江苏省2015届高三数学一轮复习备考试题：数列(含答案).doc

江苏省2015年高考一轮复习备考试题
数列
一、填空题
1、（2014年江苏高考）在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是 ▲
2、（2013年江苏高考）在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数 的值为 。
3、（2012年江苏高考）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．
4、（2015届江苏南京高三9月调研）记数列{an}的前n项和为Sn．若a1＝1，Sn＝2(a1＋an)(n≥2，n∈N*)，则Sn＝ ▲
5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研已知等比数列的前项和为，且，则数列的公比为 ▲
6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知等比数列的各项均为正数则 ▲
7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知数列{an}满足an＝an－1－an－2(n≥3，n∈N*)，它的前n项和为Sn．若S9＝6，S10＝5，则a1的值为 ▲
8、（南通市2014届高三第三次调研）设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若，，且，则数列{bn}的公比为 ▲ ．
9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1 = -1，S3 = 6，则S6 = ▲
10、（徐州市2014届高三第三次模拟）在等比数列中，已知，．设为该数列的前项和，为数列的前项和．若，则实数的值为 ▲
11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为 ▲

二、解答题
1、（2014年江苏高考）设数列{}的前n项和为.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得，则称{}是“H数列。”
（1）若数列{}的前n项和=（n），证明：{}是“H数列”；
（2）设数列{}是等差数列，其首项=1.公差d0.若{}是“H数列”，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列{}，总存在两个“H数列” {}
和{}，使得=（n）成立。

2、（2013年江苏高考）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。记，，其中为实数。
（1）若，且成等比数列，证明：（）；
（2）若是等差数列，证明：。

3、（2012年江苏高考）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，
（1）设，，求证：数列是等差数列；
（2）设，，且是等比数列，求和的值．

4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知{an}是等差数列，其前n项的和为Sn， {bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21，
S4＋b4＝30．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）记cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．

5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知无穷数列满足：，，且对于任意，都有，．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式．

6、（南京市2014届高三第三次模拟）已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a1，a2，…，am和正数b1，b2，…，
bm，使a，a1，a2，…，am，b是等差数列，a，b1，b2，…，bm，b是等比数列．
（1）若m＝5，＝，求的值；
（2）若b＝λa(λ∈N*，λ≥2)，如果存在n (n∈N*，6≤n≤m)使得an－5＝bn，求λ的最小值及此时m的值；
（3）求证：an＞bn(n∈N*，n≤m)．

7、（南通市2014届高三第三次调研）各项均为正数的数列{an}中，设，，
且，．
（1）设，证明数列{bn}是等比数列；
（2）设，求集合．

8、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足：a1 = 1，
（）．
（1）若λ = 0，求数列{an}的通项公式；
（2）若对一切恒成立，求实数λ的取值范围．

9、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知数列，满足，，，．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由．

10、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，
a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列．
（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；
（2）设a1＜a2，求证：对任意n∈N*，且n≥2，都有＜．

参考答案
一、填空题
1\、4　　2、12 　3、　　4、2－2n－1　　5、　
6、3 7、1 8、 9、39 10、7 11、2

二、解答题
1、（1）证明：∵= ，∴n），又==2= ，∴（n）。∴存在m=n+1使得
（2）=1+（n-1）d ，若{}是“H数列”则对任意的正整数n,总存在正整数m,使得 。=1+（m-1）d成立。化简得m= +1+，且d0
又m ， ，d，且为整数。
（3）证明：假设成立且设都为等差数列，则
n+=+（-1），=++1，
∴= （）同理= （） 取==k
由题==+（-1）++（-1）
=（）+（n-1）（）=（n+k-1））
可得{}为等差数列。即可构造出两个等差数列{}
和{}同时也是“H数列”满足条件。
2、证明：∵是首项为，公差为的等差数列，是其前项和
∴
（1）∵ ∴
∵成等比数列 ∴ ∴
∴ ∴ ∵ ∴ ∴
∴
∴左边= 右边=
∴左边=右边∴原式成立
（2）∵是等差数列∴设公差为，∴带入得：
∴对恒成立
∴ 由①式得： ∵ ∴
由③式得：
法二：证：（1）若，则，，．
当成等比数列，，
即：，得：，又，故．
由此：，，．
故：（）．
（2），

． (※)
若是等差数列，则型．
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：，即，而≠0，
故．
经检验，当时是等差数列．
3、解：（1）∵，∴。
∴。∴ 。
∴数列是以1 为公差的等差数列
（2）∵，∴。
∴。（﹡）
设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明
若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。
若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。
∴综上所述，。∴，∴。
又∵，∴是公比是的等比数列。
若，则，于是。
又由即，得。
∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。
∴。
∴ 。
4、解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．
由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．……………………………… 3分
由条件a4＋b4＝21，S4＋b4＝30，得方程组解得
所以an＝n＋1，bn＝2n，n∈N*． ……………………………… 7分
（2）由题意知，cn＝(n＋1)×2n．
记Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn．
则Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1 ＋(n＋1)×2n，
2 Tn＝ 2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n＋ (n＋1)2n＋1，
所以－Tn＝2×2＋(22＋23＋…＋2n )－(n＋1)×2n＋1， …………………………… 11分
即Tn＝n·2n＋1，n∈N*． ……………………………… 14分
5、解：（1）由条件，，
令，得． …………………………………………………………2分
又，且， 易求得． ……………………………4分
再令，得，求得． …………………………………………6分
（2）∵ (1)
∴ (2)
由(1)-(2)得，
……………………………………………8分
∴
∴
∴，∴数列为常数数列． ………………………12分
∴ ∴
∴数列为等差数列． ……………………………………………………………14分
又公差， ∴．……………………………………………16分
6、解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则d＝，q＝．
a3＝a＋3d＝，b3＝aq3＝． …………………………2分
因为＝，所以2a－5＋2b＝0，解得＝4或． …………………………4分
（2）因为λa＝a＋(m＋1)d，所以d＝a，从而得an＝a＋a×n．
因为λa＝a×qm＋1所以q＝λ，从而得bn＝a×λ．
因为an－5＝bn，所以a＋×a＝a×λ．
因为a＞0，所以1＋＝λ（*）． ………………………6分
因为λ，m，n∈N*，所以1＋为有理数．
要使（*）成立，则λ必须为有理数．
因为n≤m，所以n＜m＋1．
若λ＝2，则λ为无理数，不满足条件．
同理，λ＝3不满足条件． …………………………8分
当λ＝4时，4＝2．要使2为有理数，则必须为整数．
又因为n≤m，所以仅有2n＝m＋1满足条件．
所以1＋＝2，从而解得n＝15，m＝29．
综上，λ最小值为4，此时m为29． ……………………………10分
(3)证法一：设cn＞0，Sn为数列{cn}的前n项的和．
先证：若{cn}为递增数列，则{}为递增数列．
证明：当n∈N*时，＜＝bn＋1．
因为Sn＋1＝Sn＋bn＋1＞Sn＋＝Sn，所以＜，即数列{}为递增数列．
同理可证，若{cn}为递减数列，则{}为递减数列． ……………………………12分
①当b＞a时，q＞1．当n∈N*，n≤m时，＞．
即＞，即＞．
因为b＝aqm＋1，bn＝aqn，d＝，
所以d＞，即a＋nd＞bn，即an＞bn．
②当b＜a时，0＜q＜1，当n∈N*，n≤m时，＜．
即＜．
因为0＜q＜1，所以＞．以下同①．
综上， an＞bn(n∈N*，n≤m)． ………………………16分
证法二：设等差数列a，a1，a2，…，am，b的公差为d，等比数列a，b1，b2，…，bm，b的公比为q，
b＝λa(λ＞0，λ≠1)．
由题意，得d＝a，q＝aλ，
所以an＝a＋nd＝a＋an，bn＝aλ．
要证an＞bn(n∈N*，n≤m)，
只要证1＋n－λ＞0(λ＞0，λ≠1，n∈N*，n≤m)．…………………………12分
构造函数f(x)＝1＋x－λ(λ＞0，λ≠1，0＜x＜m＋1)，
则f′(x)＝－λlnλ．令f′(x)＝0，解得x0＝(m＋1)logλ．
以下证明0＜logλ＜1．
不妨设λ＞1，即证明1＜＜λ，即证明lnλ－λ＋1＜0，λlnλ－λ＋1＞0．
设g(λ)＝lnλ－λ＋1，h(λ)＝λlnλ－λ＋1(λ＞1)，则g′(λ)＝－1＜0，h′(λ)＝lnλ＞0，
所以函数g(λ)＝lnλ－λ＋1(λ＞1)为减函数，函数h(λ)＝λlnλ－λ＋1(λ＞1)为增函数．
所以g(λ)＜g(1)＝0，h(λ)＞h(1)＝0．
所以1＜＜λ，从而0＜logλ＜1，所以0＜x0＜m＋1．…………………………14分
因为在(0，x0)上f′(x)＞0，函数f(x)在(0，x0)上是增函数；
因为在(x0，m＋1)上f′(x)＜0，函数f(x)在(x0，m＋1)上是减函数．
所以f(x)＞min{f(0)，f(m＋1)}＝0．
所以an＞bn(n∈N*，n≤m)．
同理，当0＜λ＜1时，an＞bn(n∈N*，n≤m)． …………………………1

7、【解】（1）当时，，
即，解得． ……………………………2分
由，所以 ①
当时， ②
①-②，得（），……………………………4分
即，
即，所以，
因为数列{an}的各项均为正数，所以数列单调递减，所以．
所以（）．
因为，所以，
所以数列{bn}是等比数列． ……………………………6分
（2）由（1）知，所以，即．
由，得（*）
又时，，所以数列从第2项开始依次递减． …………8分
（Ⅰ）当时，若，则，
（*）式不成立，所以，即． ……………………………10分
令，则，
所以，即存在满足题设的数组（）．……… 13分
（Ⅱ）当时，若，则不存在；若，则；
若时，，（*）式不成立．
综上所述，所求集合为（）． ………………16分
（注：列举出一组给2分，多于一组给3分）
8、

9、（1）因为，所以，
则， ………………………2分
所以，
又，所以，故是首项为，公差为的等差数列， ……4分
即，所以． ………………………6分
（2）由（1）知，所以，
①当时，，，，
若，，成等差数列，则（），
因为，所以，，，，
所以（）不成立． …………………………9分
②当时，若，，成等差数列，
则，所以，
即，所以， ………………………12分
欲满足题设条件，只需，此时， ………………14分
因为，所以，，
即． …………………………15分
综上所述，当时，不存在，满足题设条件；
当时，存在，，满足题设条件．…16分
10、解：（1）解法一：因为a3，a4，a5成等差数列，设公差为d，则a3＝3－2d，a4＝3－d．
因为a2，a3，a4成等比数列，所以a2＝＝． ………………3分
因为a2＝1，所以＝1，解得d＝2，或d＝．因为an＞0，所以d＝．
因为a1，a2，a3成等差数列，所以a1＝2a2－a3＝2－(3－2d)＝．……………5分
解法二因为a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5成等差数列，
则，……………3分
则，解得或（舍），所以。………5分
解法三：因为a1，a2，a3成等差数列，则，
因为a2，a3，a4成等比数列，则………………3分
因为a3，a4，a5成等差数列，则，则
解得：或；当时，（与矛盾，故舍去），所以．
………5分（注：没有舍去一解，扣1分）
（2）证法一：因为a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列，
所以2a2n＝a2n－1＋a2n＋1，① a＝a2na2n＋2．②；所以a＝a2n－2a2n，n≥2．③

所以＋＝2a2n．
因为an＞0，所以＋＝2． …………7分
即数列{}是等差数列．
所以＝＋(n－1)(－)．
由a1，a2及a2n－1，a2n，a2n＋1是等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2是等比数列，
可得a4＝．………………8分
所以＝＋(n－1)(－)＝．
所以a2n＝．……………………10分
所以a2n＋2＝．
从而a2n＋1＝＝．
所以a2n－1＝．………………12分
①当n＝2m，mN*时，
－＝－＝－
＝－＜0． ……………14分

②当n＝2m－1，mN*，m≥2时，
－＝－＝－
＝－＜0．
综上，对一切n∈N*，n≥2，有＜． ………………16分
证法二：①若n为奇数且n≥3时，则an，an＋1，an＋2成等差数列．
因为－＝＝＝－≤0，
所以≤．………………9分
②若n为偶数且n≥2时，则an，an＋1，an＋2成等比数列，所以＝．………11分
由①②可知，对任意n≥2，n∈N*， ≤≤…≤．………13分
又因为－＝－＝＝－，
因为a1＜a2，所以－＜0，即＜．………15分
综上，＜．…………16分．

16
南京清江花苑严老师