对收敛.
级数绝对收敛当且仅当级数和级数收敛.

六．复函数列
设复函项级数,在点,使复数列收敛,则称复函数列在点收敛,称为复函数列的收敛点.收敛域={所有收敛点}.
复函项级数绝对收敛收敛.

补充内容:实数域上有

下面把上面的情况推广到复数域上:
(1)形式上的令()
由得.
下面是对Euler公式的严格定义和证明:
设,对,令得到序列,不妨设,那么
(1)
再对实数序列进行分析,收敛于,因为收敛,由柯西准则有

由(1)可知也是柯西序列,所以收敛.记的极限为,
即定义

级数收敛且绝对收敛,收敛域为整个复数域.
(2)形式上的令
定义序列,利用上面同样的方法,可得
(3)同理,也有
由(1)(2)(3)得证(Euler公式).

练习:
1. 设
(1)表示为实部虚部的形式;
(2)求;
(3)求的Euler指数表示;
(4)的三角表达式;
解 (1),.
(2);
.
(3).
(4).
2. 求(1);(2);(3);(4).
解 (1).
(2).
(3).
(4).
3. (1);(2);(3).
解 (1)
当时,;
当时,;
当时,.
(2).
(3).