第五章_微分中值定理及其应用1.doc

第五章 微分中值定理及其应用
为了应用导数的概念和运算来研究函数与实际问题，需要一个联系局部与整体的工具，这就是微分中值定理．
费马定理
闭区间连续函数最值定理
罗尔中值定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理

在数学分析中组成一段
很漂亮的推理小链条．

应用： 求极限的待定型、 函数作图、 解极值问题

§1 微分中值定理
定义5.1 称在点达到极大(小)值，如果存在，使得
是在的最大(小)值，即
， ．
(或，)
这时，称点为的极值点.。极大值极小值统称为极值．

定理5.1(费马定理) 设在点附近有定义．若在点达到极值，且在点可导，则.

定理5.2(闭区间连续函数最值定理) 若在闭区间上连续，则在有最大值与最小值．即存在，使得
＝， ＝.

定理的意义：该定理是说函数的值域
＝
有最大数与最小数，这一点只有对闭区间上的连续函数才保证恒成立.

例如，在开区间连续，但在函数无最大值。
在开区间连续，但在函数无最大值和最小值.
虽然定义在闭区间，但不连续，无最大值

证明 用区间套定理．二等分，分点为。则，两区间中至少有一区间满足性质：另一区间中的每一个点，在这个区间中存在一个点，使得。事实上，不妨设满足上述性质，则，，使得。因为若不然，，使得，有，即满足上述性质。
记，二等分，分点为，则，两区间中至少有一区间满足上述性质，将这个区间记为；二等分，分点为，则，两区间中至少有一区间满足上述性质，将这个区间记为；…，如此继续下去，得一区间套，由区间套定理，存在唯一的实数。
下证。，，，使，但。由区间套的构造，，使得。对， ，使，但。于是，，使得。…，如此继续下去，得一数列，满足，，且。由于以及的连续性，，即。
最小值的情形，只需考虑，便化为已证得最大值的情形。

定理5.2的证明 先证最大值的情形，用实数基本定理证明不妨设都不是在的最大值。扩充，使它在时等于，在时等于，则它在连续，令
使得，

这时R的一个分划，事实上，由知不空，显然，而对任意，我们来证，如果不然，设，由知存在，使任意有，由此推出存在，使得任意，有，因此＝矛盾，这就证明了构成R的一个分划，由实数基本定理，存在唯一的，使得对任意，有，下面来证明
，
先考虑的情形，如果不然，存在，有 ，这时存在，使得，且任意，有，由，知存在，使得任意有，从而。显然(否则)，这与对一切成立矛盾，这就证明了对任意，有
其次考虑的情形，任意，存在使得，因此当时，有

由的定义，知存在，使，若存在，使则由已证的的情形，知，结果得证；若任意，有，则由，在中令取极限，得。
最小值的情形，只需考虑，便化为已证得最大值的情形，定理5.2证完。

定理5.3（罗尔（Rolle，1652－1719）定理） 若在闭区间连续，在开区间可导，且＝，则在中存在，使得＝0.

注意：定理中的三个条件缺一不可！
如＝，在连续，，但不存在使
＝0，这是因为在＝0点不可导.
如＝ 满足在可导，＝，
但没有使＝0，这是因为在不连续。
如＝，它在不满足端点值相等，即，尽管它在 连续且可导，但显然定理结论不成立.

证明 由在有，知．作辅助函数
＝)，
则在连续，在可导，且．由罗尔定理知存在，使得＝0，即
－＝0，
这就是所要证明的，定理5．5证完．

定理5.4(微分中值定理，或拉格朗日中值定理) 若在闭区间连续，在开区间可导，则在中存在，使得
＝．（拉格朗日中值公式）

定理的几何意义： 记，，上述等式的右边表示弦的斜率。定理说，在内总有一点，曲线在处的切线切线平行于弦．
当＝时，定理5.4化为定理5.3.

拉格朗日中值定理中，函数连续与可导的条件缺一不可！

定理5.4的证明 造辅助函数
＝－－，
则在连续，在可导，且＝＝0．由罗尔定理知存在，使＝0，即
－＝0，
这就是所要证明的，定理5．4证完．

拉格朗日中值公式的其它表示形式
－＝，
令＝，，则公式可写成
－＝，
令， 则 ，
上述公式中不论或都成立，不论或都成立。

与微分近似增量对比
，这里不是严格等

注意，介于之间，是间的中值，这就是中值定理名称的由来．虽然，—般说来，我们只知它位于之间，并不能确定它的准确位置，重要的是它的存在性．

推论5.1 若在有，则在单调(严格单调)上升；
若在有则在单调(严格单调)下降。

证明 设在有．任意，，由微分中值定理知存在，使
－＝()，
故。即在单调(严格单调)上升。
另一结论同理可证。

推论5.2 若在有＝0，则在为常数。
证明 对任意，存在在之间使得
－＝()＝0，
这就证明了在的任意两点的函数值相等，从而在等于常数。

中值定理在证明不等式中的应用
例1 证明不等式
，且
证明 函数＝在或上满足拉格朗日中值定理条件，故
＝＝，在0与之间。
当时，
当时，
故都有

令，即得

例2 函数

在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在，使得

即 ＝
或 ＝
对上式令取极限，这时有，从而得

请读者思考，这与不存在矛盾吗？

作为拉格朗日中值定理的推广，还有下面的定理。

定理5.5（柯西中值定理） 定理5.4的证明 造辅助函数
＝－－，
则在连续，在可导，且＝＝0．由罗尔定理知存在，使＝0，即
－＝0，
这就是所要证明的，定理5．4证完．

几何解释：设想曲线用参数方程 表示，
，，
弦的斜率：
任一点的斜率：
定理说，在内总有一点，曲线在的切线平行于弦AB

定理5.5的证明 由在有，知．作辅助函数
＝)，
则在连续，在可导，且．由罗尔定理知存在，使得＝0，即
－＝0，
这就是所要证明的，定理5．5证完．
在定理5．5中取，则定理5．5化为定理5．4