奥数 六年级竞赛 质数 合数.教师版word.doc

质数、合数
第6讲

1. 利用质数、合数的性质解题．
2. 灵活掌握质数、合数的拆分方法．

本讲主要是对质数、合数的性质的灵活运用，并对质数2、5的特殊性深刻理解，同时对一些质数、合数的拆分规律进行归纳总结．

1． 质数与合数
一个数除了和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：和不是质数，也不是合数.常用的以内的质数：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共计个；除了其余的质数都是奇数；除了和，其余的质数个位数字只能是，，或.
考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数的特殊性为考点.
⑵ 除了和，其余质数个位数字只能是，，或.这也是很多题解题思路，需要大家注意.

2． 判断一个数是否为质数的方法
根据定义如果能够找到一个小于的质数(均为整数)，使得能够整除，那么就不是质数，所以我们只要拿所有小于的质数去除就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的，我们可以先找一个大于且接近的平方数，再列出所有不大于的质数，用这些质数去除，如没有能够除尽的那么就为质数.
例如：很接近，根据整除的性质不能被、、、、整除，所以是质数.

3． 若干个整数的和已知，求这些整数的积最大的方法
拆分原则：多拆3，最多拆两个2，不拆1――拆分后乘积最大

4． 找个连续合数的方法
方法一：，，，…，这n个数分别能被2、3、4、…、(n+1)整除，它们是连续的n个合数．其中表示从1一直乘到n的积，即123…n．
方法二：，，，，，(其中表示2，3，4，，n，的最小公倍数)
利用质数、合数性质解题

【例 1】 已知是质数，也是质数，求是多少？
【分析】 是质数，必定是合数，而且大于1．又由于是质数，大于1，一定是奇质数，则一定是偶数．所以必定是偶质数，即．

［巩固］ (第五届“华杯赛”口试第15题)图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中．

问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?
［分析］ 质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数．
所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均为不小于8的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数．所以甲填的数与乙填的数都不相同．

【例 2】 (2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练)炎黄骄子 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数，存在无穷多组含有个等间隔质数(素数)的数组．例如，时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而 ， ， 是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．
【分析】 最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12，所以2不能在所要求的数组中．而且由于个位是5的质数只有一个5，所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：

第一个质数
第二个质数
第三个质数
满足要求打√
5
17
29
√
7
19
31
√
17
29
41
√

19
31
43
√
29
41
53
√
37
49
61

47
59
71
√
……

［巩固］ (全国小学数学奥林匹克)从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是 ．
［分析］ 由于质数除了2以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列．切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数”，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选9，第二位选8，第三位最大可以选7，但7与8之和不是质数，再改选5，8与5之和是质数符合要求．第四位可选剩余的最大数字6，如此类推……十位可选3，个位选2．所以，可以读到的最大数是98567432．
数字排列如图．

【例 3】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数．
【分析】 设这三个质数分别是、、，满足，则可知、、中必有一个为11，不妨记为，那么，整理得，又，对应的2、13或3、7或4、5(舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11．

［拓展］ (俄罗斯数学奥林匹克)万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？
［分析］ 因为是质数所以个位数不可能为偶数0，2，4，6，8也不可能是奇数5．如果末位数字是3或9，那么数字和就将是3或9的两倍，因而能被它们整除，这就不是质数了．
所以个位数只能是7．这个三位质数可以是167，257，347，527或617中间的任一个．

【例 4】 (我爱数学少年数学夏令营)用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有 种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来．
【分析】 除了2以外，质数都是奇数，因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2．又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数．另4个质数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下：
{2，3，5，7，41，89}，{2，3，5，7，61，89}，{2，3，5，7，89，401}，{2，3，5，7，89，461}，{2，3，5，7，61，409}，{2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，3，5，67，89，401}，{2，5，7，43，61，89}，{2，5，7，61，83，409}．
即共有10种不同的方法．

［拓展］ (2003年“祖冲之杯”邀请赛)大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将的值计算到了小数点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，质数是 ．
［分析］ 注意到3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被3，5，2，2，31整除，所以，质数是314159．

【例 5】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)用表示所有被3除余1的全体正整数．如果中的数(1不算)除1及它本身以外，不能被的任何数整除，称此数为“—质数”．问：第8个“—质数”是什么？
【分析】 “数”为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，…．“—质数”应为上列数中去掉1，16，28，…，即为4，7，10，13，19，22，25，31，34，…．所以，第8个“L—质数”是31．

【例 6】 有一个四位数，它的个位数字与千位数字之和为10，且个位数既是偶数又是质数，去掉首位和末位得到一个两位数是质数，又知这个四位数是72的倍数，求这个四位数．
【分析】 设这个四位数为，由题目可知，，，所以，四位数是
根据：“去掉首位和末位得到一个两位数是质数”，“这个四位数是72的倍数”可得，，即．可以得到．所以的结果有两种可能：，．
可能是80，71，17，62，26，53，35，44，98，89．
其中80，62，26，35，44，98为合数．只有71，17，53，89是质数．
又因
所以(是8的倍数)．
把17，53，89代入上式：不能满足，只有71可以满足上式：

【例 7】 如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数．如年份数1991，具有如下两个性质：
①1991是一个回文数．
②1991可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积．
在1000年到2000年之间的一千年中，除了1991外，具有性质①和②的年份数，还有 ．
【分析】 这一千年间回文数年份共有10个，除去1991外，还有1001，1111，1221，1331，1441，1551，1661，1771，1881．符合条件②的两位质数只能是11，所以符合条件②的只有三个，即
111011111， 111311441，1115l1661．

［铺垫］ (2005年武汉“明星奥数挑战赛”)小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为，其中，而且和都是质数(和是两个数字)．具有这种形式的数共有 个．
［分析］ 若两位数、均为质数，则、均为奇数且不为5，故有1331，3113，1771，7117，7337，3773，9779，7997共8个数．
［拓展］ 如果某整数同时具备性质：
⑴这个数与1的差是质数；
⑵这个数除以2所得的商也是质数；
⑶这个数除以9所得的余数是5．
我们称这个整数为幸运数，那么在两位数中，最大的幸运数是 ．
［分析］ 条件⑴也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者是偶数，再根据条件⑶，除以9余5，在两位的偶数中只有 14，32，50，68，86这五个数满足条件．其中86与50不符合⑴，32与68不符合⑵，三个条件都符合的只有14．这个数是14．

【例 8】 一个等差数列的连续5项都是质数，那么这个等差数列的公差最小是多少？
【分析】 显然公差应该是一个偶数，如果是奇数的话，那任意相邻的两项就必然是一个奇数一个偶数了．同样的道理，公差如果不是3的倍数，那任意相邻的三项中必然有一个是3的倍数，如果第一项是3, 则第4项也是3的倍数，不能是质数了；综合分析得，公差应该是2和3的倍数，所以公差至少是6.如果公差是5的倍数，则公差至少是30；如果公差不是5的倍数，因为连续项中至少有一个是5的倍数，所以只能是第1个是5,取6为公差，那剩下的就分别是11、17、23、29,恰好满足要求，所以公差最小是6．

［拓展］ 有9个连续自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个？
［分析］ 首先除了2以外的质数都是奇数，在任意9个连续自然数中，至多有5个数是奇数，这5个奇数中必然有一个5的倍数，所以质数最多有514个．构造过程如下：首先有4个偶数，所以这9个数中最大的和最小的都是奇数，中间的一个自然也是奇数；而且9个连续自然数有3个3的倍数，只能有1个奇数，有2个偶数，那么第2个数和第8个数是3的倍数的偶数，这样的话第5个数也就是中间的数必然是3的倍数，为了节省“合数”，所以我们应该让中间的一个数既是3的倍数，又是5的倍数，经试验105可以做中间数, 发现这9个数是101、102、103、104、105、106、107、108、109, 刚好有4个质数101、103、107、109．

质数、合数的灵活拆分

【例 9】 把分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，则这时乘积的所有不同质因数的和是 ．
【分析】 如果拆成的数中有，则将加入其它的数中将会使乘积更大，所以拆成的数中不能有；如果
拆成的数中有不小于的数，由于，即，所以将再拆成与会使乘积更大，所以拆成的数中不能有不小于的数；如果拆成的数中有，由于，所以可以将再拆成两个，这样乘积不变所以；拆成的数应全为和．又因为，，所以，如果出现个以上的，将个换成个会使乘积更大；所以，拆成的数中最多只能有个，其余的全为．而，所以应将拆分成个和个，这时其乘积最大．而此时乘积只有和这两个不同的质因数，所以答案是．
总结拆分原则：多拆3，做多拆两个2，不拆1――拆分后乘积最大
［巩固］ 若干个整数的和是2005，求这些整数的积最大是多少？
［分析］ 20053668，则拆成：．

【例11】 将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？
【分析】 拆成2，3，4，6，7，8．1不应出现在拆成的数中．把从2开始的若干个连续自然数相加．如果，而，则与a的差只可能为0，1，2，…，．
①当差为0时，将a拆成
②当差为1时，将a拆成
③当差为2，3，…，n1中的数时，就将该数从2，3，…，n1，n中删除，其余数即为所拆之数．
本题中，比30大5，故将5去掉，30被拆成
［巩固］ (2008年湖北“创新杯”)电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播 ．
A．7天 B．8天 C．9天 D．10天
［分析］ 由于希望播出的天数要尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少．又，如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出．由于已有过一天播出2集的情况，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子里播出．例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9等均可．所以最多可以播7天．

【例11】 写出10个连续自然数，它们个个都是合数．
【分析】 在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96．我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了．用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126．同学们可以在这里随意截取10个即为答案．可见本题的答案不唯一．
老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找200个连续的自然数它们个个都是合数．
【分析】 如果10个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数第10个是11的倍数，那么这10个数就都是合数．又，m3，，m11是11个连续整数，故只要m是2，3，，11的公倍数，这10个连续整数就一定都是合数．设m为2，3，4，，11这10个数的最小公倍数．m2，m3，m4，，m11分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数11的倍数，因此10个数都是合数．所以我们可以找出2，3，411的最小公倍数27720，分别加上2，3，411，得出十个连续自然数27722，27723，2772427731，他们分别是2，3，411的倍数，均为合数．
说明：我们还可以写出(其中n！123n)这10个连续合数来．同样，是m个连续的合数．那么200个连续的自然数可以是：
说明：构造法的应用可以很快得出符合条件的10个连续自然数，而且可以拓展到更多连续自然数的情况．

【例12】 有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种，那么所有这样的自然数中最小的一个是多少？
【分析】 在所有的质数中，从小到大第13个质数是41，因此在13种分解方法中，质数最大的那一组至少是．按题目要求分拆45有如下12种方法：

按题目要求分拆46有如下7种方法：

按题目要求分拆47有如下14种方法 ：

因此满足题意最小自然数是47．

［拓展］ 求1-100中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？
［分析］ 考虑最小的合数是4，先把表示方法简化为4合数合数
而合数最简单的表现形式就是大于等于4的偶数
因此该表示方法进一步表示为4(2n)＋合数
即8n合数(其中n＞1即可)
当该数被8整除时， 该数可表示为4(2n)8 ，n＞1,所以大于等于24的8的倍数都可表示
当该数被8除余1时，该数可表示为4(2n)9，n＞1,所以大于等于25的被8除余1的都可表示
当该数被8除余2时，该数可表示为4(2n)10，n＞1,所以大于等于26的被8除余2的都可表示
当该数被8除余3时，该数可表示为4(2n)27，n＞1,所以大于等于43的被8除余3的都可表示
当该数被8除余4时，该数可表示为4(2n)4，所以大于等于20的被8除余4的都可表示
当该数被8除余5时，该数可表示为4(2n)21，所以大于等于37的被8除余5的都可表示
当该数被8除余6时，该数可表示为4(2n)6，所以大于等于22的被8除余6的都可表示
当该数被8除余7时，该数可表示为4(2n)15，所以大于等于31的被8除余7的都可表示
综上所述，不能表示的最大的数是
经检验，35的确无论如何也不能表示成合数×合数＋合数的形式，因此我们所求的最大的数就是35

1． 是质数，，，都是质数．求是多少？
【分析】 由题意知是一个奇数，因为，，所以是3的倍数，所以

2． 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．
【分析】 设这三个质数分别是、、，满足，则可知、、中必有一个为7，不妨记为，那么，整理得，又，对应的2、9(舍去)或3、5，所以这三个质数可能是3，5，7

3． 用，，，，，，，，这个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这个数字最多能组成多少个质数?（并写出所组成的质数）
【分析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有、、、均为一位质数，除了2以外，质数都是奇数，因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2．又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数．另4个质数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下：
{2，3，5，7，89，461}、{2，3，5，7，89，641}(.而且都不能被、、、、、、、、整除，所以是质数){2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，5，7，43，61，89}

4． 有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．
【分析】 例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，它们都不是质数．
【评注】我们注意到，，，…，这n个数分别能被2、3、4、…、(n+1)整除，它们是连续的n个合数．其中表示从1一直乘到n的积，即123…n．

5． 若将17拆成若干个的质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积是多少？
【分析】 根据整数拆分原则：多拆3，少拆2，不拆1――拆分后乘积最大．若要使17拆成的不同质数的乘积尽可能大，应该将17分解为5个3和1个2，所以最大乘积是333332486．
6． (第五届“华杯赛”复赛第8题)把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法?将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小?
【分析】
共10种不同拆法．其中3529435最小
拒子入门

子发是战国时期楚国的一位将军。一次，他带兵与秦国作战，前线断了粮草，他派人向楚王告急。使者顺便去看望子发的老母。老人问使者：“兵士都好吗?”使者回答：“还有点儿豆子，只能一粒一粒分着吃。”“你们将军呢?”母亲问。使者回答道：“将军每餐都能吃到肉和米饭，身体很好。”

子发得胜归来，母亲紧闭大门不让他进家门，并派人去告诉子发：“你让士兵饿着肚子打仗，自己却有吃有喝，这样做将军，打了胜仗也不是你的功劳。”母亲又说：“越王勾践伐吴的时候，有人献给他一罐酒，越王让人把酒倒在江的上游，叫士兵们一起饮下游的水。虽然大家没尝到酒味，却鼓舞了全军的士气，提高了战斗力。现在你却只顾自己不顾士兵，你不是我的儿子，你不要进我的门。”

子发听了母亲的批评，向母亲认了错，决心改正，才得以进家门。

俗话说：“子不教，父之过。”子女成长的好坏，长辈有着极大的责任。父母为了使孩子成长成参天大树，就必须在我们心中植下博爱之心，有了博爱之心，才有施爱于他人的可能。多以有时候，责备也蕴涵着父母对子女深沉的爱。

｜五年级 第六讲 竞赛班｜ 9