1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,如果你欲迈进无穷大，你只需走遍有限的每一条边。,歌德,没有任何人能把我们从康托创造的伊甸园中赶出来。,希尔伯特,1,第九章 分析的严格化,第三节 集合论的诞生,2,小学数学新课标要求：结合有关知识的教学，适当渗透集合、函数等数学思想方法，以加深对基础知识的理解。,3,认识数字15,认识数字0,1、小学数学中的集合,4,元素与集合间的关系,集合与集合间的关系,维恩图,5,交集,6,一一对应,7,2、康托的一一对应,柏拉图实无限：“全体自然数”是存在的，因为每个自然数都是可以数到的；既然每个都存在，为什么“全体
2、就不存在呢？,亚里士多德潜无限：自然数的产生是个无限无尽的过程，这个过程永不结束，因而无法得到自然数的全体。,8,我必须最强烈地反对你使用无穷大作为某种完善的东西，因为这在数学上是从来不允许的。无穷大只不过是一种讲话方式，意味着一种极限,高斯在1831年给舒马赫的信,在1638年出版的两门新科学的对话一书中，伽利略把全体自然数与它们的平方一一对应起来：,9,1845年，康托出生在俄国的圣彼得堡，后来移居德国。,1867年，他在柏林大学得到博士学位。他曾经发表过一篇有关实数定义的论文，用收敛的有理数给出了无理数的定义。,“一一对应”概念,：给定两个集合,A,与,B,，假如有映射,f,:,A,B
3、使得,A,中任何一个元素,a,都有一个元素,bB,与之对应，并且不同的,a,对应于不同的,b,，而且,B,中每个元素都被对应到，我们就称映射,f,:,A,B,是一个一一对应。,集合的基数概念,：给定两个集合,A,与,B,，如果,A,与,B,之间有一个一一对应，则称它们有相同的基数。,集合,定义：一个集合是若干确定的、可区别的事物的总体。,10,例1 在中世纪时有人注意到，把两个同心圆上的点用公共半径连起来，就构成两个圆上的点之间的一一对应关系。,例2 长度不相等的两条线段上的点集可以建立一一对应，即两个点集有相同的基数，与线段长度无关。,11,例3 单位线段上的点与半直线上的点一一对应。,
4、例4 区间（0,1）的点集与实数集,R,有相同的基数。事实上，区间（0,1）和半圆周的点集可以建立一一对应，半圆周点集又能与整个数轴建立一一对应。,12,3、可数集合,康托把任何能与正整数集一一对应的集合称为可数集。换句话说，一个集合是可数集的充要条件是它的元素能够排成一个序列。,1874年，康托获得了一个历史性的发现：尽管有理数具有稠密性，但它们是可数的。,（0,1）区间中的所有有理数：,13,全体有理数集合,Q,也是可数的。,14,命题：区间（0,1）中的全体实数是不可数的。,1873年，康托发现：实数集,R,是不可数的。,4、不可数集合,证明：我们可以用反证法证明。如果全体实数能排成一队
5、我们把所有0到1之间的实数都排出来：,将,n,都写成10进位无限小数。我们约定将其中的有理数也写成无限小数，比如0.9=0.8999，这样保证每一个小数表示方式唯一。,15,中没有把 0 到 1 之间的实数排完，这就推出了一个矛盾，故“（0,1）区间中的全体实数能排成一队”的假设不成立。,16,1877年，康托又意外发现：单位正方形,的点集与,（0,1）区间,的点集能够建立一一对应,。,分析：要做到这一点，需要先把区间（0,1）内的点都表示成无限小数，并规定这里出现的有限小数可以化成含有无穷个9的小数，如0.49=0.48999。任取一点，比如说0.35768291，把这个数的奇数位、偶数位
6、分别取出来，得到两个新数：0.3789与0.5621，以这两个数作为横坐标与纵坐标得到的点将落在单位正方形中。,17,一般地，设区间（0,1）内的任意一点为,它对应着单位正方形内的唯一的点,反过来，如果任给单位正方形内的一个点,只要把这个点的横坐标和纵坐标掺在一起，即令,则 必为（0,1）内的点。,18,这样，我们就在单位正方形与区间（0,1）之间建立一一对应，因而，单位正方形与区间（0,1）内点的数目是相同的,。,与两条不同长度的线段上的点的情况类似，容易证明，正方形内点的多少与它的大小也没有关系,。,我们也可以说明单位正方形与整个平面上的点集有相同的基数,康托的结论：一条直线与整个平面上的点集有相同的基数。,直线能够与整个空间建立一一对应。一般地，,n,维空间也可以和直线建立一一对应！,19,
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