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第三章 多维随机变量及其分布

1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：

试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。
解：（1）放回抽样情况
由于每次取物是独立的。由独立性定义知。
P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)
P (X=0, Y=0 )=
P (X=0, Y=1 )=
P (X=1, Y=0 )=
P (X=1, Y=1 )=
或写成
X
Y
0
1
0

1

（2）不放回抽样的情况
P {X=0, Y=0 }=
P {X=0, Y=1 }=
P {X=1, Y=0 }=
P {X=1, Y=1 }=
或写成
X
Y
0
1
0

1

3.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。
X
Y
0
1
2
3
0
0
0

1
0

2

0
解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为
P {X=0, Y=2 }=
P {X=1, Y=1 }=
P {X=1, Y=2 }=
P {X=2, Y=0 }=
P {X=2, Y=1 }=
P {X=2, Y=2 }=
P {X=3, Y=0 }=
P {X=3, Y=1 }=
P {X=3, Y=2 }=0
5.[三] 设随机变量（X，Y）概率密度为
（1）确定常数k。 （2）求P {X<1, Y<3}
（3）求P (X<1.5} （4）求P (X+Y≤4}
分析：利用P {(X, Y)∈G}=再化为累次积分，其中
解：（1）∵，∴
（2）
（3）
y
（4）
6．（1）求第1题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律
（2）求第2题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。
2
解：（1）① 放回抽样（第1题）
X
Y
0
x+y=4
1
1
0

x
o

1

边缘分布律为
X 0 1 Y 0 1
Pi· P·j
② 不放回抽样（第1题）
X
Y
0
1
0

1

边缘分布为
X 0 1 Y 0 1
Pi· P·j
（2）（X，Y ）的联合分布律如下
X
Y
0
1
2
3
0
0

0
3

0
0

解： X的边缘分布律 Y的边缘分布律
X 0 1 2 3 Y 1 3
Pi· P·j
7.[五] 设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为

解：

8.[六] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
x=y
y
求边缘概率密度。
x
o
解:

9.[七] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。
解: l=
y
o

y=x2
x

15. 第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。
解：放回抽样的情况
P {X=0, Y=0 } = P {X=0}·P {Y=0} =
P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=
P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=
P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}=
在放回抽样的情况下，X和Y是独立的
不放回抽样的情况：
P {X=0, Y=0 } =
P {X=0}=
P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }=
P {X=0}·P {Y=0} =
P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0}
∴ X和Y不独立
16.[十四] 设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y的概率密度为

（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。
解：（1）X的概率密度为
y=x2
Y的概率密度为
1
x
D
y
o
且知X, Y相互独立，
于是（X，Y）的联合密度为

（2）由于a有实跟根，从而判别式
即： 记

19.[十八] 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为

并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。
解：（1）设第一周需要量为X，它是随机变量
设第二周需要量为Y，它是随机变量
且为同分布其分布密度为

Z=X+Y表示两周需要的商品量，由X和Y的独立性可知：

∵ z≥0
∴ 当z<0时，fz (z) = 0
当z>0时，由和的概率公式知

∴
（2）设z表示前两周需要量，其概率密度为
设ξ表示第三周需要量，其概率密度为：

z与ξ相互独立
η= z +ξ表示前三周需要量
则：∵η≥0， ∴当u<0， fη(u) = 0
当u>0时

所以η的概率密度为

22.[二十二] 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，20）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。
解：设X1，X2，X3，X4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为：

设N=min{X1，X2，X3，X 4}
P {N>180}=P {X1>180, X2>180, X3>180, X4>180}
=P {X>180}4={1－p[X<180]}4= (0.1587)4=0.00063
27.[二十八] 设随机变量（X，Y）的分布律为

X
Y
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
0
0.01
0.01
0.01
0.01
0.02
0.03
0.02
0.03
0.04
0.05
0.04
0.05
0.05
0.05
0.06
0.07
0.06
0.05
0.06
0.09
0.08
0.06
0.05
（1）求P {X=2|Y=2}，P {Y=3| X=0}
（2）求V=max (X, Y )的分布律
（3）求U = min (X, Y )的分布律
解：（1）由条件概率公式
P {X=2|Y=2}=
=
=
同理 P {Y=3|X=0}=
（2）变量V=max{X, Y }
显然V是一随机变量，其取值为 V：0 1 2 3 4 5
P {V=0}=P {X=0 Y=0}=0
P {V=1}=P {X=1，Y=0}+ P {X=1，Y=1}+ P {X=0，Y=1}
=0.01+0.02+0.01=0.04
P {V=2}=P {X=2，Y=0}+ P {X=2，Y=1}+ P {X=2，Y=2}
+P {Y=2, X=0}+ P {Y=2, X=1}
=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16
P {V=3}=P {X=3，Y=0}+ P {X=3，Y=1}+ P {X=3，Y=2}+ P {X=3，Y=3}
+P {Y=3, X=0}+ P {Y=3, X=1}+ P {Y=3, X=2}
=0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28
P {V=4}=P {X=4，Y=0}+ P {X=4，Y=1}+ P {X=4，Y=2}+ P {X=4，Y=3}
=0.07+0.06+0.05+0.06=0.24
P {V=5}=P {X=5，Y=0}+ …… + P {X=5，Y=3}
=0.09+0.08+0.06+0.05=0.28
（3）显然U的取值为0，1，2，3
P {U=0}=P {X=0，Y0}+……+ P {X=0，Y=3}+ P {Y=0，X=1}
+ …… + P {Y=0，X=5}=0.28
同理 P {U=1}=0.30 P {U=2}=0.25 P {U=3}=0.17
或缩写成表格形式
（2） V 0 1 2 3 4 5
Pk 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28
（3） U 0 1 2 3
Pk 0.28 0.30 0.25 0.17
（4）W=V+U显然W的取值为0，1，……8
P{W=0}=P{V=0 U=0}=0
P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1U=0}
∵ V=max{X，Y}=0又U=min{X，Y}=1不可能
上式中的P{V=0，U=1}=0，
又 P{V=1 U=0}=P{X=1 Y=0}+P{X=0 Y=1}=0.2
故 P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1，U=0}=0.2
P{W=2}=P{V+U=2}= P{V=2, U=0}+ P{V=1，U=1}
= P{X=2 Y=0}+ P{X=0 Y=2}+P{X=1 Y=1}
=0.03+0.01+0.02=0.06
P{W=3}=P{V+U=3} P{V=3, U=0}+ P{V=2，U=1}
= P{X=3 Y=0}+ P{X=0，Y=3}+P{X=2，Y=1}
+ P{X=1，Y=2} =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13
P{W=4}= P{V=4, U=0}+ P{V=3，U=1}+P{V=2，U=2}
=P{X=4 Y=0}+ P{X=3，Y=1}+P{X=1，Y=3}
+ P{X=2，Y=2} =0.19
P{W=5}= P{V+U=5}=P{V=5, U=0}+ P{V=5，U=1}
+P{V=3，U=2} =P{X=5 Y=0}+ P{X=5，Y=1}
+P{X=3，Y=2}+ P{X=2，Y=3} =0.24
P{W=6}= P{V+U=6}=P{V=5, U=1}+ P{V=4，U=2}
+P{V=3，U=3} =P{X=5，Y=1}+ P{X=4，Y=2}
+P{X=3，Y=3} =0.19
P{W=7}= P{V+U=7}=P{V=5, U=2}+ P{V=4，U=3}
=P{V=5，U=2} +P{X=4，Y=3}=0.6+0.6=012
P{W=8}= P{V+U=8}=P{V=5, U=3}+ P{X=5，Y=3}=0.05
或列表为
W 0 1 2 3 4 5 6 7 8
P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05
[二十一] 设随机变量（X，Y）的概率密度为

（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX (x)，fY (y)
（3）求函数U=max (X, Y)的分布函数。
解：（1）
∴
（2）

（3）Fu (ω)=P {U ≤ u}=P {)=P {X ≤ u, Y ≤ u}
=F (u, u)=
u<0, FU (u) = 0

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