1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,在经典控制理论中，系统的数学模型是建立在传递函数基础上的，而传递函数的概念是建立在拉氏变换基础上的，所以拉氏变换是经典控制理论的数学基础。,直接解微分方程,复习拉普拉斯变换,(,附录,C),2,1,、拉普拉斯变换定义,设,f(t),是,时间,t,的函数，当,t0,时，,f(t)=,0,；,则,f(t),的拉普拉斯变换定义为：,是 的,象函数,，或称 的拉普拉斯变换。,是 的,原函数,或拉普拉斯反变换。,式中 是复变量,s,j,w,变换对：,f,(,t,),F,(,s,),电压：,u,(,t,),U,(,
2、s,),电流：,i,(,t,),I,(,s,),3,常采用的典型信号的函数图像,（,a,）单位阶跃信号,（,c,）单位加速度信号,（,b,）单位斜坡信号,（,d,）单位脉冲信号,4,例,1,阶跃函数的拉氏变换,1,t,0,f(t),单位阶跃函数,已知单位阶跃函数为：,则有：,可得反变换,:,5,例,2,求指数函数的,拉,氏变换,于是可得反变换,已知指数函数为：,则有,:,6,例,3,求斜坡函数的拉氏变换,1,1,t,y(t),已知单位斜坡函数为：,单位斜坡函数,则有：,于是可得反变换：,推广,7,例,4,时间迟延,函数的拉氏变换,延迟,a,个时间单位,可表示成,则可完成以下变换,即,a,t,f
3、t),0,图 延迟函数,于是,如令,8,例,5,单位脉冲函数的拉斯变换,单位脉冲函数为：,单位脉冲函数的拉普拉斯变换为,9,(t,),1,1(t),常用函数拉氏变换对照表,原函数,f(t),象函数,F(S),详见,P275,附录,B,10,线性性质,线性系统的主要特征是具有,齐次性,和,叠加性,。,2,、拉氏变换的性质,例,解：,例：,已知 ，求 的拉氏变换。,解：,11,如,2,、微分性质,表明,：,函数,f,(,t,),求导后的拉氏变换是原函数的象函数乘以复量,s,，再减去原函数,f,(,t,),在,0,时的值。,推广：,12,13,14,解,对方程取拉氏变换，,得,即,例：,设有方程,
4、15,3,、积分性质,表明,：,一个函数积分后的信号拉氏变换等于原函数的象函数除以复量,s,。,如,则,16,4,、位移性质,若 ，则,例,求,的拉氏变换。,解：,因为,故：,17,5,、延时性质,如图所示，原函数沿时间轴,平移,，平移后的函数为,f(t-),18,拉氏变换基本定理,相似定理,终值定理,初值定理,积分定理,微分定理,位移定理,线性定理,延时定理,指数函数的拉氏变换,19,课堂练习,1,、求拉氏变换,解,：,2,、,3,、,20,3,、拉普拉斯反变换,如果 能分解成 为如下形式,并假定各分项的,拉氏反变换可以容易地求出，那么,对于一般形式的,拉普拉斯变换如何求其反变换？,由象函数
5、F(s),求原函数,f(t),的运算叫拉普拉斯反变换。,21,例 已知,，求,解,.,解得：,留数法,系数比较法（解系数方程）,22,拉普拉斯反变换,留数法,一般有,设,其中：,-P,i,是,A(s)=,0,的根,1.,当 的所有根均为不同实根时,等式两边分别乘以,（,s+p,i,),23,拉普拉斯反变换练习,1,像函数,部分分式展开为,因此,24,解,对方程取拉氏变换，,得,即,例：,设有方程,求上述微分方程的解,y(t),课堂练习,25,所以,y,(,t,)=L,1,Y,(,s,)=4.5e,t,4e,2,t,+0.5e,3,t,解：,26,例,4,已知,，求,解,.,可用,配方（比较系数）,的方法解,2.,当 有共轭复根时,27,拉普拉斯反变换练习,2,像函数,因此,由于,像函数展成,28,3.,当 有重根时,(,以二重根为例,),29,例,设 ，求,f,(,t,),。,解,其中,则,另解,30,例,已知,，求,解,.,31,，求,解,.,课堂练习,32,习题,1,、求拉氏变换,2,、求拉氏反变换,
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