掘进工作面围岩散热的有限体积法计算.doc

掘进工作面围岩散热的有限体积法计算

摘 要 作者根据掘进工作面围岩温度场的特点，分析了移动柱坐标下的导热微分方程，合理地确定了温度场边界、划分了单元格。推导了该特定导热微分方程的变分方程，阐述了有限体积法解算的原理。论述了由温度场解算结果计算围岩散热量的方法。由此原理和方法，编制了计算机程序。
关键词 掘进工作面 温度场 围岩散热 有限体积法
一、问题的提出
热传递是一种复杂的热物理过程，在具体研究地壳中的热传递时，我们以地壳的结构体作为温度传递介质。因而地壳结构体的热物理性质将是控制地壳中温度场分布的一个主要因素。
一般情况下温度T在温度介质中的分布可以看作空间位置x、y、z和时间过程t的函数，即
T=T（x，y，z，t） （1）
在地壳内部这种温度场的空间分布称为地热温度场。在特定情况下，当温度T只与空间坐标x，y，z有关而与时间过程τ无关时，把这种不随时间变化的温度场称为稳定温度场，随时间变化的温度场称为非稳定温度场。从空间分布来说，温度场又可以分为一维温度场、二维温度场和三维温度场。无论是一维温度场、二维温度场或三维温度场，它们都分别有稳定温度场和非稳定温度场之分。
当巷道一经开凿必有风流掠过壁面，二者直接接触时将发生对流换热。当空气温度低于地温时（围岩被冷却），地热将从壁面传给风流，使与风流接触的壁面失去热量，温度降低。此时，壁面与其相临的岩体间产生温差，在温差作用下，岩体内的热量以导热形式传向壁面，而后又以对流形式传给风流。如此进行下去，随通风时间的增长，在巷道径向的围岩体内的温度分布将是靠近壁面低，远离壁面高，接近于原始岩温。这样就在巷道周围岩体内形成了一个调热圈。调热圈内的岩温是空间和时间的函数，是非稳定温度场。
为了便于求解计算，可忽略一些次要因素，以便抓住主要矛盾，使无法求解的复杂问题得到简化。因此，本文也首先将掘进工作面围岩温度场做如下假设：
1、 掘进巷道是轴对称的；
2、 掘进工作面是均匀向前推进的；
3、 岩层是均质的；
4、 岩体内沿工作面长度方向无热流传递；
5、 工作面上任一横断面上的气温不随时间而变化。
有限体积法自1982年被提出以来，作为守恒型问题的离散方法具有较长的历史，已经获得了较大的发展。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积，将待解的微分方程对每一个控制体积积分，然后对积分式进行离散化处理，再导出离散化方程。
二、内部控制点的选取
1、内部节点能量守恒方程
在（1）式温度场中某一点M，任取包含点M内部的一封闭曲面F，其所围区域记作V，边界为Γ, 为F的外法线方向上的单位矢量，在封闭曲面F上任取一面积微元dF，根据傅里叶定律单位时间内通过曲面F流入区域V的全部热量为：
（2）

区域V内各点温度从T（x,y,z,t）变化到T（x,y,z,t+t），于是单位时间内温度变化所需热量为：
（3）
根据热力学第一定律，即能量守恒与转化定律
[导入与导出围岩微元体的净热量]+[微元体中内热源发热量]=[围岩微元体内能增量]，即：

（4）
对于二维问题，式（4）可以表示为：
（5）
根据傅立叶定律，在一个温度连续分布的介质体内部，介质空间某点（x，y，z）上在时间他时的温度梯度与热流通量可以表示为
（6）
由于温度梯度式是一个矢量函数，所以温度介质体内的热流通量也是一个矢量。对于二维平面来看,热流通量向量沿x，y轴的分量应为：
（7）
式中：
——材料的导热系数，
gradT——温度梯度，
但是要确定热流通量的大小，还应进一步知道物体内的温度场.为此目的，象其它数学物理问题一样，首先要找到上式的微分方程。
将式（7）代入式（5）得：
（8）
式中：
——沿x，y轴方向的热流密度，；
——材料的内热源强度，；
——材料的密度，；
——材料的比热容，；
T ——温度，；
t ——时间，s。
2、内部节点能量方程离散化
把区域V划分成若干个单元，单元形状为三角形，每个单元与三个节点相关联。几个单元拼接起来形成一个控制体。如图1所示。

图1
现以对图1中的内部节点7（任意）进行热质量平衡分析，多边形ABCDEF控制体为分析对象，此时，式（8）中的控制体为图1中的n(n=6)个小三角形拼接的多边形ABCDEF。边界为边界AB-C-D-E-F-A。于是式（8）可以表示为：
（9）
式中：
——节点7的第k个小控制体的对边在x,y轴摄影长度，m；
——节点7的第k个小控制体的面积，。
根据式（9），任取一内部节点l，建立如下热平衡方程：
（10）
式中：
——节点l的第k个小控制体的对边在x,y轴摄影长度，m；
——节点l的第k个小控制体的面积，。
式（10）可写成：
（11）
即：
（12）
图1所示的第（k）个三角形单元对m点能量方程的贡献：
（13）
3、温度插值函数
任取一个三角形单元，其顶点分别为i、j、m，如图2所示

图2
设单元中温度T沿x轴和y轴均呈线性变化，则：
（14）
式中：

根据式（7），（14）得
（15）
由温度插值函数得

因此
（16）
将式（10）和式（16）代入式（15）得
（17）
同理可得，
（18）
（19）
由式（17）（18）（19）可得单元k对其三个节点的能量方程的贡献矩阵表达式，
（20）
式中

三、边界节点控制体
1、边界节点能量守恒方程

图 3
如图3所示，根据能量守恒定律对任意边界点5进行分析，可得
（21）
式中：
——外界导入与导出控制体的热量差
2、边界节点能量守恒方程离散化
1）第一类边界点
边界s上温度为已知值，所以不必求解。
2）第二类边界点
边界s上的热流密度为已知，则

带入式（21）可得，
（22）
式中：
——节点5的第k个小控制体的对边在x,y轴的摄影长度，m
——节点5的第k个小控制体的面积，
——节点5的第k个小控制体的边界jm的长度，m
任取一边界节点l，设其与n个单元相关联，则可建立如下热平衡方程：
（23）
式中：
——节点l的第k个小控制体的对边在x,y轴的摄影长度m
——节点l的第k个小控制体的面积，
——节点l的第k个小控制体的边界jm的长度，m
将式（23）可写成
（24）
即：
（25）
图3所示的第（k）个三角形单元对m点能量方程的贡献：
（26）
将式（10）和式（16）代入式（25）得
（27）
同理可得，
（28）
（29）
由式（27）（28）（29）可得单元k对其三个节点的能量方程的贡献矩阵表达式，
(30)
式中

3)第3类边界节点
与围岩接触的流体介质的温度和换热系数为已知，则：
（31）
式中：
——为对流换热系数，
单元k对其三个节点的能量方程的贡献矩阵表达式
（32）
式中：