1、第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
01 教学目标
1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
2．列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题．
02 预习反馈
阅读教材P20～21“探究3”，完成下面的探究内容．
如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1 cm)
分析：封面的长宽之比是
2、27∶21＝9∶7，中央矩形的长宽之比也应是9∶7，若设中央的长方形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是(27－9a)∶(21－7a)＝9(3－a)∶7(3－a)＝9∶7.
设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7xcm，则中央的矩形的长为(27－18x)cm，宽为(21－14x)cm.
要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三．于是可列出方程(27－18x)(21－14x)＝×27×21.
整理，得16x2－48x＋9＝0.
解方程，得x1＝(不合题意，舍去)，x2＝.
上、下边衬的宽均
3、为cm，左、右边衬的宽均为cm.
03 新课讲授
例 (教材P20探究3变式题)如图，学校课外生物小组的实验园地是长为32米、宽为20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为504平方米，求小道的宽．
【思路点拨】 将图中纵向的两条路全部平移到图形的左边，横向的小路平移到图形的上方，则原图可以变换成如图所示的形状，种植面积和图中阴影矩形的面积相等．设小道的宽为x，则阴影矩形的长、宽分别可以用含x的代数式表示出来．根据矩形的面积公式就可以列出方程，解方程即可．
【解答】 设小道的宽为x米，依题意，得
(32－2x)(20－x)＝504.
4、整理，得x2－36x＋68＝0，即(x－2)(x－34)＝0.
解得x1＝2，x2＝34(舍)．
答：小道的宽为2米．
【方法归纳】 这类问题，通常采用平移的方法，使剩余部分为一完整矩形．
【跟踪训练】 如图，要设计一幅宽20 cm、长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分)，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度．(精确到0.1 cm)
解：设横彩条的宽度为3x cm，则竖彩条的宽度为2x cm.根据题意，得
(30－4x)(20－6x)＝(1－)×20×30.
解得x1≈0.6，x2≈10.2(不合题意
5、舍去)．
故3x≈1.8，2x≈1.2.
答：横彩条宽约为1.8 cm，竖彩条宽约为1.2 cm.
04 巩固训练
1．用长100 cm的金属丝围成一个矩形框子，框子的面积不可能是(D)
A．375 cm2 B．500 cm2 C．625 cm2 D．700 cm2
2．(21.3第3课时习题)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为(C)
A
6、．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0
C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0
3．如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6 m．若矩形的面积为4 m2，则AB的长度是1m.(可利用的围墙长度超过6 m)
4．如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四个角各截去一个正方形，制成高是5 cm，容积是500 cm3的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽．
解：设这块铁皮的宽是x cm.根据题意，得
5(x－10)(2x－10)＝500，
解得x1＝15，x2＝0(舍去)．
所以x＝15，2x＝30，
答：这块铁皮的长是30 cm，宽是15 cm.
05 课堂小结
用一元二次方程解决的特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程．
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