A题-2013.doc

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
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日期： 2013 年 9 月 15 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

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阅
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评
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备
注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

车道被占用对城市道路通行能力的影响

摘要

首先建立通行能力折减系数模型，本文对正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，对视频中的车流量进行统计，并标准当量化，发现其折减系数较为均匀的下降。
在问题二，对发生交通事故断面对通行能力的影响用折减系数体现，通过对各个时刻折减系数的描述来反应所处横断面实际通行能力的变化过程，二中的折减系数波动较大且通行能力比一高。
在问题三中建立交通流量波动模型，并运用AutoCAD对模型部分图像进行绘制，得出最长排队长度公式和消散时间公式，发现对时间的预测比较好，对空间的预测与食品中的相差较大，然后针对这个问题进行改进，得到队伍长度为146米。
问题四引用流体模型，都到每分钟参与排队的车辆数，通过阻塞密度得到在事故持续不撤离的条件下，排队到上游路口所用的时间在（10，11）分钟之间。
将排队长度与实际通行能力，事故持续时间，上游的需求量由方程体现出来，为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。
所以此模型在现实生活中推广使用将有很大利用价值

关键词：交通拥堵，折减系数，车流波动论，流体模型

一、 问题重述

车道可能由于交通事故、路边停车、占道施工等因素而被占用，导致车道横断面通行能力在单位时间内出现降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。
正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导
车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。
视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。研究以下问题：
1. 根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实
际通行能力的变化过程。
2.根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
3.构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。
4.假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。估算从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。

二、 问题的分析

交通车流具有流体性，当由于交通事故会占用部分道路资源时，车流行驶至事故区域，车流会重新分布，因为部分车道封闭，处于封闭车道上的车辆不得不变换车道，行驶至开放车道，由此产生交通车流融合的合流。
（1）对于问题一，交通事故的发生改变了公路路段的道路条件，由于事故车道受阻，从而形成道路瓶颈，造成主线车速降低，并以波的形式向车辆行进的逆方向传递，因此，公路上发生交通事故，事故点的通行能力必然降低，通常都先计算基本交通能力，再根据实际同行能力（数据从视频一收集得到）来确定折减系数。
问题一通过对折减系数的描述来反应事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通
行能力的变化过程。

（2）对于问题二，根据问题一所得结论，结合从视频一、视频二中收集的数据计算得到相应的折减系数，说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异并分析其原因。
（3）对于问题三，部分车道被出事车辆所占用，通行能力下降，上游交通需求量大于路段现行交通能力时，就会形成排队，利用车流波动理论模型对排队长度进行定量的分析研究并进行相应的改进。

（4）对于问题四，交通事故发生后，事故影响不同时间段内车辆排队长度的不同变化，通过对问题三模型的解答我们将会解得，排队长为140米时所对应的时间。
根据视频可以得到许多关于车流量、通行能力、车速等方面的数据，但这些数据通常具有不完全性和随机性，所以本文在信息提取和模型建立上提出了适当的简化处理方法。

三、 基本假设

1） 视频中所给出的信息能正确地反应集结和消散的车流量；
2） 事故地点上下游车流量稳定；
3） 进入事故路段时，车辆根据下游方向的选择而选择相应的车道；

四、 符号说明

符号
说明
单位

事故条件下的通行能力
辆/h

正常情况下的通行能力
辆/h

折减系数
\

事故解除前通行能力
辆/h

事故解除前车流速度
km/h

事故解除前车流密度
辆/km

事故解除后通行能力
辆/h

事故解除后车流速度
km/h

事故解除后车流密度
辆/km

阻塞密度
辆/km

事故时路段的车流需求量
辆/h

事故后路段的车流需求量
辆/h

事故时路段的车速
km/h

事故后路段的车速
km/h

事故处理时间
min

队列持续增加至最长时间
min

两波相遇时间
min

五、 模型的分析、建立与求解

5.1问题一的解答：

根据附件视频一收集的数据，可以得到单位时间的不同类型的车流量。本文将车辆类型分为三类，即公交车、小汽车和电瓶车（用1,2,3代替）。
交通事故的发生改变了公路路段的道路条件，由于事故车道受阻，从而形成道路瓶颈，造成主线车速降低，并以波的形式向车辆行进的逆方向传递，因此，公路上发生交通事故，事故点的通行能力必然降低，通常都先计算基本交通能力，再根据因素来确定折减系数，不妨设折减数为，用值表示其通行能力的大小。其通行能力计算公式如下：

式中：
为事故条件下的通行能力；
为正常情况下的通行能力；
为交通事故下通行能力的折减系数。
根据《城市道路设计规范》[1]（CJJ37-90）一条道路的理论通行能力值，见下表：

表1：城市道路与车流量规范表

V(km/h)
60
50
40
30
20
Co(pcu/h)
1730
1690
1640
1550
1380
查阅资料后，得知在城市内的道路行驶时一般不得超过40 km/h，可以得到:
pcu/h
在视频中可以得到每分钟通过的各种车辆数，由于不同种类的车的尺寸不同，这样就对通过能力的计算产生影响。本文先对各种车辆进行当量标准化，根据《公路工程技术标准》[2]，将小汽车作为标准车型给出车辆换算系数，见表2：

表2：不同车辆的换算系数

车型
公交车
小汽车
电瓶车
换算系数
2
1
0.5
根据从视频中收集的数据和换算系数，可以得到自视频开始时每分钟标准当量后的车流量（部分，全部数据间附录1）。（单位：辆/分）数据见表3：

表3：通过事故截面车流量变化表

时刻（min）
1
2
3
…
15
16
17
18
19
20
21
车辆类型
1
1
1
1
…
1
2
1
1
5
7
7
2
8
13
16
…
13
12
19
16
18
30
14
3
5
6
9
…
4
0
0
5
2
5
2
标准当量
12.5
18
22.5
…
17
16
21
20.5
29
46.5
29

将车流量换算为标准单位制后与正常情况下的通行能力相比，得到各个时刻的折减系数。根据题目要求，本文取事故后一分钟至事故结束前一分钟的数据并作图。
表4：各时刻的折减系数

事故后时间
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
通行能力
1470
1140
1230
1050
1290
1200
1260
1110
1230
1020
990
折减系数
0.90
0.70
0.75
0.64
0.79
0.73
0.77
0.68
0.75
0.62
0.60
其中，折减系数的平均值为0.72，方差是0.0065

图1：视频一中事故发生后各时刻的折减系数
折减系数表示事故后的实际通行量与正常情况下通行量的比，其值越小表示拥堵情况越严重。根据图1可知，在事故发生后折减系数呈波动下降趋势，但其方差是0.0065，可以认为折减系数比较均匀的下降，即拥堵情况越来越严重。

5.2问题二的解答：

对视频二处理和视频一基本一致，从视频中收集每分钟的车流量，通过计算得到其车流量和折减系数（部分，全部见附录2），见表5：

表5：附件2中事故发生后各时刻的折减系数

时刻
1
2

3
4
…
23
24
25
26
27
28
通行能力
1710
1350
1470
1560
…
1890
1230
1140
1200
1410
1260
折减系数
1.04
0.82
0.90
0.95
…
1.15
0.75
0.70
0.73
0.86
0.77
其中，折减系数的平均值为0.84，方差为0.03
根据表中的关于折减系数的数值可以得到折减系数在事故发生后各个时刻的值作图。

图2：事故后各时刻的折减系数

如图所示，折减系数波动较大，方差为0.03，是附件一中数据的6倍，说明其拥堵程度并不均匀。平均值为0.84，说明其拥堵情况总体来说并不是很严重。
通过表4和表5、图1和图2的对比，可知视频一中拥挤情况比二中拥挤情况严重且一中的拥堵程度随时间变化比较均匀。
原因分析：当车流进入合流后，封闭车道上的车辆需要进行换道行驶，这就需要与开放车道上的车辆争夺道路使用权，但是二者的机会并不均等，开方车道上的车辆将享有优先使用权，而封闭车道上的车辆等到开发车道的车辆走后才有权使用车道。示意图如下（方向：从左到右；从下至上一次为1,2,3车道）：

图3：附件二中车辆通过事故截面示意图
由附件3可知，车辆在下游路径选择上有不同。

表6：车辆在下游换道方式的比例
下游换道方式
左转
直行
右转
所占比例
35%
44%
21%

直行的车辆在事故截面无论向左还是向右对拥堵的贡献量假设是相同的。由表可以看出，选择左转人数的比例（35%）比选择右转（21%）的人多了近67%。根据交通规则，选择左转的在3车道，选择右转的在1车道。当交通事故占领2,3车道时，选择右转的车辆较多，导致排队情况比较严重；当交通事故占领1，2车道时，选择左转的车辆较少，导致排队情况相对轻松。

5.3问题三的解答：
5.3.1模型的理论基础

从交通事故发生到事故消除，这期间由于部分车道被出事车辆所占用，因此该路段的通行能力下降，上游交通需求量大于路段现行通行能力时，就会形成排队。当事故解除以后，路段通行能力有所回升，此时排队仍然存在，所以根据流量密度关系，时的通行能力还达不到该路段原有通行能力。当排队彻底消散以后，通行能力恢复到原有水平，该路段恢复正常行车。
假设上游交通需求量大于事发路段现有通行能力，到达车流在事故地点陆续减慢速度甚至停车而集结成密度较高的队列，事故解除后，由于路段通行能力的恢复，排队车辆又陆续加速而疏散成一列具有适当密度的车队，流中两种不同密度部分的分界面经过一辆辆车向车队后部传播的现象，称为车流波动[3]。
上游车流由高速低密的畅通状态转变为低速高密的拥挤状态，从而形成集结波，波面以一定的速度向车队的后方传播；事故解除后，除了集结波继续向车队后方传播外，在车队的前方又形成了消散波，波面同样向车队后方传播。当消散波的速度大于集结波的速度时排队消散终能完成。

5.3.2模型建立

由车流波动理论可知，波速
公式为：
（1）
（2）

图4：车队运行变化图
1993年，格林希尔茨（Green－shields）提出了速度－密度线性关系模型：
(3)
由以上⑴、⑵、⑶式可以推导
出波速与密度的关系
（4）

O
车辆数/辆
时间/分
—— 到达车辆数
------ 通过车辆数

图5：车辆累计消散图

图5：车辆累计消散过程图

图5为事故发生后累计车辆－时间图，实线表示交通需求流量，点划线表示通过能力。 叙述简便，对所用符号说明如下：事故发生时堵塞了部分车道，该路段通行能力下降；相应密度上升；交通事故处理所需时间；事故解除后到车队消散前通行能力回升为；车流密度相应地下降为。其中路段的通行能力由图4中点划线的斜率表示。路段上游交通需求流量为、； 由图5中实线斜率表示；持续时间为、,相应的车流密度，。
在图5中可以看出当两条折线相交时表示车队消散，所需时间T。但无法计算出排队长，可用车流波动理论进行求解。
T
L/m
O
1
2
3
B
C

t/min

图中每条曲线表示每一辆车运行的时间-空间轨迹。横轴表示时间，纵轴表示与事故点的相对位置，原点O表示事故发生点，纵轴的负半轴表示事故点的上游，正半轴表示事故点的下游，虚线OA，OB表示集结波，CB表示消散波，其斜率的绝对值表示波速，斜率的正负号表示波传播的方向。两波相遇的时间为T，当集结波与消散波在T>0的范围内有交点时，表示车队可以在有限时间内消散，否则不能消散。
首先假设两波相遇之前该路段需求流量始终为，OA与CB相交处表示排队向上游延伸到的最远处，设两波相遇时的时间为T，集结波波速为，消散波波速为，则根据两波相遇时波传播的距离相等这一关系可知：
（5）
其中：

则：
若T>,则说明在车队消散之前该路段上游需求量 发生了变化，需求流量变为Q2，相应的密度变化为。所以（5）式改写为：

其中：
则：
根据公式：
从而解出此次事故的排队长，即集结波的最大范围。
由图3可知，车队消散时间为

其中：—路段通行能力，时的行车速度，

5.3.3模型检验
5.3.3.1数据准备

根据表3，可得在事故发生时的车流量为20辆/分，即=1200 pcu/h;
根据视频此时车速=12 km/h；
此时车流密度=/=100 辆/km；
事故持续时间游视频可以测得，=18.8 min；
事故解除后通行能力=1500 pcu/h；
根据视频测得此时车速=20 km/h；
此时车流密度=/=75辆/km；
阻塞密度，通过网络查阅城市道路的=110辆/km；
到达车辆数可以看做通过车辆数（表3）与等待车辆数之和。等待车辆数数据亦可从视频中收集，最终得到车辆到达数。见图7

0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
时间/分
到达车辆数/辆

图7:各时刻的车辆到达数
通过Matlab拟合，可以得到前后两段的斜率，即,其中：
=2485 pcu/h；=1740 pcu/h；
=36 km/h；=50.4 km/h；
可得=69辆/km；=35辆/km

5.3.3.2数据计算
假设两波相遇时车流需求量保持不变=2485 pcu/h，则
=>
由此可知，假设不成立。两波相遇时的车流需求量为=1740 pcu/h；则
=38.1 min
=7.55 km
=38.4 min

5.3.3.3结果分析

由数据计算结果可以看出，次模型对两波相遇的时间（排队时间）预测比较接近实际，对排队长度的空间预测与实际有偏差。
可能的原因是：车辆的集结与消散并不是均匀的；
本文的数据在收集上具有一定的随机性；
路段不是无限长，模型中没有考虑红绿灯对车流量的影响。
由以上几个原因需要对模型进行改进。

5.3.4模型改进[4]
图（7）中上面一条折线的斜率表示需求流量和,其中持续时间为,对应的密度记为,随后流量下降到,对应密度记为 ,因交通事故堵塞了部分车道,使通行能力下降为,密度相应地上升为,持续时间为 ,在随后的时间为排除故障的完全封路期,通行能力变为零,密度达到最大值,随着故障被部分排除,通行能力恢复到,对应密度为,持续时间为,故障完全排除后,通行能力达到最大值,对应密度记为,的持续时间记为 ,如果
从图中不难推出：
（1）
如果
（2）
图(8) 中下边的折线 OBCHM表示流量的供给,即通行能力。值的指出的是,上下折线之间的垂直距离并不是排队车数, 由上图是不可能求出排队占用道路的长度。

图8

2　用集散波理论表示排队的真实长度
图8之下图是与上图相对应的, 时间轴的刻度完全一样, 下图能把车流的阻塞——消散过程详细的表示出来, 它包含了车流的所有信息—— 流量、速度和密度的变 化, 排队车辆数及其所占路长总延误及消散时间等等。下图的纵轴表示道路中心线上的不同位置 X 。图中由左下方折向右上方的带编码a、b、c、d、e、f 的每一根折线表示一辆车在时间空间二维平面上的运动轨迹。折线的斜率表示该车的速度, 其两折线之间的水平距离表示相应两车的车头时距中间可能还有其它车辆) , 纵向距离为相应两车车头的空间距离。车流中密度不相同的两部分的分界称为集散波, 众所周知的波速公式为：

有如下公式;:

式中: 如前文为车流停车时的最大密度; 为畅流流量 所对应的密度;为拥挤流量 所对应的密度。

图9：Q-K的二次抛物线模型

3　系列公式
( 1) 图 1 下图是以集散波理论为基础, 对照图 1 上图画出来的, 现以 tp 和 x p 分别表示图1 中 P 点的时间坐标和位置坐标。在波速公式 中, 可省略 Q, 只留下下标 i, 简记为, 如果 Q i= 0, 简记为 , 若 等于零, 简记为 , 密度为简记为 。
( 2) 可求出最远距离：
（3）以公式( 1) 以及波速公式代入式( 3) , 可推导出
（4
（5）
。
如果 , 且 , 则 F 是最远点, 通过图8可得
（6）
（7）
若最远点为
（8）
若且则最远点为
（9）
若则最远点为
（10）
信号交叉口的信号周期 C= 60 s，相位时间均为30s，黄灯时间为3s。饱和流量 S = 1700 ，
辆/ h, 到达流量在红灯前段 9s 内为 Q1= 2300 辆/ h, 在同期内其余时段为 Q 2= 1080辆/ h,假设Q-K 模型曲线为二次抛物线, 可算出

35辆/km

于是由式( 4) 及式( 5) 得
3.211928 ，
由于符合公式（9）的条件，所以
代入数据得
由实际情况可知，排队长队为164米，与实际符合较好。

5.4问题四的解答：

图8
由表3数据可知，通过车流量为1200 pcu/h。问题四假设路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h且保持不变，事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。由此可以定性的看出排队是不可避免且队伍越来越长。对于车流波动理论，表示集结与消散两波相遇的时刻，表示最大排队长，由车流波动理论不能直接求得队伍排到140所需的时间。可以假设队伍在排到140米之前不采取措施，保证事故不撤离。
前段队长的增加是比较均匀的，则每秒队伍增加长度
=（7.551000）/（38.460）=3.3 m/s
则排到140米处需要的时间t=140/3.3 = 42.4 s。
此结果视频实际情况偏差较大。考虑另一个模型，流体模型。

其中， 排队车量
集结车量
消散车量
> 0时排队，时，不排队
由题目要求可知上游车流量为1500pcu/h，则=25 辆/分，通过车流量为1200 pcu/h，则=20辆/分。由于红绿灯的影响，消散过程是连续的，集结过程是不连续的。
根据问题三可知，阻塞密度=110 辆/km，阻塞即车辆无法通行时车辆密度。由此可以得到车辆排队140m时对应的车辆数n=16辆。假设车辆不计较均匀的分布在三条车道上，根据图3的事故截面示意图，参与排队的车辆数为=1+3(16-1)=46辆。对于队尾，只要有一条道路达到140米即算队长为140米，此时是最少车辆数为46-2=44辆。故达到140米的排队车辆数属于（44,46）
在第一分钟，假设前30秒绿灯，后30秒红灯。则在第一分钟内能够全部消散全部车辆，即不发生排队。在第二分钟之后，每分钟有5辆车参加排队。则在第10分钟就有45辆车参与排队，在第11分钟有50辆车参与排队。故在（10,11）分钟之间排队长度达到140米。

参考文献：
[1]蒋彦鑫等，北京市市政设计院，1991；
[2]邵长桥，《车辆换算系数》，北京工业大学交通研究中心，2010；
[3]孔惠惠等，《交通事故引起的排队长度及消散时间的估算》，研究与建议报27卷第五期，2005；
[4]郭冠英等，《道路阻塞时的车辆排队长度计算方法》，中国公路学报，1998.

附件
附件1：
时刻（min）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
车辆类型
1
1
1
1
4
3
1
0
1
0
1
0
2
8
13
16
16
11
16
15
17
18
16
17
3
5
6
9
1
4
5
5
5
4
6
3
标准当量
12.5
18
22.5
24.5
19
20.5
17.5
21.5
20
21
18.5
时刻
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

车辆类型
1
1
0
0
1
2
1
1
5
7
7

2
16
16
14
13
12
19
16
18
30
14

3
5
2
5
4
0
0
5
2
5
2

标准当量
20.5
17
16.5
17
16
21
20.5
29
46.5
29

附件2：
事故后时间
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
通行能力
1710.00
1350.00
1470.00
1560.00
1380.00
1620.00
870.00
折减系数
1.04
0.82
0.90
0.95
0.84
0.99
0.53
事故后时间
8.00
9.00
10.00
11.00
12.00
13.00
14.00
通行能力
450.00
1590.00
1740.00
990.00
1380.00
1230.00
1260.00
折减系数
0.27
0.97
1.06
0.60
0.84
0.75
0.77
事故后时间
15.00
16.00
17.00
18.00
19.00
20.00
21.00
通行能力
1530.00
1470.00
1440.00
1350.00
1650.00
1620.00
1470.00
折减系数
0.93
0.90
0.88
0.82
1.01
0.99
0.90
事故后时间
22.00
23.00
24.00
25.00
26.00
27.00
28.00
通行能力
1560.00
1890.00
1230.00
1140.00
1200.00
1410.00
1260.00
折减系数
0.95
1.15
0.75
0.70
0.73
0.86
0.77