第5章 振动和波动习题解答.doc

第 5 章 振动和波动 5-1 一个弹簧振子0.5kgm，50N mk，振幅0.04mA，求(1)振动的角频率、最大速度和最大加速度；(2)振子对平衡位置的位移为 x=0.02m 时的瞬时速度、加速度和回复力；(3)以速度具有正的最大值的时刻为计时起点，写出振动方程。解：（1）)srad(105.050mk max222max10 0.040.4(m/s)100.044(m/s)vAaA(2)设cos()xAt，则 dsin()dxvAtt 2222dcos()dxaAtxt 当 x=0.02m 时，cos()1/2,sin()3/2tt，所以 20.230.346(m/s)2(m/s)1(N)vaFma (3)作旋转矢量图，可知：2 0.0 4 c o s(1 0)2xt 5-2 弹簧振子的运动方程为0.04cos(0.70.3)(SI)xt，写出此简谐振动的振幅、角频率、频率、周期和初相。解：A=0.04(m)?0.7(rad/s)0.3(rad)10.11(Hz)8.98(s)2T 5-3 证明：如图所示的振动系统的振动频率为 1212kkm 式 中12,k k分 别 为 两 个 弹 簧 的 劲 度 系 数，m为 物 体 的 质 量。解：以平衡位置为坐标原点，水平向右为 x 轴正方向。设物体处在平衡位置时，弹簧 1 的伸长量为10 x,弹簧 2 的伸长量为20 x，则应有 0202101xkxk 当物体运动到平衡位置的位移为 x 处时，弹簧 1 的伸长量就为xx10，弹簧 2 的伸长量就为xx20，所以物体所受的合外力为 11022012()()()Fk xxkxxkkx 由牛顿第二定律得 2122d()dxmkkxt 即有 2122()d0dkkxxtm 上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为 12kkxm 振动的频率为 12122kkm 5-4 如图所示，U 形管直径为 d，管内水银质量为 m，密度为，现使水银面作无阻尼自由振动，求振动周期。习题 5-4 图 3 解：以平衡时右液面位置为坐标原点，向上为 x 轴正方向，建立坐标系。右液面偏离原点为至 x 时，振动系统所受回复力为：22242ddgFxgx 振动角频率 22dgm 振动周期 222mTdg 5-5 如图所示，定滑轮半径为 R，转动惯量为 J，轻弹簧劲度系数为 k，物体质量为 m，现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空气阻力。试证明该系统作简谐振动，并求其作微小振动的周期。解：弹簧、滑轮、物体和地球组成的系统不受外力作用，非保守内力作功之和为零，系统机械能守恒，以物体的平衡位置为坐标原点向下为 x 轴正方向，建立坐标系。设平衡时弹簧伸长0l，有：0klmg （1）物体位于 x 位置时（以原点为重力势能零点）：2220111()222vk xlJmvmgxCR 对上式两边求导：0()0vak xl vJmvamgvR R 从上式消去 v，且将（1）式代入，得到 22kaxxJmR 22R kJmR 说明系统作简谐振动。振动周期为：222JmRTR k 5-6 如图所示，轻弹簧的劲度系数为 k，定滑轮的半径为 R、转动惯量为 J，物体质量为 m，将物体托起后突然放手，整个系统将进入振动状态，用能量法求其固有周期。解：设任意时刻 t，物体 m 离平衡位置的位移为 x，速率为 v，则振动系统的总机械能 222111222vEkxCJmvR恒量 式中 C 为滑轮的重力势能，为一常量，上式两边对 t 求导得 0vakxvJmvaR R 22kaxxJmR 于是 22R kJmR 222JmRTR k 5-7 如图所示，质量为 10g 的子弹，以01000m sv 速度射入木块并嵌在木块中，使弹簧压缩从而作简谐运动，若木块质量为 4.99kg，弹簧的劲度系数为38 10 N m，求振动的振幅。（设子弹射入木块这一过程极短）解：先讨论子弹与木块的碰撞过程，在碰撞过程中，子弹与木块组成的系统的动量守恒，习题 5-6 图 设碰撞后子弹与木块共同以速度 v 运动，则有 00()2(m/s)mvmm vmvvmm 然后系统做简谐振动，因为简谐振动过程中机械能守恒，所以振幅 A 可由初始时刻系统的机械能确定，已知初始时刻系统的势能为零，所以有 2211()22mm vkA 30.01 4.9920.05m8 10mmAvk 5-8 如图所示，在一个倾角为的光滑斜面上，固定一个原长为0l、劲度系数为 k、质量可以忽略不计的弹簧，在弹簧下端挂一个质量为 m 的重物，求重物作简谐运动的平衡位置和周期。解：设物体处在平衡位置时弹簧伸长量为0 x,则 00sinsinmgmgkxxk 平衡位置距O点为：000sinmglxlk 以平衡位置为坐标原点，如图建立坐标轴 Ox，当物体运动到离开平衡位置的位移为 x处时，弹簧的伸长量就是xx 0,所以物体所受的合外力为 0sin()Fmgk xxFkx 即 物体受力与位移成正比而反向，即可知物体做简谐振动国，此简谐振动的周期为 2mTk 5-9 两质点分别作简谐振动，其频率、振幅均相等，振动方向平行。在每次振动过程中，它们在经过振幅的一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们相差，并用旋转矢量图表示出来。解：根据题意，两质点分别在2Ax 和2Ax处相向通过，由此可以画出相应的旋转矢量图，从旋转矢量图可得两个简谐振动的相位差为34或32 。5-10 一简谐振动的振幅 A=24c、周期 T=3s，以振子位移 x=12cm、并向负方向运动时为计时起点，作出振动位移与时间的关系曲线，并求出振子运动到 x=-12c处所需的最短时间。解：依题意可得，223T，又由旋转矢量法可知3 所以振动方程为：20.24cos()m)33xt 质点运动到 x=-12c处最小相位变化为 3，所以需要最短时间为 330.5(s)22tT 5-11 如图所示，一轻弹簧下端挂着两个质量均为 m=1.0kg 的物体 B 和 C，此时弹簧伸长 2.0c并保持静止。用剪刀断连接 B 和 C 的细线，使 C 自由下落，于是 B 就振动起来。选 B 开始运动时为计时起点，B 的平衡位置为坐标原点，在下列情况下，求 B 的振动方程(1)x 轴正向向上；(2)x 轴正向向下。A1A223xO A2A1Ox43 习题 5-9 图 oxA/2A3)s(toxA/2A3)s(t 习题 5-10 图 解：已知 m=1kg,mlBC02.0,可得)/(1000/2mNlmgkBC)rad/s(1010mk 当以 B 的平衡位置为坐标原点，振动振幅为)(01.001.002.002.0mkmgA 由题意知，振动初速度00v(1)x 轴正向向上时：)(01.00mx 振动方程为)(1010cos(01.0mtx(2)x 轴正向向下 时：0)(01.00mx 振动方程为)(1010cos(01.0mtx 5-12 劲度系数为 k 的轻弹簧，上端与质量为 m 的平板相联，下端与地面相联。如图所示，今有一质量也为 m 的物体由平板上方 h 高处自由落下，并与平板发生完全非弹性碰撞。以 平 板 开 始 运 动 时 刻 为 计 时 起 点，向 下 为 正，求 振 动 周 期、振 幅 和 初 相。习题 5-11 图 NmgxO 习题 5-13 图 解：物体下落与平板碰撞前速度：ghv2 0()mvmm v 所以物体与平板碰撞后共同运动的速度：ghv2210 以平衡位置为坐标原点，向下为 x 轴正方向，建立坐标系。依题意：kmgx0 在 x 处，物体和平板受力：22()mgFmgk xkxk 则：2222mkTkTm 22222200222/41/2vm gghAxm gmgkhkkmk 见旋转矢量图，有：022arccos()arccosxmgAm gmgkh 5-13 在一平板上放一重 9.8N 的物体，平板在竖直方向作简谐振动，周期 T0.50s，振幅 A=0.020m，试求(1)重物对平板的压力 F；(2)平板以多大振幅运动时，重物将脱离平板?解：以平衡位置为坐标原点，向下为 x 轴正方向，物体在 x 处时，习题 5-12 图 xOFxOx 习题 5-14 图 2229.8 16mgNmamxNmgmxx (1)重物对平板的压力29.8 16Fx（2）当 N=0 时重物将脱离平板，由2max9.8 160Nx，得 max0.062()xm,max0.062()Axm 5-14 一木块在水平面上作简谐运动，振幅为 5.0c，频率为，一块质量为 m 的较小木块叠在其上，两木块间最大静摩擦力为 0.4g，求振动频率至少为多大时上面的木块将相对于下面木滑动?解：以平衡位置为坐标原点，向右为 x 轴正方向，建立坐标系，小木块在 x 处：222FmxT 在最大位移处，F 最大，2maxFmx 当mgAmfFss2max，即时小木块开始相对于大木块滑动，由此得：8.85(rad/s)sgA 8.851.4(Hz)2 振动频率至少应略大于 1.4Hz 时，上面小木块相对于下面木块滑动。5-15 一台摆钟的等效摆长 L=0.995，摆锤可上下移动以调节其周期。该钟每天快 1分 27 秒。假如将此摆当作一个质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向下移动多少距离，才能使钟走得准确?解：设原摆钟周期为 T，钟走时准确时，其钟摆长为L，周期为T，则 24 60 60878648724 60 6086400TT 而2286487()0.9950.997(m)86400LTLLT 0.002(m)2(mm)LL 应将摆锤下移 2mm。xA2A1A16212 x 习题 5-18 图 5-16 一弹簧振子，弹簧的劲度系数=25N mk，当物体以初动能 0.2J 和初势能 0.6J振动时，求(1)振幅；(2)位移是多大时，势能和动能相等?(3)位移是振幅的一半时，势能多大?解：（1）000.20.60.8()kpEEEJ 2120.253()2EEkAAmk(2)kpEE时，12pEE，即22111222kxkA，得 20179()2xAm(3)当Ax21时，221111()0.2()22424pAEkkAEJ 5-17 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，两个振动的振动方程为 10.04cos(2)(SI)6xt 20.03cos(2)(SI)6xt 求合振动的振幅和初相。解：22221212212cos()432 4 3 cos6.08(cm)3AAAA A 0112211224 sin3 sin()sinsin66arctanarctan4.7coscos4 cos3 cos()66AAAA 5-18 有两个同方向、同频率的简谐振动，它们合振动的振幅为 10cm，合振动与第一个振动的相差为/6，若第一个振动的振幅 A1=8.0cm，求（1）第二个振动的振幅 A2；（2）第一个振动和第二个振动的相位差。解：依题意，作旋转矢量图，可知 222221132cos1082 10 85(cm)62AAAAA 22212120cos0.131282AAAA A 5-19 已知两个分振动的振动方程分别为 2cosxt 2cos()2yt 求合振动轨道曲线。解：两个振动方程消去 t 得：422 yx,所以合振动轨迹是圆。5-20 质量为 4536kg 的火箭发射架在发射火箭时，因向后反冲而具有反冲能量，这能量由发射架压缩一个弹簧而被弹簧吸收。为了不让发射架在反冲终了后作往复运动，人们使用一个阻尼减震器使发射架能以临界阻尼状态回复到点火位置去。已知发射架以 10m s的初速向后反冲并移动了 3m。试求反冲弹簧的劲度系数和阻尼减震器提供临界阻尼时的阻力系数。解：已知 m=4536kg，v0=10m/s，A=3m 反冲时，反射架动能转换成弹簧弹性势能 2201122mvkA，得00103vkmA 220224536 1050400(N/m)3mvkA 临界阻尼时0，由m2有，阻力系数：)kg/s(302403104536220m 5-21 已知地壳平均密度约332.8 10 kg m，地震波的纵波波速约 5.5 103m s，地震波的横波波速约 3.5 103m s，计算地壳的杨氏模量与切变模量解:由YU纵得，)J（kg/m1047.82102纵UY 由GU横得，)Jkg/m（1043.32102横UG 5-22 已知空气中的声速为 344m s，一声波在空气中波长是 0.671m，当它传入水中时，波长变为 2.83m，求声波在水中的传播速度。解：根据波在不同介质中传播时，频率不变，又因为/u，得 空空水水uu，所以m/s)（10451.13空空水水uu 5-23 有一沿 x 轴正方向传播的平面简谐横波，波速 u=1.0m s，波长 =0.04，振幅A=0.03，若从坐标原点 O 处的质元恰在平衡位置并向 y 轴负方向运动时开始计时，试求(1)此平面波的波函数；(2)x1=0.05处质元的振动方程及该质元的初相位。解：（1）由题知：u=1m/s,m04.0,所以)rad/s(5004.001.022 O 处质点的振动方程为：00.03cos(50)2yt 所以，波函数为:0.03cos(5050)2ytx(2)当 x1=0.05时，代入波函数有 0.03cos(502)0.03cos50ytt 初相位02 或-。5-24 有一沿 x 轴正向传播的平面简谐波，波速为 2m s，原点处质元的振动方程为0.6cos(SI)yt，试求(1)此波的波长；(2)波函数；(3)同一质元在 1 秒末和 2 秒末这两个时刻的相位差；(4)xA=1.0m 和 xB=1.5m 处两质元在同一时刻的相位差。解：由题意可得：A=0.6m,)rad/s(，s22T(1)2 24uTm (2)0.6cos()2ytx(3)同一质点，位置（x 坐标）不变 习题 5-27 图 2122xx (4)同一时刻，t 不变 24BAxx 即 B 点比 A 点落后4。5-25 振动频率为500Hz的波源发出一列平面简谐波，波速350m su，试求(1)相位差为 3的两点相距多远；(2)在某点，时间间隔为310 st 的两个状态的相位差是多少？解：(1)/350/5000.7muTu/30.70.117m22x (2)3222 500 10ttT 5-26 有 一 波 长 为 的 平 面 简 谐 波，它 在 a 点 引 起 的 振 动 的 振 动 方 程 为cos()yAt，试分别在如图所示四种坐标选择情况下，写出此简谐波的波函数。解：（1）2cosxyAt（2）2cosxyAt（3）2cos()yAtxl(4)2cos()yAtxl 5-27 图示为 t=0 时刻的平面简谐波的波形，求(1)原点的振动方程；(2)波函数；习题 5-26 图 习题 5-28 图)m(x)m(yAO/2(3)P 点的振动方程；(4)a、b 两点的运动方向。解：（1）原点振动方程：00.04cos()(m)2yt 由图可知，m4.0，所以22 0.082(rad/s)0.45u 所以：020.04cos()(m)52yt(2)波函数20.04cos(5)(m)52ytx(3)20.04cos(5 0.4)52pyt230.04cos()(m)52t(4)a:向下 b:向上 5-28 一列平面简谐波沿 x 轴正方向传播，波速为u，波源的振动曲线如图所示。(1)画出 t=T 时刻的波形曲线，写出波函数；(2)画出4x处质元的振动曲线。解：（1）由振动曲线可知，波源振动方程为 023cos()2yAtT，设波源在 x=0 处，则波函数为22x3cos()2yAtTTu 当 t=T 时，2x3cos()2yATu (2)当4x时,2cos()yAtT)s(t)m(yAOT/43T/4 5-29 已知一平面简谐波的波函数cos(4+2)(SI)yAtx，(1)写出 t=4.2s 时各波峰位置的坐标表示式，计算此时离原点最近的一个波峰的位置，该波峰何时通过坐标原点?(2)画出 t=4.2s 时的波形图。解：（1）t=4.2s 时，cos(16.8+2)=cos(0.8+2)yAxAx 波峰位置所对应的质点的位置为：0.8+22 xk(k 为整数)m(yAo0.60.4)m(xA809.0即)m(4.0 kx(k 为整数)则此时离原点最近的波峰位置为 x=-0.4m。由于该波向 x 轴负方向传播，原点比 x=-0.4 的点先到达波峰 0(0.4)0.2(s)2xtu 即)(42.4stt (2)t=4.2s 时的波形图（如图）5-30 图示为0t时刻沿 x 轴正方向传播的平面简谐波的波形图，其中振幅 A、波长、波速 u 均为已知。(1)求原点处质元的初相位0；(2)写出 P 处质元的振动方程；(3)求 P、Q 两点相位差。解：（1）由波形图可知，在 t=0 时，o 点处的质点向 y 轴负向运动，利用旋转矢量法可得，02。（2）原点 O 处质元的振动表达式可写为02cos()2yAut P 处质元的振动从时间上比 O 处质元的振动落后u2，因此 P 处质元的振动表达式为 2cos()22pyAu tu 得 2cos2pyAut（3）P、Q 两点相位差为：222x 5-31 一线状波源发射柱面波设介质是不吸收能量的各向同性均匀介质。求波的强度和振幅与离波源距离的关系。解：取两个长均为 l，半径分别为 r1和 r2的同轴圆柱面 S1和 S2，由于介质不吸收能量，所以通过 S1的平均能流1P与通过 S2的平均能流2P相等，即12PP，又因为,PPIS IS，所以111222222111/2/2IP SShrrIPSShrr 习题 5-30 图 2212IuA 112221AIrAIr 5-32 设简谐波在直径 d=0.10的圆柱形管内的空气介质中传播，波的强度 I=1.0 10-22W m，波速为 u=250m s，频率=300Hz，试计算(1)波的平均能量密度和最大能量密度各是多少?2)相距一个波长的两个波面之间平均含有多少能量?解：（1）Iu 2531.0 104 10(J/m)250Iu 53max28 10(J/m)(2)227/4/42.62 10(J)EVdd u 5-33 一个声源向各个方向均匀地发射总功率为 10W 的声波，求距声源多远处，声强级为 100 dB。解：距声源 r 处的声波强度为 24rPPIS 声强级为010lgILI，式中122010W mI，即2124r10010lg10P，解得：r=8.92m 5-34 设正常谈话的声强621.0 10W mI，响雷的声强20.1W mI，它们的声强级各是多少？解：正常谈话的声强级为61201010lg10lg60(dB)10ILI 雷声的声强级为11201010lg10lg110(dB)10ILI 5-35 纸盆半径 R=0.1m 的扬声器，辐射出频率=103Hz、功率 P=40W 的声波。设空气密度 =1.293kg m，声速 u=344m s，不计空气对声波的吸收，求纸盆的振幅。解：2RPPIS，又因为2212IuA，所以 42223.81 10(m)RPAu 5-36 P、Q 为两个以同相位、同频率、同振幅振动的相干波源，它们在同一介质中传播，设波的频率为、波长为，P、Q 间距离为 3/2，R 为 PQ 连线上 P、Q 两点外侧的任意一点，求（1）自 P 发出的波在 R 点的振动与自 Q 发出的波在 R 点的振动的位相差；（2）R 点合振动的振幅。解：（1）R 在 Q 外侧时，322()203RPRQPQrr R 在 P 外侧时，32()2()203RPRQPQrr (2)P 和 Q 波源在 R 点引起的振动正好为反相，所以 A=0。5-37 一弦的振动方程为0.02cos0.16 cos750(SI)yxt，求（1）合成此振动的两个分振动的振幅及波速为多少？（2）两个相邻节点间的距离为多大？（3）t=2.0 10-3s 时，位于 x=5.0cm 处的质元的速度为多少？解：（1）弦振动为驻波，该振动方程与驻波的标准表达式22 coscosyAxt相比较，得 A=0.01m，2=0.16，得=39.2m，750rad/s，所以：37504.7 10(m/s)20.16uT 两分振动的振幅都为 A=0.01m。(2)两个相邻节点间的距离为18.6m2。（3）质元的运动速度 2 750cos0.16 sin750yvxtt t=2.0 10-3s 时，位于 x=5.0cm 处的质元的速度为31.04 10(m/)vs。5-38 如图所示，一列振幅为 A、频率为平面简谐波，沿 x 轴正方向传播，BC 为波密介质的反射面，波在 P 点反射。已知34OP，6DP，在0t时，O 处质元经过平衡位置向负方向运动。求入射波与反射波在 D 点处叠加的合振动方程。解：根据题意，可确定 O 处质元振动的初相位为2，这样 O 处质元的振动方程为：0cos(2 t+)2yA 入射波的波动表达式为：2cos(2+)2yAtx入 反射波在 O 点的振动相位比入射波在 O 点的振动相位要落后 2(2 3/4)4 式中加是考虑反射端有半波损失而加上的。由此可得反射波在 O 点的振动方程为 0cos(2 t+4+)2yA反 反射波向左传播，所以反射波的波动表达式为：2cos(2+)2yAtx反 入射波与反射波叠加后形成驻波的波动表达式为：22 coscos(2)2yyyAxt入反 位于127643x的 D 点，其合振动表达式为 2 72 coscos(2)3 cos(2)1222DyAtAt 5-39 速度为20m s的火车A和速度也为20m s的火车B相向行驶，火车A以频率=500Hz 鸣汽笛，试就下列两种情况求火车 B 中乘客听到的声音的频率。(设声速为 340m s)(1)A、B 相遇之前；(2)A、B 相遇之后。解：(1)A、B 相遇之前 习题 5-38 图 RRSS34020500562.5(Hz)34020uVuV(2)A、B 相遇之后 RRSS34020500444.4(Hz)34020uVuV 5-40 一人造地球卫星发出=108Hz 的微波信号，卫星探测器在某一时刻检测到由地面站反射回的信号与卫星发出的信号产生了拍频=2400Hz 的拍，求此时卫星沿地面站方向的分速度。解：设卫星沿地面站方向的分速度为 V，由地面站反射回而被卫星接收到的信号为：cVccVccVcV 二者之间的频率差为：2(1)cVVcVcV 可得卫星沿地面站方向的分速度为：8383 1024003.6 10(m/s)224002 10cV 正号，说明向地面站靠拢。5-41 从远方某一星体发射的光谱，经研究确认其中有一组氢原子的巴尔末线系。经测定，地球上氢原子的 434nm 谱线与该星体上氢原子的 589nm 谱线属于同一谱线。试由此推断该星体是正在远离还是正在接近地球?它相对地球的运动速度是多大?解：设星体相对地球的运动速度为 V，星体上波长为=434nm 的氢原子，地球接收到该氢原子的波长为=589nm，频率为，即：=ccV=ccccV 整理得：88()3 10(434589)1.07 10(m)434cV 所以此星体正远离地球。