八年级数学上册 勾股定理的再探究提优讲义 苏科版.doc

初二数学：勾股定理的再探究
勾股定理是数学中的一颗明珠，它揭示了直角三角形三边之间的关系，体现了数形结合的思想，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用。
一、例题讲解：
1、.已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰三角形.若斜边AB=3,则图中阴影部分的面积为 。

2、如图，四边形中，，，，，则该四边形的面积是 ．
A
B
D
C

3、如图，等腰直角三角形ABC直角边长为1，以它的斜边上的高AD为腰做第一个等腰直角三角形ADE；再以所做的第一个等腰直角三角形ADE的斜边上的高AF为腰做第二个等腰直角三角形AFG；…以此类推，这样所做的第n个等腰直角三角形的腰长为 。

4、图（a）、图（b）、图（c）是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在图（a）、图（b）、图（c）中，分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．具体要求如下：
（1） 画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形
（2） 画一个面积为10的等腰直角三角形
（3） 画一个边长为，面积为6的等腰三角形

图（a） 图（b） 图（c）

5、问题背景：在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将的面积直接填写在横线上．__________________
思维拓展：
（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、（），请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积．
探索创新：
（3）若三边的长分别为、、（，且），试运用构图法求出这三角形的面积．
（图①）
（图②）
（第22题）
A
C
B

6、如图，在⊿ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC,D是BC上一点，求证：

7、已知Rt⊿ABC中，∠ ACB=90°，AC=BC, ∠MCN=45°,(1)如图①，当M、N在AB上时，求证：
; (2)如图②，将∠MCN绕C点旋转，当M在BA的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立， 说明理由。

中考链接：
一、选择题
1．如图，和都是边长为4的等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的长为
（第13题图）

（A）（B）（C）（D）
二、填空题
2．已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 ．
第15题图

3．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那么△PQR的周长等于 ．

4．已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= ，AB= +1，则边BC的长为 ．

5．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD=，则AB= ．

6．如图，Rt△ABC中，∠C=, ∠ABC=，AB=6.点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是 .

7．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．图（6）是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn．设第一个正方形的边长为1．

图（6）

请解答下列问题：
（1）S1＝__________；

（2）通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn＝__________．

8．两块完全一样的含30角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图6，∠A＝，AC＝10，则此时两直角顶点C、间的距离是 。

9． Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形 ACD ，则线段BD的长为 。

10、如图，在长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的外部，一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B处，求它所行的最短路线的长。

参考答案：
1、
2、
3、
4、略
5、提示：（1）△ABC的面积=3×3-1×2÷2-1×3÷2-2×3÷2=3.5；
（2）根号 5a是直角边长为a，根号2a的直角三角形的斜边；2根号2a是直角边长为2a，2a的直角三角形的斜边；根号17a是直角边长为a，4a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；
（3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积．
解：（1）3.5；（2分）

（2） S△ABC=2a×4a- 1/2a×2a- 1/2×2a×2a- 1/2a×4a=3a/2；

(3)S△ABC=3m×4n- 1/2×m×4n- 1/2×3m×2n -1/2×2m×2n =5mn．

6、证明：作AE⊥BC于点E
∵∠BAC=90度，AB=AC AE⊥BC
∴AE=BE=CE
根据勾股定理得
BD²=(BE+ED)²=BE²+2BE*ED+ED²
CD²=(CE-ED)²=CE²-2CE*ED+ED²
∴BD²+CD²=2AE²+2ED²

在直角△AED中
AE²+ED²=AD²
∴BD²+CD²=2AE²+2ED²=2AD²

7、（1）将⊿ACM绕C点逆时针旋转90°成为⊿BCD,连接DN，
⊿BCD≌⊿ACM,⊿CDN≌⊿CMN,
BD=AM,DN=MN,∠CBD+∠CBM=90°
BD²+BN²=DN²
即MN²=AM²+BN²

（2）成立，方法同上。将⊿ACM绕C点逆时针旋转90°成为⊿BCE,连接EN，
⊿BCE≌⊿ACM,⊿CEN≌⊿CMN, BE=AM,EN=MN,∠NBE =90°BE²+BN²=EN²
即MN²=AM²+BN²

中考链接：
1、D、
2、
3、
4、2
5、12
6、2≦ AD < 3
7、1＋； (1＋)·()n -1(n为整数)
8、5
9、8
10、4或或