三中值定理应用.doc

第三章 微分中值定理与导数的应用
§1内容提要
一、介值定理
1、定理1（零点定理）
设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有一点使
2、定理2（介值定理）
设函数在闭区间上连续，且及，那么对于与之间的任一个常数，开区间内至少有一点，使
二、微分中值定理
1、定理3（费马（fermat）引理）
设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有（），那么。
注：①费马引理函数的极值点若可导，则其导数为0。
②一阶导数等于零的点称为函数的驻点。
2、 定理4（罗尔（Rolle定理））
如果函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；
3）在区间端点处的函数值相等，即，
那么在内至少有一点，使得。
3、定理5（拉格朗日（Lagrange）定理）
如果函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导，
那么在内至少有一点，使得。
4、定理6
如果函数在区间上的导数恒为零，那么函数在区间上是一个常数。
5、定理7（柯西（Cauchy）定理）
如果函数及满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；
（3）对任一那么在内至少有一点，
使得。
6、定理8（泰勒（Taylor）定理）
如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对有，
其中，这里是与之间的某个值，此公式也称为带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式。
（1）当时，
称为带有皮亚诺（Peano）余项的阶泰勒公式。
（2）在泰勒公式中，如果取，则在与之间，此时可令，下面两公式分别称为带有拉格朗日余项的阶麦克劳林公式和带有皮亚诺余项的阶麦克劳林公式：

§2 典型题型与例题分析
题型一 证明存在，使
解题提示：用介值定理。唯一性由（或）确定。
例1、设在上连续，当时，（为常数）。试证明：若，则方程在上有且仅有一个实根。（提示：由拉格朗日中值定理在中先找到一点，使，然后再用介值定理，注意唯一性）
例2、设在上连续，且，证明在内存在唯一的，使得直线将曲线和直线以及所围成的平面图形分成面积相等的两部分。
例3、设函数在上连续，且。试证：在内至少存在两个不同的点，使
分析：证明介值问题，一般两种情形：（1）要证的结论与某函数在一点的函数值有关，但与其导数值无关，可考虑用连续函数的介值定理（如例1，例2）；（2）要证的结论与某函数在某一点的导数值或更高阶导数值有关，则应考虑微分中值定理（包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒公式）（题型二将详述）。
本题要证的结论与导数无关，但用连续函数的介值定理又解决不了，是隐含介值问题，实际上应用微分中值定理解决，根据，利用变限积分的函数作辅助函数。
本题提示：本题直接用连续函数的介值定理比较困难，可考虑作辅助函数：。显然有，但要证本题结论，还需要找的一个零点，这要由第二个条件来实现，为了与联系起来，可将其变换为再通过分部积分和积分中值定理就可达到目的。
例4、设在上连续，在上有连续的导数且在
内，并且，试证至少存在两个不同的点
，使。（提示：同例3）
题型二 证明存在，使
解题提示：用罗尔定理（或多次利用罗尔定理）
例5、设函数在上连续，在内可导，且
。试证必存在，使。（提示：只需证明存在一点，使然后应用罗尔定理即可。由条件，问题转化为1介于函数的最值之间，用介值定理就可以达到目的。）
例6、设函数在区间上有三阶导数，且，设，
证明：在内存在一点，使得。（提示：直接用麦克劳林公式，也可以三次用罗尔定理）
例7、设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，且，证明：存在，使得。
（本题综合考查介值定理和罗尔定理。提示：令，只需对用罗尔定理。）
题型三 证明存在，使
解题提示：构造辅助函数，利用中值定理）
步骤：（1）将换为；（2）恒等变形，便于积分；
（3）积分并分离常数：，则即为所需的辅助函数。
例8、设在上连续，在内可导，且满足
，
证明至少存在一点，使得。（提示：将要证关系式中的换为，并作恒等变形得，两边积分后得故可作出辅助函数，对已知条件使用积分中值定理，然后对辅助函数应用罗尔定理即可。）
例9、设在内上连续，在内可导，且，但当时，，求证对任意自然数，在内存在，使。 （提示：将所证结论中改为，两边积分后，可作出辅助函数）。
例10、设在上可导，且同号，证明：至少存在一点，使。 （提示：令，注意到同号，故用柯西中值定理）。
例11、设在内上连续，在内可导，且，
证明：（1）存在，使；
（2）对任意自然数，必存在，使
（提示：(1)直接用介值定理即可；（2）令利用罗尔定理）
例12、假设函数和在存在二阶导数，并且
，试证：（1）在开区间内；
（2）在开区间内至少存在一点，使。
（提示：对等式积分可令辅助函数为
。再利用罗尔定理即可）
题型四 双介值问题，要证存在两个中值满足某种关系的命题
解题提示：先用一次中值定理转化为单介值问题，一般是再用一次拉格朗日中值定理或柯西中值定理。
例13、设在上连续，在内可导，且，试证 ：存在，使得
（提示：将要证结论改写为即证。
令，对其应用拉格朗日中值定理。）
评注：对双介值问题（证明，使）一般按以下步骤证明：
（1）与，化为。
（2）若容易找到，使（或），则对应用拉格朗日中值定理，得。
（3）应用微分中值定理，证明。
例14、设在上连续，在内可导，且，试证 ：存在，使得（提示：应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理。）
例15、设在上连续，在内可导，且，试证 ：
（1）存在，使得
（2）存在两个不同的点，使得
（提示：第一问用闭区间上连续函数的介值定理；第二问为双介值问题，考虑用拉格朗日中值定理，并注意用第一问已得结论。）
题型五 不等式的证明
解题提示：不等式的证明方法很多，一般有：①利用单调性证明不等式；②利用极值与最值证明不等式；③利用凹凸性证明不等式；④利用拉格朗日中值定理证明不等式；⑤利用泰勒展开式证明不等式。这里只简要叙述④⑤两种方法，应用拉格朗日中值定理的难点在于找到适当的函数名，将其在某两点的函数值之差与要证的不等式联系起来，如果辅助函数的一阶导数不能确定符号，需要二阶甚至二阶以上的导数信息才能证明不等式，此时也可考虑用泰勒公式证明。
类型一 利用微分中值定理证明不等式
例16、设在上连续，在内可导，且又求证 ：对任意必有（提示：当在上利用拉格朗日中值定理证明。当在与上分别利用拉格朗日中值定理证明）例17、设在上二阶可导，且在内达到最小值，又在。证明：

（提示：存在使在与上分别使用）
类型二 利用泰勒公式证明不等式
适用于二阶以上可导的情形。
例18、设在上具有二阶导数，且满足条件，其中都是非负常数，证明：对任意必有
（提示：再将分别代入相减。并注意
）
例19、设在上具有二阶导数，且在上的最小值等于，试证：至少存在一点使（提示：，在点处泰勒展开，并将分别代入。）
题型六 中值定理的综合应用
例20、设在内连续，在处可导，且
（1）求证：对任意给定的存在使

（2）求极限
（提示：（1）令对其应用拉格朗日中值定理；（2）由（1）得
再令两边分别取极限）
例21、设在上具有三阶连续导数，且证明在内至少存在一点，使得
（提示：将在展成二阶麦克劳林公式，令得到两式相减，对用介值定理。）
附：01-07年天津市大学生数学竞赛中与该部分内容有关的题目
1、设在区间具有二阶连续导数，且
证明：（01年试题）
2、设在区间上连续，在可导，且，求证：在内至少存在一点在，使得。（01年试题）
3、设具有二阶连续导数，且在曲线上任意取一点作曲线的切线，此切线在轴上的截距记作，求：
（03年试题）
4、设在区间上连续，在可导，且，试证明：对于任意给定的正数和，在开区间内存在不同的和，使得
（03年试题）
5、设正整数，证明方程至少有两个实根。（04年试题）
6、设函数在闭区间上具有连续的二阶导数，证明：存在，使得。（05年试题）
7、设函数在闭区间上具有二阶导数，且，证明：存在一点，使得。（05年试题）
8、证明：当时，。（07年试题）
9、设在连续，在可导，且有，则至少存在一点，使。（07年试题）
答案提示
1、对进行泰勒展开。
2、先利用积分中值定理，再利用罗尔定理。
3、过点的曲线的切线方程为：
注意到：由于，在的邻域内当时。因此，此直线在x轴上的截距为，且=0。
利用泰勒公式将在点展开，得到
在0与之间
在0与之间
代入得

4、提示：取数，由介质定理知，存在，使得，在区间[0，c]与[c，1]上分应用拉格朗日中值定理，得到，代入要证明的式子中。再取即得结论。
5、提示：把方程左边设为，则其在区间上连续，且
，因而必存在，使
分别在和应用连续函数的介质定理即得结论。
6、对在作二阶泰勒展开，并分别将和代入，然后两式相加并根据的连续性利用介质定理即可证。
7、在区间[-2，0]和[0，2]上分别对应用拉格朗日中值定理得和，
令，在的最大值
由费马定理知而由知，故结论成立。
8、提示：方法一、利用曲线凹凸性定义；
方法二、令，则
再令对其应用拉格朗日中值定理即可判断的符号。
9、令，对其应用拉格朗日中值定理，再对使用罗尔定理。