1、直线与圆的位置关系
知识结构
重点、热点
利用切线的性质及判定、切线长定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理进行计算和证明.
目标要求
1.掌握直线和圆的位置关系.
2.掌握圆的切线的判定和性质.
3.掌握并会运用切线长定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理.
4.了解分情况证明数学命题的思想和方法.
【典型例析】
例1.[2002.包头市]如图7.2-1，AB是⊙O的直径，AD⊥CD,BC⊥CD,且AD+BC=AB，
（1） 求证：⊙O与CD相切；
（2） 若CD=3，求AD•BC.
[特色]本题来源于教材，主要考查切线的判定方法及相似三角形的知识.
[解
2、答](1)过O点作OE⊥CD于E.
∵ AD⊥CD， BC⊥CD， ∴ AD∥OE∥BC，
又∵AO=BO， ∴DE=CE，
∴ OE=(AD+BC). 而AB=AD+BC，
∴ OE=OA， 而OE⊥CD， ∴⊙O与CD相切.
(2)连结AE、BE，∵⊙O与CD相切，
∴ OE⊥CD ， ∠ BAE=∠BEC. 而∠ BAE=∠ OEA， ∠ OEA+∠ DEA=90，
∴∠ DEA+∠BEC=90. 又∵AD⊥CD， ∴∠ DEA+∠ DAE=90，
∴∠
3、 DAE=∠BEC， ∴ △AED∽△EBC，
∴AD•EC=DE•BC， 即AD•BC=DE•EC==.
[拓展]证明圆的切线有两种方法（1）利用圆心到直线的距离：当已知条件中未明确给出直线和圆有公共点时，常可过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径；（2）利用切线的判定定理：当已知直线和圆有公共点时，常连结圆心和公共点.证明直线垂直于此半径.求两线段的积，一般考虑相似三角形或与圆有关的比例线段.
例2.[2002.重庆市] 如图7.3-1⊙O为△ABC的内切圆，∠C=,AO的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则⊙O的半径等于（
4、 ）.
A B C D
[特色]本题考查内心的性质.
[解答] 过点O半径OE,则OE∥CD,AE∶AC=OE∶CD,设半径为R,则（4-R）∶4=R∶1,解之得R=,选A.
[拓展]直角三角形内切圆的半径OE=CE.你知道为什么吗？
例3.[2002.济南市]如图7.2-2，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点.
（1） 当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？
（2） 当点D在劣弧的什么位置时，才能使AD=DE•DF，为什么？
[
5、特色]本题是一道条件开放题，主要考查分析、归纳和发散思维能力.
[解答]（1）当PC=PF（或∠PCF=∠PFC或△PCF为等边三角形）时，PC与⊙O相切.
∵ PC=PF ，∠ PCF=∠PFC=∠AFH，
∵ DE⊥AB于点H，
∴∠OCA+∠PCF=∠PAF+∠AFH=90， 即 OC⊥PC，
∴ PC与⊙O相切.
（2）当点D是弧的中点时，AD=DE•DF.
证明： ∵， ∴∠DAF=∠DEA，
又∵∠ADF=∠EDA， ∴△DAF∽△DEA，
∴AD∶DE=DF∶AD， 即
6、 AD=DE•DF.
[拓展] 要善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻同.
例3.[2001.宜昌市]如图7.2-3，已知Rt△ABC的直角边AC的长为2，以AC为直径⊙O的与斜边AB交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E.
（1） 求证：BE=DE；
（2） 延长DE与AC的延长线交于点F，若DF=，求△ABC的面积
（3） 从图(1)中，显然可知BCAC（图3）时，直线DE与AC还会相交吗？若不能相交，请简要说明理由；若能相交，设交点为F，且DF=，请再求出△ABC的面积.
[特色]本题设计了一个动态的问题情景
7、要求运用动与静、变与不变的辨证关系进行探索、发现、类比、推理.从而获得结论.
[解答](1)连结CD， 则CD⊥AB . ∴∠B+∠BCD=90， 而 ∠BDE+∠CDE=90， ∠BCD=∠CDE， ∴∠B=∠BDE， ∴ BE=DE.
（2）OD,由FD=FC•FA 可求得CF=1，∴∠DOC=60,∴∠A=30再解RtABC，得S=（平方单位）；
（3） 图7.2-3-（2）中，连结DC、DO，易证DE∥AC；在图7.2-3-（3）中仿照（2）同理可求得FA=1, S=（平方单位）.
[拓展] 此题还有其它解题方法，请你试一试.
[中考动向前瞻]
本节主要考查直线与圆的三种位置关系、切线的判定、切线的性质、切线长定理及与圆有关的比例线段。考查的题型以计算和证明为主，也有可能以综合题的形式考查，但不会考查繁难的证明和计算。要求在解题过程中不因循守旧，不墨守成规，通过积极思考，创新求索，优化解题策略，活用解题方法.
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