秋八年级数学上册 第12章 一次函数 12.2 一次函数 第4课时 一次函数的应用—分段函数教案 （新版）沪科版-（新版）沪科版初中八年级上册数学教案.doc

12.2 一次函数
第4课时 一次函数的应用--分段函数
定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函数Y与自变量X之间存在
k1x+b1 x≤a1
y = k2x+b2 a1≤x≤a2 ① 的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。
K3x+b3 a2≤x≤a3
… … … …

应该指出:(一), 函数解析式①这个整体只是一个函数,并非是Y=K1X+b1 Y=K2X+b2……等几个不同函数的简单组合,而k1x+b1, k2x+b2 ……是函数Y的几种不同的表达式.。所以上例中Y=｛ 这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X和110×80%X是同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。
(二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例
函数和常数函数。
(三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。
(四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。

分段函数应用题
分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
收费问题与我们的生活息息相关,如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例.
一、话费中的分段函数
例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图象如图1所示：
（１）月通话为100分钟时，应交话费　　元；
（２）当x100时，求与之间的函数关系式
　　（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？

图1
分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的正比例函数,当x100时, 月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的一次函数.
解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元；
（2）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b
由图上知：x=100时,y=40；x=200时,时，y=60
则有　,解之得
所求函数关系式为..
（3）把x=280代入关系式,得
　即月通话为280分钟时，应交话费76元．

二、水费中的分段函数
例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图2.
(1) 分别写出当0x15和x15时,y与x的函数关系式;
(2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?
分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知, 0x15时y是x的正比例函数; x≥15时,y是x的一次函数.
解: (1)当0x15时,设y=kx,把x=15,y=27代入,得27=15k,所以k=,所以y=x;当x15时,设y=ax+b,将x=15,y=27和x=20,y=39.5代入,得

解得a=2.5,b=-10.5
所以y=2.5x-10.5 图2
(2) 当该用户该月用21吨水时,
三、电费中分段函数
例3 (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：
（1）分别写出当0x100和x100时，y与x的函数关系式；
（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；
（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？

图3
分析:从函数图象上看图象分为两段,当0x100时,电费y是电量x的正比例函数,当x100时,y是x的一次函数,且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出相应的函数关系式,将点的坐标代入即可确定函数关系式,根据函数关系式可解决问题.
解: (1)设当0x100时,函数关系式为y=kx,将x=100,y=65代入,得k=0.65,所以y=0.65x;
设当x100时,函数关系式为y=ax+b,将x=100,y=65和x=130,y=89代入,得
解得a=0.8,b=-15.所以y=0.8x-15
综上可得
(2)用户月用电量在0度到100度之间时,每度电的收费的标准是0.65元;超出100度时,每度电的收费标准是0.80元.
(3)用户月用电62度时,用户应缴费40.3元,若用户月缴费105元时,该户该月用了150度电.

分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。它是考查分类思想，读取、搜集、处理图像信息等综合能力的综合题。这些分段函数都是直线型。
通常是正比例函数的图像和一次函数的图像构成。下面我们归纳分析如下，供学习时参考。
1、二段型分段函数
1.1正比例函数与一次函数构成的分段函数
解答这类分段函数问题的关键,就是分别确定好正比例函数的解析式和一次函数的解析式。
例1某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元．
（1）完成此房屋装修共需多少天？
（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？

解析：设正比例函数的解析式为：y=k1x，
因为图象经过点（3，），所以，= k1×3，所以k1=，所以y=x，0＜x＜3
设一次函数的解析式（合作部分）是y=k2x+b，（是常数）
因为图象经过点（3，），（5，），所以，
由待定系数法得：，解得：．
一次函数的表达式为，所以，当时，，解得
完成此房屋装修共需9天。
方法2
解：由正比例函数解析式可知：甲的效率是，乙工作的效率：
甲、 乙合作的天数：（天）
甲先工作了3天，完成此房屋装修共需9天
（2）由正比例函数的解析式：y=x，可知：甲的工作效率是 ，
所以，甲9天完成的工作量是：，
甲得到的工资是：（元）
评析：在这里未知数的系数的意义是表示他们的工作效率。

例2、一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图2所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了 ）
A．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D．26分钟

解析：步行前往考场，是满足正比例函数关系，
设正比例函数的解析式为：y=k1x，
因为图象经过点（10，），所以，= k1×10，所以k1=，所以y=x，0＜x＜10
由正比例函数解析式可知：甲的效率是，
所以，步行前往考场需要的时间是：1÷=40（分钟），
乘出租车赶往考场，是满足一次函数关系，
所以，设一次函数的解析式是y=k2x+b，（是常数），
因为图象经过点（10，），（12，），所以，
由待定系数法得：，解得：解得：，
一次函数的表达式为：，所以，乘出租车赶往考场用的时间是：x=÷，解得：x=6分钟，
所以，先步行前往考场，后乘出租车赶往考场共用时间为：10+6=16分钟，
所以，他到达考场所花的时间比一直步行提前了：40-16=24（分钟），
故选C。
评析：在这里未知数的系数的意义是表示他们的行使速度。

例3、某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．
（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；
（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？

解析：
(1) 由图3可得，
当0≤t≤30时，市场日销售量y与上市时间t的关系是正比例函数，
所以设市场的日销售量：y=kt，
∵ 点（30，60）在图象上，
∴ 60=30k．
∴ k=2．即 y=2t，
当30≤t≤40时，市场日销售量y与上市时间t的关系是一次函数关系，
所以设市场的日销售量：y=k1t+b，
因为点（30，60）和（40，0）在图象上，
所以 ，
解得 k1=－6，b=240．
∴ y=－6t+240．
综上可知，
当0≤t≤30时，市场的日销售量：y=2t，
当30≤t≤40时，市场的日销售量：y=-6t+240。
(2) 由图4可得，
当0≤t≤20时，市场销售利润w与上市时间t的关系是正比例函数，
所以设市场的日销售量：w=kt，
∵ 点（20，60）在图象上，
∴ 60=20k．
∴ k=3．即 w=3t，
当20≤t≤40时，市场销售利润w与上市时间t的关系是常数函数，
所以，w=60，
∴ 当0≤t≤20时，产品的日销售利润：m=3t ×2t =6t2 ；
∵k=6＞0，所以，m随t的增大而增大，
∴ 当t=20时，产品的日销售利润m最大值为：2400万元。
当20≤t≤30时，产品的日销售利润：m=60×2t =120t，
∵k=120＞0，所以，m随t的增大而增大，
∴ 当t=30时，产品的日销售利润m最大值为：3600万元；
当30≤t≤40时，产品的日销售利润：m＝60×(-6t+240)=-360t+14400；
∵k=-360＜0，所以，m随t的增大而减小，
∴ 当t＝30时，产品的日销售利润mm最大值为：3600万元，
综上可知，当t＝30天时，这家公司市场的日销售利润最大为3600万元．
评析：本题不仅考查同学们对分段函数意义的理解，而且同时还考查了同学们对分类思想的掌握情况，和对一次函数性质的理解和应用。
1.2一次函数与一次函数构成的分段函数
例4、为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图5所示．
（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖
励小强家务劳动的？
（2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？
解：（1）从图象上可知道，小强父母给小强的每月基本生活费为150元 ；
当0≤x≤20时，y（元）是x小时）的一次函数，不妨设y=k1x+150，
同时，图象过点（20，200），所以，200=k1×20+150，
解得：k1=2.5，所以，y=2.5x+150，
当20＜x时，y（元）是x（小时）的一次函数，不妨设y=k2x+b，
同时，图象过点（20，200），（30，240），
所以，，
解得：k2=4，b=120，所以，y=4x+120，
所以，如果小强每月家务劳动时间不超过20小时，每小时获奖励2.5元；
如果小强每月家务劳动时间超过20小时，那么20小时按每小时2.5元奖励，超过部分按每小时4元奖励
（2）从图象上可知道，小强工作20 小时最多收入为200元，而5月份得到的费用为250元，大于200元，所以说明4月小强的工作时间一定超过20小时，所以应选择分段函数中当20＜x时的一段，所以，由题意得，，
解得：x=32.5
答：当小强4月份家务劳动32.5小时，5月份得到的费用为250元．
评析：本题不仅考查同学们对分段函数意义的理解，而且同时还考查了同学们对分类思想的掌握情况，和对分段函数的选择能力。

1.3常数函数与一次函数构成的分段函数
例5、有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．

（1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是 元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为 元；
（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？
解析：1）从图6，可以看出，这是常数函数与一次函数构成的分段函数，
当0≤t≤100时，话费金额y=20；
当t＞100时，话费金额y是通话时间t的一次函数，不妨设y=kt+b，
且函数经过点（100，20）和（200，40），
所以，,解得：k=0.2，b=0,所以，y=0.2t,
所以,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是20元；当甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为0.2元；
2)仔细观察表1,可以知道乙公司每月通话收费y=0.15t+2.5,
当0≤t≤100时，甲公司的话费金额y=20；乙公司通话收费y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5,
所以,李女士如果月通话时间不超过100分钟，她选择乙通迅公司更合算；
因为，0.15t+2.5=0.2t，所以，t=500，
所以，当通话时间t=500分钟时，选择甲、乙两家公司哪一家都可以；
因为，0.15t+2.5＞0.2t，所以，t＜500，
所以，当通话时间100＜t＜500分钟时，选择甲公司；
因为，0.15t+2.5＜0.2t，所以，t＞500，
所以，当通话时间t＞500分钟时，选择乙公司；
2、三段型分段函数
例6 如图7，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）

解析：
1）、当0≤x≤1，y=×x×2=x；如图8所示；
2）、当1＜x≤3，y=1×2-××2-×（x-1）×1-××（3-x）
=；如图9所示；

3）当3＜x≤3.5，y=×（-x）×2
=-x；如图10所示；

所以C、D两个选项是错误的，又因为函数y=中的k=-＜0，所以直线整体应该是分布在二、一、四象限，所以选项B也是错误的，所以选A。
评析：对于运动型问题，关键是根据题意借助分类的思想用变量x分别出图形的面积。在表示面积时，要注意整体思想的运用。
3、四段型分段函数
例7、星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发2小时到达目的地，游玩3小时后按原路以原速返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图11，是他们离家的路程y(千米)与时间x(时)的函数图像。已知小强骑车的速度为15千米/时，妈妈驾车的速度为60千米/时。
(1)小强家与游玩地的距离是多少
(2)妈妈出发多长时间与小强相遇？

解析：
1）
当0≤x≤2，路程y(千米)是时间x(时)的正比例函数，且k=15，所以y=15x；
所以，当x=2时，y=2×15=30，所以，小强家与游玩地的距离是30千米。
2）
当2＜x≤5，路程y(千米)是时间x(时)的常数函数，所以y=30；
当5＜x，路程y(千米)是时间x(时)的一次函数，且k=-15，所以，设y=-15x+b，
又图象过点（5，30），所以30=-75+b，所以b=105，所以直线BD的解析式为：y=-15x+105；
仔细观察图象，可知道点C的坐标为（，0），且k=60，所以，设y=60x+b，
所以0=280+b，所以b=-280，所以直线CD的解析式为：y=60x-280；
设妈妈出发t小时出与小强相遇，所以，60 t -280=-15t+105，
解得，t=，
所以，妈妈出发经过：-=小时与小强相遇。
4、五段型分段函数
例8、小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象.
（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？
（2）求小明出发两个半小时离家多远？
（3）求小明出发多长时间距家12千米？

解：（1）由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时；此时，他离家30千米
（2）设直线CD的解析式为y=k1x+b1,由C（2，15）、D（3，30），
代入得：y=15x-15（2≤x≤3）
当x=2.5时，y=22.5（千米）
答：出发两个半小时，小明离家22.5千米.
（3）设过E、F两点的直线解析式为y=k2x+b2，
由E（4，30）、F（6，0），代入得y=-15x+90,(4≤x≤6)，
过A、B两点的直线解析为y=k3x，
∵B（1，15）∴y=15x.(0≤x≤1)
分别令y=12，得x=（小时），x=（小时）
答：小明出发经过小时或小时，离家12千米。