1、大量,为此,我们称这类极限为“不定型”,我们知道:两个无穷小量或两个无穷大量的商的极限,随着无穷小量或无穷大量的形式不同,极限值可能存在、也可能不存在、可能是无穷小量、也可能是无穷记为:1以下各类极限称为不定型的极限：其中,不定型的极限2倒数法取对数法只需讨论这两种极限3罗必达法则罗必达法则设在某一极限过程中4解释：是指：5运用罗必达法则时的注意事项在运用罗必达法则时,但也不是无穷大,则不能说明在.此时应重新另找其它方法进行计算.罗必达法则只限于求其它类型的不定型应首先化成这两种形式才能用罗必达法则.6在运用罗必达法则求极限过程中,极限存在并且不等于零的因子可以提出来,这样可使问题简化.在运用
2、罗必达法则求极限过程中,尽可能运用等价无穷小替代方法,它往往可使问题得到明显的简化.7如果在使用罗必达法则后,则条件,则可继续使用罗必达法则.使用罗必达法则要注意观察条件是否满足,不然会出错.8此题不用罗必达法则也可作:分子加1 减1,然后运用等价无穷小替代即可.例1解解9例2解解10不存在,故不能用罗必达法则求此极限.实际上小 心！例3解解11(化简)在使用罗必达法则时,要注意进行化简工作,它会使问题变得简单.连续使用罗必达法则例4解解12例6解解极限不等于零的因子13 如果 n 不是 正整数,怎 么办？例7解解14倒数法.用另一种形式颠倒行不行?行,但繁些.存在一个选择问题.例9解解15这
3、种形式可以直接通分.该题也可 用倒数法例10解解16运用取对数法.例11解解1718运用取对数法.例12解解19一、导数的简单应用一、导数的简单应用2021由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道:二、函数的单调性22观察下面的图形,你能得出什么结论？23综上所述,可知:在讨论函数的单调性时，一般先求出函数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点,然后按这些点将所讨论的区间分成小区间,在每个小区间内函数只有一种单调性,利用导数符号判断函数是单调增加还是单调减少.提供了判断函数单调性的方法24例1解25 列表可使问题明朗化列表可使问题明朗化26又故从而即例14证证27则又且故即例15证证证证28极值的定义
4、29三、函三、函 数数 的的 极极 值值函数的极值是个局部性的概念.我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式:费马定理 可微函数取极值的必要条件函数的单调性判别定理和方法泰勒公式 可利用高阶导数30定理31判别函数的极值点,主要是判别极值可疑点左、右对于可微函数将归结于判别函数的导数的符号.两侧函数的单调性.32(单调增加)(单调减少)(单调减少)(单调增加)定理33此时应另找其他方法.什么方法？高阶的泰勒展开式？定理34列表讨论单调性,判别极值:例5解35极小极小极大自己总结求极值的步骤36例6解37怎么办？例7解38首先看看函数的图形.由图形可知:不是函数的极值点.问题在于如何进行解析描述
5、.我们再看一下泰勒公式：39就是说：40综上所述,41在工程技术和生产实践中,常常需要考虑在一定条件下,怎样才能使用料最少、费用最省,而效率和效益最高等问题.这些问题反映到数学上就是最优化问题.优化技术应用价值很大三、函三、函 数数 的的 最大、最小值最大、最小值42求最值的几个特殊情况求最值的几个特殊情况极大(小)值点,则该点就是函数的最大(小)值点.43实际判断原则实际判断原则44计算函数值:(端点值)例8解45 没有什么新的东西46我们说一个函数单调增加,你能画出函数所对应的曲线的图形吗?!.一、曲线的凹凸性、拐点47它的图形的形式不尽相同.一般说来,对于一个区间上单调的函数的图形都存在
6、一个需要判别弧段位于相应的弦线的“上方”或“下方”的问题.在数学分析中将这种问题称为曲线在数学分析中将这种问题称为曲线(函数函数)的凹凸性问题的凹凸性问题.48简单地说,在区间 I 上:曲线弧段位于相应的弦线上方时,称之为凸的;曲线弧段位于相应的弦线下方时,称之为凹的.凸凹49成立,则称曲线在区间 I 上是凸的;成立,则称曲线在区间 I 上是凹的.定义定义定义定义50能不能根据函数的二阶导数的符号来判别函数所对应的曲线的凸凹性呢？51定理在运用该定理时要注意：在运用该定理时要注意：但仅在个别孤立点处等于零但仅在个别孤立点处等于零,则定理仍然成立则定理仍然成立.52例3解解53连续曲线上凸弧与凹
7、弧度分界点,称为曲线的拐点.2.曲线拐点的定义及判别法54定理(判别拐点的充分条件)根据拐点的定义立即可证明该定理.55定理(判别拐点的充分条件)56 求拐点一般步骤57拐点拐点例4解解5859例6解解60若动点 P 沿着曲线 y=f(x)的某一方向无限远离坐标原点时,动点 P 到一直线 L 的距离趋于零,则称此直线 L 为曲线 y=f(x)的一条渐近线.二、曲线的渐近线定义定义定义定义61曲线的渐近线水平渐近线垂直渐近线斜渐近线6263水平渐近线64这里的极限可以是垂直渐近线65想想：怎么求 a,b?66这里的极限过程可以是以上的极限实际是 斜渐近线67 曲线可以穿过其渐近线.例8解解68例9解解69曲线无水平渐近线(函数间断)曲线有斜渐近线吗？例10解解70请同学课后自己绘出此函数的图形.71例12解解极大拐点72曲线无水平渐近线.7374
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