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第二节 单个正态总体的假设检验
1.单个正态总体数学期望的假设检验
（1） σ2已知关于μ的假设检验（Z检验法(Z-test)）
设总体X~N（μ，σ2），方差σ2已知，检验假设
H0：μ=μ0；H1：μ≠μ0 (μ0为已知常数）
由
~N（μ，），~N（0，1），
我们选取
Z= （8.2）
作为此假设检验的统计量，显然当假设H0为真（即μ=μ0正确）时，Z~N（0，1），所以对于给定的显著性水平α，可求zα/2使
P{｜Z｜＞zα/2}=α，
见图8-1，即
P{Z＜-zα/2}+P{Z＞zα/2}=α.
从而有
P{Z＞zα/2}=α/2，

P{Z≤zα/2}=1-α/2.
图8-1
利用概率1-α/2，反查标准正态分布函数表，得双侧α分位点（即临界值）zα/2.
另一方面，利用样本观察值x1，x2，…，xn计算统计量Z的观察值
z0=. （8.3）
如果：（a）｜z0｜＞zα/2，则在显著性水平α下，拒绝原假设H0（接受备择假设H1），所以｜z0｜＞zα/2便是H0的拒绝域.
（b） ｜z0｜≤zα/2，则在显著性水平α下，接受原假设H0，认为H0正确.
这里我们是利用H0为真时服从N（0，1）分布的统计量Z来确定拒绝域的，这种检验法称为Z检验法（或称U检验法）.例8.1中所用的方法就是Z检验法.为了熟悉这类假设检验的具体作法，现在我们再举一例.
例8.2 根据长期经验和资料的分析，某砖厂生产的砖的“抗断强度”X服从正态分布，方差σ2=1.21.从该厂产品中随机抽取6块，测得抗断强度如下（单位：kg·cm-2）：
32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03
检验这批砖的平均抗断强度为32.50kg·cm-2是否成立（取α=0.05，并假设砖的抗断强度的方差不会有什么变化）？
解 ① 提出假设H0：μ=μ0=32.50；H1：μ≠μ0.
② 选取统计量
Z=，
若H0为真，则Z~N（0，1）.
③ 对给定的显著性水平α=0.05，求zα/2使
P{｜Z｜＞zα/2}=α，
这里zσ/2=z0.025=1.96.
④ 计算统计量Z的观察值：
｜z0｜= =≈3.05.
⑤ 判断：由于｜z0｜=3.05＞z0.025=1.96，所以在显著性水平α=0.05下否定H0，即不能认为这批产品的平均抗断强度是32.50 kg·cm-2.
把上面的检验过程加以概括，得到了关于方差已知的正态总体期望值μ的检验步骤：
（a） 提出待检验的假设H0：μ=μ0；H1：μ≠μ0.
（b） 构造统计量Z，并计算其观察值z0：
Z=，z0=.
（c） 对给定的显著性水平α，根据
P{｜Z｜＞zα/2}=α，P{Z＞zα/2}=α/2，P{Z≤zα/2}=1-α/2
查标准正态分布表，得双侧α分位点zα/2.
（d） 作出判断：根据H0的拒绝域
若｜z0｜＞zα/2，则拒绝H0，接受H1；
若｜z0｜≤zα/2，则接受H0.
（2） 方差σ2未知，检验μ（t检验法(t-test)）
设总体X~N（μ，σ2），方差σ2未知，检验
H0：μ=μ0；H1：μ≠μ0.
由于σ2未知，便不是统计量，这时我们自然想到用σ2的无偏估计量——样本方差S2代替σ2，由于
~t（n-1），
故选取样本的函数
t= （8.4）
图8-2
作为统计量，当H0为真（μ=μ0）时t~t（n-1对给定的检验显著性水平α，由
P{｜t｜＞tα/2（n-1）}=α，
P{t＞tα/2（n-1）}=α/2，
见图8-2，直接查t分布表，得t分布分位点tα/2（n-1）.
利用样本观察值，计算统计量t的观察值
t0=，
因而原假设H0的拒绝域为
｜t0｜=＞tα/2（n-1）. （8.5）
所以，若｜t0｜＞tα/2（n-1），则拒绝H0，接受H1；若｜t0｜≤tα/2（n-1），则接受原假设H0.
上述利用t统计量得出的检验法称为t检验法.
在实际中，正态总体的方差常为未知，所以我们常用t检验法来检验关于正态总体均值的问题.
例8.3 用某仪器间接测量温度重复5次，所得的数据是1250°,1265°，1245°，1260°，1275°，而用别的精确办法测得温度为1277°(可看作温度的真值），试问此仪器间接测量有无系统偏差？
这里假设测量值X服从N（μ，σ2）分布.
解 问题是要检验
H0：μ=μ0=1277；H1：μ≠μ0.
由于σ2未知（即仪器的精度不知道），我们选取统计量
t=.
当H0为真时，t~t（n-1），t的观察值为
｜t0｜=＞3.
对于给定的检验水平α=0.05，由
P{｜t｜＞tα/2（n-1）}=α，
P{t＞tα/2（n-1）}=α/2，
P{t＞t0.025(4)}=0.025，
查t分布表得双侧α分位点
tα/2（n-1）=t0.025(4)=2.776.
因为｜t0｜＞3＞t0.025(4)=2.776，故应拒绝H0，认为该仪器间接测量有系统偏差.
（3） 双边检验与单边检验
上面讨论的假设检验中，H0为μ=μ0，而备择假设H1：μ≠μ0意思是μ可能大于μ0，也可能小于μ0，称为双边备择假设，而称形如H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0的假设检验为双边检验.有时我们只关心总体均值是否增大，例如，试验新工艺以提高材料的强度，这时所考虑的总体的均值应该越大越好，如果我们能判断在新工艺下总体均值较以往正常生产的大，则可考虑采用新工艺.此时，我们需要检验假设
H0：μ=μ0；H1μ＞μ0. （8.6）
（我们在这里作了不言而喻的假定，即新工艺不可能比旧的更差），形如（8.6）的假设检验，称为右边检验，类似地，有时我们需要检验假设
H0：μ=μ0；H1：μ＜μ0. （8.7）
形如（8.7）的假设检验，称为左边检验，右边检验与左边检验统称为单边检验.
下面来讨论单边检验的拒绝域.
设总体X~N（μ，σ2），σ2为已知，x1，x2，…，xn是来自X的样本观察值.给定显著性水平α，我们先求检验问题
H0：μ=μ0；H1：μ＞μ0.
的拒绝域.
取检验统计量Z=，当H0为真时，Z不应太大，而在H1为真时，由于X是μ的无偏估计，当μ偏大时，X也偏大，从而Z往往偏大，因此拒绝域的形式为
Z=≥k，k待定.
因为当H0为真时，~N（0，1），由
P{拒绝H0｜H0为真}=P=α
得k=zα，故拒绝域为
Z=≥zα. （8.8）
类似地，左边检验问题
H0：μ=μ0；H1：μ＜μ0.
的拒绝域为
Z=≤-zα. 8.9）
例8.4 从甲地发送一个信号到乙地，设发送的信号值为μ，由于信号传送时有噪声迭加到信号上，这个噪声是随机的，它服从正态分布N（0，22），从而乙地接到的信号值是一个服从正态分布N（μ，22）的随机变量.设甲地发送某信号5次，乙地收到的信号值为：
8.4 10.5 9.1 9.6 9.9
由以往经验，信号值为8，于是乙方猜测甲地发送的信号值为8，能否接受这种猜测？取α=0.05.
解 按题意需检验假设
H0：μ=8；H1：μ＞8.
这是右边检验问题，其拒绝域如（8.8）式所示，
即 Z= ≥z0.05=1.645.
而现在
z0==1.68＞1.645，
所以拒绝H0，认为发出的信号值μ＞8.
2.单个正态总体方差的假设检验（检验法(-test)）
（1） 双边检验
设总体X~N（μ，σ2），μ未知，检验假设
H0：σ2=σ02；H1：σ2≠σ02.
其中σ02为已知常数.
由于样本方差S2是σ2的无偏估计，当H0为真时，比值一般来说应在1附近摆动，而不应过分大于1或过分小于1，由第六章知当H0为真时
=~（n-1）. （8.10）
所以对于给定的显著性水平α有（图8-3）
图8-3
P{（n-1）≤≤（n-1）}=1-α. （8.11）
对于给定的α，查分布表可求得分布分位点（n-1）与（n-1）.
由（8.11）知，H0的接受域是
(n-1)≤≤ (n-1)； (8.12)
H0的拒绝域为
＜（n-1）或＞（n-1）. （8.13）
这种用服从分布的统计量对个单正态总体方差进行假设检验的方法，称为检验法.
例8.5 某厂生产的某种型号的电池，其寿命长期以来服从方差σ2=5000（小时2）的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机抽取26只电池，测得其寿命的样本方差s2=9200（小时2）.问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往有显著的变化（取α=0.02)?
解 本题要求在α=0.02下检验假设
H0：σ2=5000；H1：σ2≠5000.
现在n=26，
（n-1）==44.314，
(n-1)= =11.524,
σ02=5000.
由（8.13）拒绝域为
＞44.314
或
＜11.524
由观察值s2=9200得=46＞44.314,所以拒绝H0，认为这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化.
（2） 单边检验（右检验或左检验）
设总体X~N（μ，σ2），μ未知，检验假设
H0：σ2≤σ02；H1：σ2＞σ02.（右检验）
由于X~N（μ，σ2），故随机变量
=~（n-1）.
当H0为真时，统计量
=≤.
对于显著性水平α，有
P{＞（n-1）}=α
图8-4
（图8-4）.于是有
P{＞（n-1）}≤P{＞（n-1）}=α.
可见，当α很小时，{＞（n-1）}是小概率事件，在一次的抽样中认为不可能发生，所以H0的拒绝域是：
=＞（n-1）（右检验）. （8.14）
类似地，可得左检验假设H0：σ2≥σ02，H1：σ2＜σ02的拒绝域为
＜（n-1）（左检验）. (8.15)
例8.6 今进行某项工艺革新，从革新后的产品中抽取25个零件，测量其直径，计算得样本方差为s2=0.00066，已知革新前零件直径的方差σ2=0.0012，设零件直径服从正态分布，问革新后生产的零件直径的方差是否显著减小？（α=0.05)
解 (1） 提出假设H0：σ2≥σ02=0.0012；H1：σ2<σ02.
(2) 选取统计量
=.
=~（n-1），且当H0为真时，≤
(3） 对于显著性水平α=0.05，查分布表得
（n-1）==13.848，
当H0为真时，
P{< (n-1)}≤P=α.
故拒绝域为
< (n-1)=13.848.
(4) 根据样本观察值计算的观察值
==13.2.
(5) 作判断：由于=13.2＜ (n-1)=13.848，即落入拒绝域中，所以拒绝H0：σ2≥σ02，即认为革新后生产的零件直径的方差小于革新前生产的零件直径的方差.
最后我们指出，以上讨论的是在均值未知的情况下，对方差的假设检验，这种情况在实际问题中较多.至于均值已知的情况下，对方差的假设检验，其方法类似，只是所选的统计量为
=.
当σ2=σ02为真时，~（n）.
关于单个正态总体的假设检验可列表8-2.

表8-2
检验
参数
条
件
H0
H1
H0的拒绝域
检验用的
统计量
自由度
分位点
数
学
期
望

σ2
已
知
μ=μ0
μ≤μ0
μ≥μ0
μ≠μ0
μ＞μ0
μ＜μ0
|Z|＞zα/2
Z＞zα
Z＜-zα
Z=

±zα/2
zα
-zα
σ2
未
知
μ=μ0
μ≤μ0
μ≥μ0
μ≠μ0
μ＞μ0
μ＜μ0
｜t｜＞tα/2
t＞tα
t＜-tα
t=
n-1
±tα/2
tα
-tα
方
差
μ
未
知
σ2=σ02

σ2≤σ02
σ2≥σ02
σ2≠σ02

σ2＞σ02
σ2＜σ02

＞
＜
＞
＜
=
n-1

μ
已
知
σ2=σ02

σ2≤σ02
σ2≥σ02
σ2≠σ02

σ2＞σ02
σ2＜σ02

＞
＜
＞
＜
=
n

注：上表中H0中的不等号改成等号，所得的拒绝域不变.

8