1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第四章,矩阵的特征值和特征向量,2,本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵的对角化问题。,3,第一节 矩阵的特征值与特征向量,定义,一、特征值与特征向量的基本概念,例如，,4,一个特征向量只能属于一个特征值，证明如下：,说明,1、特征值问题是针对,方阵,而言的；,2、特征向量必须是,非零,向量；,3、特征向量既依赖于矩阵,A,，,又依赖于特征值,5,二、特征值与特征向量的求法,即要求齐次线性方程组,有非零解，,即方程,的根就是矩阵,A,的特征值，,相应,非零解,即为特征向量。,记,称为矩阵,A,的,特征
2、多项式,，,6,称为矩阵,A,的,特征多项式,，,为矩阵,A,的,特征方程,。,特征方程的根，即为矩阵,A,的特征值。,记,7,计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：,8,例1,设,求,A,的特征值与特征向量。,解,所以,A,的特征值为,9,相应齐次线性方程组的基础解系为,10,相应齐次线性方程组的基础解系为,11,相应齐次线性方程组的基础解系为,12,例2,解,所以,A,的特征值为,设,求,A,的特征值与特征向量。,13,相应齐次线性方程组的基础解系为,14,相应齐次线性方程组的基础解系为,15,对角阵、上三角阵,、,下三角阵，,它们的特征值,即为,主对角元。,16,三、特征值与特征向量的
3、性质,性质1,证,(2)可推广到多个特征向量.,17,属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍线性无关。,性质2,属于不同特征值的特征向量线性无关。,只证两个特征向量的情况.,证,(1),(2),推广,18,性质3,证,从而有相同的特征值.,注意:,19,性质4,证,(2),重复这个过程,可得,20,性质4,证,(3),21,例3,多项式,证略,例如,矩阵,A,的有一个特征值为,2,则,有一个特征值,7.,例4,证,幂等矩阵,22,例3,多项式,证略,例如,矩阵,A,的有一个特征值为2,则,有一个特征值,7.,例4,幂等矩阵,练习:,23,例5,解,由性质4,24,四、特征多项式的性质,中出现,故有,而,常数项等于,所以,25,比较系数得,性质5,推论 方阵,A,可逆的充分必要条件是,A,的特征值全不为零.,26,例6,解,27,矩阵的迹的性质,证略。见第76页。,
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