求极限的几种方法论文.doc

有关求极限运算的方法
求极限的几种方法
崔令坤
摘要：极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基础。
关键词：高等数学，极限方法能力。
定义:设函数在点的某个去心邻域内有定义，即存在
1.用极限定义求极限
例1：（1） 用放法证明:
(2) 设
（1）证明：
，要 记
此式可改写成：

用到了二项展开式
得：
当时
至此要，只要 即
故令，则时，有
2） 证明：
当A为有限数时，
因为，故 使得，当n>N时
有

从而，上式
注意：这里 已为定数，因而，
当时，
于是，令，则时

2.用Cauchy准则证明极限：
例：设试证收敛，
证明：
因为对有

，（只要（即）），故令，则时，
有
，收敛
从而，结论得证。
3.利用单调有界原理证明极限存在
要点：单调有界原理单调递增，有上界或，有单调递减，有下界。
例：
证明：数列 单调下降有界，从而有极限。
证明：利用已知不等式

有

故严格单调递减
又因为

即有下界，单调递减，故存在。数列与子列，函数与数列的极限关系
大家都知道数列与子列有如下的极限关系 （当时）任意子列有（当时）
类似的，函数与数列有如下的极限关系：
；
若，则有当时，作为分条件都可以减弱。
例：试证:
证明：只需证明充分性，而必要性显然成立
按已知条件当时，
又，当时，
于是令
，则时恒有
故

5.利用等价代换和初等变形求极限
a 大家在求乘除极限里，其因子可用等价因子代替，极限不变。
最常用的等降价关系如：当时，

（其中），
例：1)
2)
3)
4) 设有限数a,b,A均不为零，证明：的充分必要条件是
解答：1) 解：由于，故
原式=
2） 解：原式=
3） 解：原式=
4）证明：（）左边的极限存在表明：时，，
故

从而有：
===等价代换=====
() 右边的极限存在表明：当时，由于对数函数的连续性可知，
即：
，故有
从而有:

注：等价代换原理，来源与我分数约分，只能对乘除式里的因子进行代换，在分子（分母）多项式里的单项式不可作等价代换，否则会导致错误。
b.利初等变形求极限
要点：用初等数学的方法，将加以变形，然后求极限，主要对进行紧缩。
例：求
1）.
2)
3)
4)
1）解：
1）式的右边乘以
得：

从而
（当时，）
2) 解:
2)式乘以，再对分子反复利用

（当时）
从而

从而，有：

4）解：

从而，有：

6.利用已知极限
1）若，则
因为
2）若，则。
因为
Euler常数的经典极限：存在。
例1：求的极限
解：
原式=

（其中C为Euler常数，当时，）
例2：试借用Stirling公式：

来求极限。
解：

从而，有

（其中C为Euler常数）
7 利用变量替换求极限
为了将未知的极限简化，或转化为已知的极限来求，可根据极限的特点，引入新的变量，来替换原来的极限过程，转化为新才极限的过程。
例：若
试证明：
证明：令
则当时，于是

从而有：

8 两边夹法则
当极限不易求出时，可以考虑将极限适当变形。即将极限适当放大或缩小，使原极限变为新的极限，且二者的极限值相同，则原极限存在，且等于此极限值。
例：求极限的值
（1）
（2）
(1) 解:
由于几何平均数小于算术平均数，故分母中的因子

由此可知：
而

9 L’Hospital法则
（1）在使用L’Hospital法则之前，必须考虑它是否属于七种不定型之一。
不定行：“”，“”，“”，“”，否则就不能用它。
例：1）
2）
3）
解：

由L’Hospital法则：
由于
.
（2）L’Hospital法则并不是万能的，有时用L’Hospital法则求不出极限，并等于极限不存在。例如，就是如此。这是因为L’Hospital法则只是充分条件，而不是必要条件。
（3）L’Hospital法则告诉我们，对于型或型,当存在时也存在吗?请看下面的例子
例：求

解：
这是型，但我们并不能根据当时，的极限不存在，就错误地得出也不存在的结论----事实上，显然有。
因此，不存在并不表示本身存在或是不存在，它不仅仅意味着，此时不能使用L’Hospital发展，而应改用其他方法来讨论
（4）型的L’Hospital法则使用时，只需检验分母趋向无穷大即可，分子趋不趋向没有关系。请看下面的例子。
例：设在内可微，且，当时，，且（有限数，或），则
证明：已知，因此保持取，应用Cauchy中值定理，然后令知函数差分比
（当时）. （1）
剩下的问题在于根据，（时），由差分比推出（当时）。
事实上可以改写成
，
因此
（2）
1）若A=有限数，有（2）可得
（3）
保持，令，则使当时，有
.
再将固定，令x继续趋向，据（当时），知，使得时，有
，
由于由（3）

2）若，则x充分接近时，。并且对M=1，当时，有
，
从而：
（当固定令时）
可见
（当时）.
由此可见利用1）中结果，由得出，从而
注：1）这里是的情况，的情况以及的情况亦有类似的结论和证法。由，及的结论，可知时结论也成立。
2）本例虽然称为型的L’Hosptal法则，实际上对于，条件只要求分母，并不一定要求分子。这一点与型的L’Hospital法则不同。
10 利用Taglor公式求极限
例：
1）
2）
3）
1）解：
原式=
2）解：
注意到
令，而；当时，；
从而，原式=
3）解：
原式=
11利用积分定义求极限
例：1）
2）
3）
解1）原式=
2）去对数后变成（积分和里选左端点）

故原式
3） 因为
当时，左端的极限
右端极限
12： 利用级数求解极限问题
（1） 利用收敛级数通次趋向于零
例：
解：因为（当时）
故正项级数收敛，从而通项（当时）
（2） 利用收敛级数余项趋向于零
例：求
解：因为级数收敛，因此其余项

故原极限为零。
（3） 利用级数的收敛性
由于若收敛，则也收敛，因此
极限存在
例：设 证明收敛
证明
对利用Lagrange中值定理公式

因此有
故收敛，从而也收敛。
13 利用连续性求极限
例：求
解：

由于初等函数在有定义的地方皆连续
原极限
12利用两个重要极限求极限
（1） （2）
下面我们来证明这两个结论成立的情况：
（1）证明;
我们先证。首先，对任意，有
，
其中表示x的整数部分。当时，不等式左，右两侧表现为两个数列极限

与

利用函数极限的夹逼性，得到

再证，为此令，于是当时，，从而有

将结合起来，就得到

y
O
A
B
C

（1）

图（1）设的弧度为，由于面积，可以得到。
从而有

显然上式对于也成立。
由于
，
可知。应用极限的夹逼性，得到的

例题：对于的应用
求极限：
解：
例题：对于的应用
求极限：
解：
参 考 文 献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2003.
[2] 吉林大学.数学分析(下册)[M].北京:高等教育出版社,2001.
[3] 同济大学.高等数学（下册，第五版）[M].北京:高等教育出版社,2005.
[4] 数学分析 上册 陈纪修 於崇华 金路 [M]北京：高等教育出版社，1999（2004重印）.
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