九年级数学上册 2.3二次函数y＝ax^2的图象和性质教案 鲁教版.doc

2.3二次函数y＝ax2的图象和性质
教学目标
(一)教学知识点
1．能够利用描点法作出函数y＝x2的图象．能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．
2．猜想并能作出y＝－x2的图象，能比较它与y＝x2的图象的异同．
(二)能力训练要求
1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
2．由函数y＝x2的图象及性质，对比地学习y＝－x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
(三)情感与价值观要求
1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
教学重点
1．能够利用描点法作出函数y＝x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．
2．能够作出二次函数y＝－x2的图象，并能比较它与y＝x2的图象的异同．
教学难点
经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．并把这种经验运用于研究二次函数y＝－x2的图象与性质方面．实现“探索——经验——运用”的思维过程．
教学方法
探索——总结——运用法．
教具准备
投影片四张
第一张：(记作§2．3A)
第二张：(记作§2．3B)
第三张：(记作§2．3C)
第四张：(记作§2．3D)
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征．知道正比例函数的图象是过原点的一条直线，一般的一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是两条双曲线．上节课我们学习了二次函数的一般形式为y＝ax2＋bx＋c．(其中a，b，c是常数且a≠0)，那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题．
Ⅱ．新课讲解
一、作函数y＝x2的图象．
[师]一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数y＝x2．
大家还记得画函数图象的一般步骤吗？
[生]记得，是列表，描点、连线．
[师]非常正确，下面就请大家按上面的步骤作出y＝x2的图象．
[生](1)列表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y
9
4
1
0
1
4
9
(2)在直角坐标系中描点．

(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象．
[师]画的非常漂亮．
二、议一议
投影片：(§2．3A)
对于二次函数y＝x2的图象，
(1)你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流．
(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
(3)当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？
(4)当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？
(5)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．
[生](1)图象的形状是一条曲线．就像抛出的物体所行进的路线的倒影．
(2)图象与x轴有交点，交于原点，交点坐标是(0，0)．
(3)当x＜0时，图象在y轴的左侧，随着x值的增大，y的值逐渐减小；当x＞0时，图象在y轴的右侧，随着x值的增大，y的值逐渐增大．
(4)观察图象可知，当x＝0时，y的值最小，最小值是0．
(5)由图可知，图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴，从刚才的列表中可找到对应点(－1，1)和(1，1)；(－2，4)和(2，4)；(－3，9)和(3，9)．
[师]大家的分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下．
三、y＝x2的图象的性质．
投影片：(§2．3B)

[师]从图象来看抛物线的开口方向向上．
下面请大家讨论之后系统地总结出y＝x2的图象的所有性质．
[生](1)抛物线的开口方向是向上．
(2)它的图象有最低点，最低点坐标是(0，0)．
(3)它是轴对称图形，对称轴是y轴．在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
(4)图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为(0，0)．
(5)因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝0时，y最小＝0．
四、做一做．
投影片：(§2．3C)
二次函数y＝－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象．它与二次函数y＝x2的图象有什么关系？与同伴进行交流．
[师]请大家按照画图象的步骤作出函数y＝－x2的图象．
[生]y＝－x2的图象如下图：

形状还是抛物线，只是它的开口方向向下，它与y＝x2的图象形状相同，方向相反，这两个图形可以看成是关于x轴对称．
[师]下面我们试着讨论y＝－x2的图象的性质．
[生](1)它的开口方向向下．
(2)它的图象有最高点，最高点坐标为(0，0)．
(3)它是轴对称图形，对称轴是y轴，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小．
(4)图象与x轴有交点，也叫抛物线的顶点，还是图象的最高点，这点的坐标为(0，0)．
(5)因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝0时，y最大＝0．
[师]大家总结得非常棒．
五、函数y＝x2与y＝－x2的图象的比较．
我们分别作出函数y＝x2与y＝－x2的图象，并对图象的性质作系统的研究．现在我们再来比较一下它们图象的异同点．
投影片：(§2．3D)
不同点：
1．开口方向不同，y＝x2开口向上，y＝－x2开口向下．
2．函数值随自变量增大的变化趋势不同，在y＝x2图象中，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．在y＝－x2的图象中正好相反．
3．在y＝x2中y有最小值，即x＝0时，y最小＝0，在y＝－x2中y有最大值．即当x＝0时，y最大＝0．
4．y＝x2有最低点，y＝－x2有最高点．
相同点：
1．图象都是抛物线．
2．图象都与x轴交于点(0，0)．
3．图象都关于y轴对称．
联系：它们的图象关于x轴对称．

Ⅲ．课堂练习
1．在同一直角坐标系中画出函数y＝x2与y＝－x2的图象．
2．下列函数中是二次函数的是
[ ]
A．y＝2＋5x2
B．y＝
C．y＝3x(x＋5)2
D．y＝
3．分别说出抛物线y＝4x2与y＝－x2的开口方向，对称轴与顶点坐标．
答案：1．略 2．A
3．解：抛物线y＝4x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，坐标为(0，0)．
抛物线y＝－x2的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为(0，0)．
Ⅳ．课时小结
本节课我们学习了如下内容：
1．画函数y＝x2的图象，并对图象的性质作了总结．
2．画函数y＝－x2的图象，并研究其性质．
3．比较y＝x2与y＝－x2的图象的异同点及联系．
Ⅴ．课后作业
习题2．3
Ⅵ．活动与探究
已知函数y＝m·．
m取何值时，它的图象开口向上．
当x取何值时，y随x的增大而增大．
当x取何值时，y随x的增大而减小．
x取何值时，函数有最小值．
解：由题意得：

解得
当m＝－2时，y＝－2x2开口向下
∴m＝1
即当m＝1时，它的图象是开口向上的抛物线．
函数关系式为y＝x2．
当x＞0时，y随x的增大而增大．
当x＜0时，y随x的增大而减小．
当x＝0时，函数有最小值．
板书设计
§2．3 二次函数y＝ax2的图象和性质
一、1．作函数y＝x2的图象
2．议一议(投影片§2．3A)
3．y＝x2的图象的性质(投影片§2．3B)
4．做一做(投影片§2．3C)
5．函数y＝x2与y＝－x2的图象的比较
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业