概率论(随机变量的分布函数)-(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 随机变量的分布函数,一、概念的,引入,需要知道,X,在任意有限区间,(,a,b,),内取值的概率,.,分布,函数,例如,1,|,x,二、定义,设,X,是随机变量，,x,为任意实数，称函数,为,X,的分布函数,(distribution function),记作,X,F,(,x,),或,F,X,(,x,),如果将,X,看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数,F(x),的值就表示,X,落在区间,的概率,.,2,三、分布函数的性质,1,单调不减,即,若,x,1,x,2,，,则,F(,x,1,)F(,x,2,),；,2.,非负有界,F,(,x+,0),=F,(,x,),3.,右连续,性质,1-3,是鉴别一个函数是否是某随机变量的,分布函数的,充分必要条件,.,3,例1,一袋中有6个球，,其中,2个,标号为,1，3个,标号为,2，1个,标号为,3,任取1个球，以X表示取,出的,球,的标号,，求,X,的分布函数；并求,P,2 X 3,解,：,由已知X的可能值为1,2,3,PX=1=2/6,PX=2=3/6,PX=3=1/6.,所以X的分布律为,X 1 2 3,p,k,2/6 3/6 1/6,4,0 1 2 3,F,(,x,),x,F,(,x,),的图形,为,5,它的图形是一条右连续的阶梯型曲线,在随机变量的每一个可能取值点,x=x,k,(,k,=1,2,),该图形都有一个跳跃，跳跃高度为,p,k,一般地，对于离散型随机变量,X,来讲，如果其概率分布律为,k,=1,2,其中,x,1,x,2,则,X,的分布函数为,6,例2,一个靶子是半径为,2,米,的圆盘,设击中,靶上任一同心圆盘,上,的,点的,概率与该圆盘的半径平方成正比,并设,射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求,（,1,）,随机变量X的分布函数,解,(1),求随机变量,X,的分布函数,F,(,x,),当0,x,2时，,P0,X,x,=,c,x,2,(c,为待定常数,),又因为,0,X2,为必然事件,故,1=,P0X2,故,于是当,x,2时,X,x,为必然事件,于是,F(,x,)=PX,x,=1,7,综上所述,x,0 1 2 3,F,(,x,),的图形,F,(,x,),1,1/2,8,【注,】本例中分布函数,F,(,x,),的图形是一条连续曲线，且,除,x,=2,外，,补充定义,x,=2,处函数值为,0,后，,得到,9,第四节,连续型随机变量,及其,概率密度,一、,定义,probability density.,注：,(1),由定义知道，改变概率密度,f,(,x,),在个别点的函数值,不影响分布函数,F,(,x,),的取值，因此,概率密度不是唯一的,.,(2),连续型随机变量,的,分布函数,是连续函数,.,10,二性质,(1),(2),用于验证一个函数是否为概率密度,注,(4),式及连续性随机变量分布函数的定义,表示了分布函数与概率密度间的两个关系利用这些关系，可以根据分布函数和概率密度中的一个推出另一个,(4),若,f,(,x,),在点,x,处,连续,，,则,有,11,连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何,意义：,3.,性质,(3),表示,P,x,1,0.1,。,解,:(1),由于,于是,X,的概率密度为,，解得,k,=3.,(2),从而,14,练习,解,(1),15,例,2:,连续型随机变量,X,的分布函数,（,1,）求,A,，,B,（,2,）求,X,的概率密度（,3,）,P-1X0,t,0,有,则称,X,的分布具有无记忆性,.,指数分布具有无记忆性,2.,指数分布有着重要应用,.,如动植物的寿命、无线电元件的寿命，以及随机服务系统中的服务时间等都可用指数分布来描述,.,24,例,4,设某种灯泡的使用寿命为,X,，其概率密度为,求,(1),此种灯泡使用寿命超过,100,小时的概率,.(2),任取,5,只产品,求有,2,只寿命大于,100,小时的概率,.,解,:,(1),25,或,(2),设,Y,表示,5,只产品中寿命大于,100,小时的只数,则,故,26,解：分析：关键：,t0,时,Tt=N(t)=0.,时间间隔大于,t,，在,0,，,t,时间内未发生故障。,因为,Tt=N(t)=0,服从参数为,的指数分布。,例,4,设设备在任何长为,t,时间内发生故障的次数,N(t)(t),的,possion,分布,求相继两次故障间的时间间隔,T,的分布函数。,.,27,其中,(,0),为常数,则称,X,服从参数为,的正态分布，记为,.,显然，,f(x)0,，,且可以证明,参数 的意义将在后面的章节中给出,(,三,),正态分布,若随机变量,X,的概率密度为,28,正态分布的概率密度函数,f,(,x,),的性质,(1),曲线关于直线,x,=,对称,.,(2),当,x,=,时，,f,(,x,),取得最大值,;,(3)在,x,=,处,曲线有拐点，且以,x,轴为渐近线,;,O,f,(,x,),x,(4),对固定的,改变,的值,图形沿,Ox,轴平移,;,(5),对固定的,改变,越小,图形越尖,.,正态分布的分布函数为,:,29,标准正态分布,当,=0,=1,时,称,X,服从,标准正态分布,记作,X,N,(0,1),.,其概率密度与分布函数分别用,(,x,),(,x,),表示,.,即,x,O,x,O,-1,1,30,