1、三角形中位线的构造与作用
灵活运用三角形的中位线证明线段平行和线段倍分关系及判断中点四边形的形状是考试的热点。首先要从位置关系和数量关系上来理解三角形中位线是定理,再必须记住定理的基本图形,以便根据基本图形来添加辅助线。
任一个三角形都有三条中位线,由此有以下结论：
（1） 三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。
（2） 三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
（3） 三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
（4） 三角形一条中线和它相交的中位线互相平分。
（5） 三角形中任两中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
我们熟悉它们可以增强
2、观察的敏锐性,迅速发现解题思路。
有下列情况常作三角形的中位线
（1） 有一边中点；（2）有线段倍分关系；（3）有两边或两边以上的中点；
例1、已知：在△ABC中,AD⊥BC于D，BE为中线,且∠CBE=30°, 求证：AD=BE
分析:有特殊角∠CBE=30°,没有直角三角形（有但没标字母），有中点E,但没有中位线,结合前二方面可作EF∥AD,则EF为△ADC中位线。
解析: 过E作EF∥AD,因E为中点,
则EF为△ADC中位线，EF=AD,
AD⊥BC, EF∥AD,则EF⊥BC,
又∠EBC=30°所以有EF=BE
∴AD
3、BE
例2、在△ABC中,AB=2AC,D为AB中点,E为AD中点,求证:CE=BC
分析:有线段的倍分关系AB=2AC, D为AB中点,连接CD有等腰△ADC。有倍分关系常作中位线,又等腰三角形两腰上的中线相等,则考虑过D作△ABC的中位线DF
证明:连接CD,作DF∥BC ,因D为AB中点,则DF=BC,又AB=2AC, D为AB中点,则△ADC为等腰△,CE、DF分别为两腰上的中线,则DF=CE
∴CE=BC
例3、已知：AD为△ABC的平分线,AB﹥AC，CE⊥AD于E,N为BC中点,求证:NE=（AB-AC）
分析:AD为∠A的平分线,且A
4、B﹥AC，
有角平分线及上一点,且过这一点有垂线,
则延长有等腰△,有中点,
有两边上的中点考虑作中位线。
证明:延长CE交AB于F
∵AD为∠A的平分线,且CF⊥AE,
∴△AFC为等腰△,E为CF的中点,N为BC中点,
则EN为△CBF的中位线
∴NE=BF=（AB-AF）=（AB-AC）
例4、E、F、G、H分别为等腰梯形ABCD的中点,试判断四边形EFGH的形状。
分析:把四边形转化成三角形连接其二条对角线,
判断中点四边形的关键是看原四边形对角线
的位置和数量关系,对角线相等则中点四边形
为菱形,对角线垂直则中点四边形为矩形。
所以此中点四边形为菱形.
证明：略
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