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周期信号的傅里叶变换

周期信号虽然不满足绝对可积的条件，但其傅里叶变换是存在的。由于周期信号频谱是离散的，所以它的傅里叶变换必然也是离散的，而且是由一系列冲激信号组成。下面先讨论几种常见的周期信号的傅里叶变换，然后再讨论一般周期信号的傅里叶变换。
复指数信号的傅里叶变换
对于复指数信号

因为

由频移性

复指数信号是表示一个单位长度的相量以固定的角频率ω0随时间旋转，经傅里叶变换后，其频谱为集中于，强度为的冲激。这说明信号时间特性的相移对应于频域中的频率转移。
二、余弦、正弦信号的傅里叶变换
对于余弦信号

其频谱函数

对于正弦信号

有

它们的波形及其频谱如图3-25所示。

三、单位冲激序列的傅里叶变换
若信号为单位冲激序列，即

则其傅里叶级数展开式为

对其进行傅里叶变换，并利用线性和频移性得

式中 。
可见，时域周期为的单位冲激序列，其傅里叶变换也是周期冲激序列，而频域周期为，冲激强度相等，均为。周期单位冲激序列波形、傅里叶系数与频谱函数如图3-26所示。

四、一般周期信号的傅里叶变换
对于一般周期为T的周期信号，其指数型傅里叶级数展开式为

式中,.
对上式两边取傅里叶变换，并利用其线性和频移性，且考虑到与时间无关，可得

式(3-82)表明，一般周期信号的傅里叶变换(频谱函数)是由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波频率处，其强度为相应傅里叶级数系数的倍。
可见，周期信号的频谱是离散的。但由于傅里叶变换是反映频谱密度的概念，因此周期信号的傅里叶变换不同于傅里叶系数，它不是有限值，而是冲激函数，这表明在无穷小的频带范围(即谐频点)取得了无穷大的频谱值。

例3-20 图3-27(a)表示一周期为，脉冲宽度为，幅度为1的周期性矩形脉冲信号，记为。试求其频谱函数。

解 由式(3-26)可知，图3-27(a)所示周期性矩形脉冲信号的傅里叶系数为

代入式(3-82)，得

（3-83）
式中。可见，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换由位于处的冲激函数所组成，其在处的强度为 。 图3-27(b)给出了情况下的频谱图。