第5章湍流.doc

第五章
1. 湍流与层流有何不同？湍流的主要特点是什么？试讨论由层流转变为湍流的过程。
答：湍流和层流的不同点：
（1）层流是在低临界雷诺数下发生的，而湍流是在高雷诺数下发生的；
（2）层流时的流体是规则地层层向下游流动，层与层之间的质点互不混合；而湍流时流体的质点是杂乱无章地沿各个方向以大小不同的流速流动，发生强烈地混合；
（3）层流中仅存在粘性力和质量力，而湍流中除上述力外，还存在着由于流体质点脉动所产生的雷诺应力；
（4）层流中速度分布呈现抛物线形式，而湍流时由于流体质点在主流方向之外存在的高频脉动会使流体的速度分布远较层流均匀；
（5）湍流时在壁面附近处存在着层流内层和缓冲层。
2. 试证明湍流运动中，脉动量、 、和的时均值均为零。
证：

同理可证：。
证毕。
3. 在一风洞中，用热线风速仪测得某气体在垂直方向上相距10cm两点处的瞬时速度如下（记录数据的时间间隔相等）

1.02 1.04 1.01 0.99 0.98 1.01 1.04 1.02 1.03 0.98

0.98 1.01 1.03 1.04 0.99 1.02 1.04 1.04 1.02 0.97
假定湍流各向同性，试计算上述两点处的时均速度和湍流强度。
解：

则
8×10-3 0.028 -2×10-3 -0.022 -0.032 -2×10-3 0.028 8×10-3 0.018 -0.032
-0.034 4×10-3 0.016 0.026 -0.024 6×10-3 0.026 0.026 6×10-3 -0.044
64×10-3 7.84×10-4 4×10-3 4.84×10-4 1.024×10-3 4×10-3 7.84×10-4 64×10-3 3.24×10-4 1.024×10-3
1.156×10-3 16×10-3 2.56×10-4 6.76×10-4 5.76×10-4 36×10-3 6.76×10-4 6.76×10-4 36×10-3 1.936×10-3

4. 试将雷诺方程（5-11a）、（5-11b）、（5-11c）简化成二维湍流流动（方向的瞬时速度和时均速度均为零）情况下的雷诺方程。在此情况下，方程中雷诺应力的剪应力有哪几个？
解：
x方向的雷诺方程（5-11a）为：

（1）
均为零，故 且 （二维流动）
式（1）变为
（2）
同理，y方向的雷诺方程（5-11b）变为
（3）
由于是二维流动，故式（5-11c）消失。
由式（2）和（3）可知，雷诺应力中的剪应力是唯一的，即。
5. 流体在圆管中作湍流流动时，在一定Re范围内，速度分布方程可用布拉修斯1/7次方定律表示，即

试证明截面上主体平均流速与管中心流速的关系为
=0.817
证：
＝

证毕。
6. 不可压缩流体在半径为ri的圆管作稳态湍流运动，试证明与管壁相距y处的混合长可表为

式中，为管壁处的剪应力。
解：由式（3-7）可知

式中，应包含有分子粘性应力和雷诺应力两部分。但在离壁不远处，分子粘性应力可略去不计，因此

整理得
证毕。
7. 温度为20℃的水流过内径为50mm的圆管。测得每米管长流体的压降为1500N/m2，试证明此情况下流体的流动为湍流，并求
（1）层流底层外缘处水的流速、该处的y向距离及涡流粘度；
（2）过渡区与湍流主体交界处流体的流速、该处的y向距离及涡流粘度。
解：由物性表查得 20℃水的物性：＝998.2kg/m3，

，故为湍流
（1）层流内层外缘处
∵
∴

（层流内层只有粘性力）
（2）过渡区与湍流主体交界处

＝13.956

＝18.58N/m2
∵
∴
将写成

或

8. 试应用习题7中的己知数据，求处流体的流速、涡流粘度和混合长的值。
解：
为湍流主体区

同上题方法推导 ，故

9. 常压和303K的空气，以0.1m3/s的体积流率流过内径为100mm的圆管，对于充分发展的流动，试估算层流底层、缓冲层以及湍流主体的厚度。
解：由物性表查得 303K空气的物性，

为湍流流动。
由于
故

层流内层厚度：

缓冲层厚度：

湍流主体厚度：

10. 在平板壁面上的湍流边界层中，流体的速度分布方程可应用布拉修斯1/7次方定律表示

试证明该式在壁面附近（即→0）不能成立。
证：
不存在， 该式在壁面附近（即→0）不能成立。
11. 试由圆管湍流的范宁摩擦因数的表达式导出圆管湍流速度分布的1/7定律，即

式中，为管中心最大流速（），y为由管壁算起的径向距离，ri为管半径。
解：

由于，代入上式可得

即
将 代入，得

若此式对任一由管壁算起的径向距离y和相应的速度ux均适用，则

以上二式相除得

12. 某液体在一内径为0.05m的光滑圆管内作稳态湍流流动，该液体的密度为1200kg/m3，粘度为0.01，测得每米管长的压降为528N/m2。试求此液体在管内流动的平均流速为多少？
解： （1）
设流动为湍流（），则范宁摩擦因数为

（2）
式（1）与（2）联立，得

校核雷诺数

此流动确为湍流，计算正确。
13. 20℃的水在内径为2m的直管内作湍流流动。测得其速度分布为，在离管内壁1/3 m处的剪应力为103Pa，试求该处的涡流运动粘度及混合长。
已知20℃水的密度为998.2 kg/m3，动力粘度为1.005×10-3。
解：（1）涡流运动粘度
（1）
（2）
式（2）代入式（1）并整理得

已知。可见，离管内壁1/3处的粘性扩散系数与涡流扩散系数相比，可以忽略不计。
（2）混合长
忽略粘性应力，则

其值约为管半径的13.4％。
14. 常压下和10℃的空气以10的流速流过内径为50mm的光滑圆管，试分别采用通用速度分布方程和布拉修斯1/7次方定律求算管中心处的流速，并对所获得的结果进行分析比较。
解：由物性表查得，常压下10℃的空气的物性，

流动为湍流。
（1）采用通用速度分布方程：

（2）布拉修斯次方定律法：

两种计算方法得到的结果几乎相同，表明布拉修斯次方定律在管中心范围是成立的，尽管它在壁管附近（即→0）不能成立。
15. 20°C的水稳态流过内径为10mm的光滑圆管，流动已充分发展。试求下述两种质量流率下半径中点处水的流速，剪应力及每米管长的压降:
（1）流率为50kg/h；
（2）流率为500kg/h。
解：由物性表查得，20°C的水的物性，

为层流
为湍流
（1）流率为50kg/h
半径中点 ，

（2）流率为500kg/h

16. 20℃的水在内径为75mm的光滑管内作湍流流动。已知壁面处的剪应力为3.68N/m2。试求层流内层厚度、平均流速和质量流率、管中心流速、范宁摩擦因数以及每米管长的压降。
解：由物性表查得，20℃水的物性:,

（1）层流内层厚度：

（2）平均流速和质量流率
由式（5-49）

（3）管中心流速
由式（5-51）

（4）范宁摩擦因数以及每米管长的压降
由定义

由式（3-6）

17. 温度为20℃的水，以1m/s的平均流速流过内径为50mm的粗糙管，圆管粗糙度为=0.0005。试求=20mm处水的流速和剪应力的值。
解：由物性表查得，20℃水的物性，

由和查图5-11得：

为水力光滑状态
y位于湍流主体区
由式（5-43）

18. 利用流体阻力实验可估测某种流体的粘度，其方法是根据实验测得稳态湍流下的平均速度及管长为L时的压降而求得。试导出以管内径d、流体密度、平均流速ub和单位管长压降表示的流体粘度的计算式。
解： 设流体在管内湍流且流动充分发展，则

而

移项并整理得

19. 温度为15℃的水以3m/s的均匀流速流过平板壁面。试计算距平板前缘0.1m及1m两处的边界层厚度，并求水在该两处通过单位宽度的边界层截面的质量流率。设。
解：由物性表查得，15℃水的物性，
时，
为层流边界层

时，
为湍流边界层

单位板宽（1m）的质量流率：

20. 常压和20℃的空气，以20m/s的流速流过一水平放置的平板上、下两表面。平板的宽度为2m、长度为2m，试求平板所承受的总曳力。
设。
解：由物性表查得，常压下20℃的物性，

流动为湍流。

21. 温度为10℃的水，以5m/s的流速流过宽度为1m的平板壁面，试求距平板前缘2m处的边界层厚度及水流过2m距离对平板所施加的总曳力。
设 。
解：由物性表查得，10℃水的物性，

流动为湍流。

22. 试从光滑圆管中湍流核心的对数速度分布式(5-43)和剪应力与的关系式出发，推导涡流粘度的表达式，并讨论涡流粘度或参数与雷诺数和位置的关系。
解：在湍流核心，可忽略粘性力的影响，则

移项得
（1）
湍流核心的速度分布为
，
（2）
将式（2）代入式（1），并将代入，得
（3）
或写成

由上式可见，涡流粘度或参数仅与位置有关，与雷诺数无关。
23. 试利用习题22解出的速度分布表达式，求普兰得混合长与距管壁距离之间的关系式，并对此关系式进行讨论。
解： 涡流粘度与混合长的关系为
（1）
由题22解得
（2）
（3）
将式（2）和（3）代入式（1），解得

由上式可见，混合长仅与位置有关，与雷诺数无关。
24. 设圆管内湍流的速度分布可以用一个对于光滑管和粗糙管都适用的公式表示

试证明管内范宁摩擦因数的表达式为

证： 由于
因此速度分布式可写成

式中
通过管截面的流量和平均速度为

注意到，令 ，则当时，；当时，。因此

将B的表达式代入上式，得

由于

因此
整理得
证毕。
25. 不可压缩流体沿平板壁面作稳态流动，并在平板壁面上形成湍流边界层，边界层内为二维流动。若方向上的速度分布满足次方定律，试利用连续性方程推导方向上的速度分量表达式。
解：不可压缩流体的连续性方程为

即
（1）
由速度分布的1/7次方定律式（5-65）得
（2）
将式（2）代入式（1）可得
（3）
上式对y积分可得
（4）
由湍流边界层的计算式得

（5）
将式（5）代入式（4）可得

26. 假定平板湍流边界层内的速度分布可用两层模型描述，即在层流底层中，速度为线性分布；在湍流核心，速度按1/7规律分布，试求层流底层厚度的表达式。
解： 层流底层很薄，故有
（1）
平板湍流壁面剪应力又可由式（5-56）表示，即
（2）
以上两式联立得到
（3）
令层流底层厚度为，其外缘与湍流核心接壤处的速度为，则上式可写成
（4）
或写为
（5）
另一方面，湍流核心的速度可用1/7次方定律描述，即

在两层交界处，有

或写成
（6）
式（5）与式（6）联立得

将 代入上式，可得
（7）
将式（7）代入式（6）中，得

再将 代入上式，可得

27 . 在范围内，管内充分发展的湍流的范宁摩擦因数可用布拉休斯公式表示

试求层流底层厚度的表达式。
解：
或

将布拉休斯公式代入上式，得

28. 已知流体在圆管内作湍流流动时的速度分布可用式（5-40）表示，即

现将上式写成如下一般形式
（1）
式中 ，试用量纲分析法导出式（1）。
解：圆管湍流速度分布的一般形式为

或
选取、和y为3个基本物理量，则其余5－3＝2个物理量可表达成
（1）
（2）
将各相关物理变量的量纲代入式（1），可得

上式两端M、L和的指数应相等，即

解得 ，，
故有
同理可得
故有
即
或写成
写成倒数形式为
29. 按1：30比例制成一根与空气管道几何相似的模型管，用粘度为空气的50倍、密度为800倍的水做模型实验。（1）若空气管道中流速为6m/s，问模型管中水的流速应多大才能与原型相似？（2）若在模型中测得压降为226.8kPa，试求原型中相应的压降为多少?
解：（1）根据相似性原理，对于几何相似管（包括相对粗糙度相等），当雷诺数相等时，流动达到动力相似。
以下标p表示原型，下标m表示模型，则

即
故模型管水流速应为

（2）由Eu数相等，

故原型压降为

20