1、第2课时 二次函数与一元二次不等式
1．通过探索，理解二次函数与一元二次不等式之间的联系；(重点)
2．会用二次函数的图象求出一元二次不等式的解集．(难点)
一、情境导入
如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集吗？请你直接写出来．
二、合作探究
探究点一：二次函数与一元二次不等式的关系
【类型一】 利用抛物线解一元二次不等式
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( )
A．x＜2
2、B．x＞－3
C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1
解析：观察图象，可知当x<－3或x>1时，抛物线在x轴上方，此时y＞0，即ax2＋bx＋c＞0，∴关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是x<－3或x>1.故选D.
方法总结：抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集，所以利用二次函数的图象，可以直观地求得一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0的解集．
【类型二】 确定抛物线相应位置的
3、自变量的取值范围
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数值y在x轴下方时，x的取值范围是( )
A．x＜－1 B．x＞3
C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3
解析：由二次函数图象可知，当－1＜x＜3时，函数图象在x轴的下方．故选C.
方法总结：利用数形结合思想来求解．当y＝0时，对应x的值为x1＝－1，x2＝3，当y＞0时，看抛物线在x轴上方的部分，x的取值范围是x＜－1或x＞3；当y＜0时，看抛物线在x轴下方的部分，x的取值范围是－1＜x＜3.
已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，与y轴的交点坐标为(
4、0，3)．
(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的关系式；
(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
解析：用待定系数法将已知两点的坐标代入二次函数关系式，即可求出b，c的值，然后通过解一元二次方程求抛物线与x轴的另一个交点坐标，由图象法求得函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
解：(1)由题意得
解得
故所求关系式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)．
∴由图象可知函数值y为正数时，自变量x的取值范围是－1＜x＜3.
探究点二：抛物线y＝ax2＋bx＋
5、c的位置与b2－4ac的关系
求证：无论a是什么实数，二次函数y＝x2＋ax＋a－2的图象都与x轴有两个不同的交点．
解析：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，于是问题就转化成证明Δ>0的问题．
证明：由题意知Δ＝a2－4(a－2)＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4.∵无论a取什么实数，(a－2)2≥0，∴(a－2)2＋4>0，即Δ>0.∴无论a是什么实数，二次函数y＝x2＋ax＋a－2的图象都与x轴有两个不同的交点．
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，学会利用图象的直观性和性质来解决问题，体会数形结合思想．
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