直线的倾斜角与斜率.doc

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《直线的倾斜角与斜率》
教学设计

《直线的倾斜角与斜率》的教学设计
一．教学目标:
　　（1）了解直线方程的概念．
　　（2）正确理解直线倾斜角和斜率概念．理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率．
　　（3）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
　　（4）通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．
　　（5）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
二．教学建议
1．教材分析
（1）知识结构
　　本节内容首先根据一次函数与其图像——直线的关系导出直线方程的概念；其次为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而实现了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经过两点的直线的斜率公式．这些充分体现了解析几何的思想方法．
（2）重点、难点分析
　　①本节的重点是斜率的概念和斜率公式．直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用．因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键．　　　
②本节的难点是对斜率概念的理解．学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不容易接受．

4.教学方法：启发引导法，讨论法
三．教学过程：
y
x
B(1,3)
y=2x+1
（一）直线方程的概念
　　如图1，对于一次函数y=2x+1，和它的图像——直L线有下面关系：
　　（1）有序数对（0，1）满足函数y=2x+1，则直线上就有一点A，它的坐标是（0，1）．
　　（2）反过来，直线上点B（1，3），则有序实数对（1，3）就满足y=2x+1． 
　　一般地，满足函数式y=kx+b的每一对x，y的值，都是直线上的点的坐标（x，y）；
　　反之，直线上每一点的坐标（x，y）都满足函数式y=kx+b，因此，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b的每一对x，y的值为坐标的点构成的．
　　从方程的角度看，函数y=kx+b也可以看作是二元一次方程y-kx+b=0，这样满足一次函数y=kx+b的每一对x，y的值“变成了”二元一次方程y-kx+b=0的解，使方程和直线建立了联系．
　　定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．
以上定义改用集合表述：x，y的二元一次方程的解为坐标的集合，记作F．
若（1） CF（2）FC ，则C=F．
　　问：你能用充要条件叙述吗？
　　答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……．
（二）直线的倾斜角
【问题1】
请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同．
Y=x+1；y=2x+1;y=-x+1
　　过定点，方向不同．
　　如何确定一条直线？
　　两点确定一条直线．
　　还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？
学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度．
【导入】
　　今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向．
【问题2】
　　在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的．
　　学生：展开讨论．
　　学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导．
　　通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向．根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角．从而得到直线倾斜角的概念．
【板书】
　　定义：一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫做直线L的倾斜角．
　　（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）X轴的正方向，（3）最小正角．）
特别地，当L与X轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．
　　由此定义，角的范围如何？
　　0°≤α＜180°或0≤α＜π   如图3

至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的．
（三）直线的斜率
【问题3】
　　下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程．然后观察思考：
直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？
　　学生：在练习本上画出直线，写出方程．
　　 30° y=x
45° y=x
135° y=-x
　　（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．）

【作业】
　　　思考题
　　（1）方程是单位圆的方程吗？
　　（2）你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？
　　（3）你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？
　　（4）你能说出过（1，1）点，斜率是2的直线方程吗？
板书设计
直线的倾斜角和斜率
一、直线方程
二、直线的倾斜角
三、直线的斜率
四、斜率公式
练习
小结
作业

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