智爱高中数学 抽象函数的周期与对称轴.doc

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智愛高中數學 抽象函数的周期与对称轴
一. 内容：抽象函数的周期与对称轴
二. 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。
难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。
三. 具体内容
1. 若则的周期为T。
2. 若则的周期为
证：令 ∴
3. 则的周期
证：令 ∴ ①
令 ∴ ②
由①②得：
∴ ∴
4. 若则图象的对称轴为
证：要证原结论成立，只需证
令代入 则
5. 若则的图象，以为对称中心。
证：方法一：要证原结论成立只需证
令代入 则
方法二：设它的图象为C
则P关于点的对称点

∵ ∴ ∴
【典型例题】
[例1] 对于，有下列命题。
（1）在同一坐标系下，函数与的图象关于直线对称。
（2）若且均成立，则为偶函数。
（3）若恒成立，则为周期函数。
（4）若为单调增函数，则（且）也为单调增函数，其中正确的为？
解：（2）（3）
[例2] 若函数有求。
解：，知的图象关于对称
而的对称中心 ∴
∴ 则
[例3] 设是定义在R上的函数，均有当时，求当时，的解析式。
解：由有得
设则

∴
∴ 时
[例4] 已知是定义在R上的函数且满足，当时有则
（1）是周期函数且周期为2
（2）当时，
（3）其中正确的是？
解：（1）（2）（3）
[例5] 已知满足，，
当时，且，
若，，求、、的大小关系？
解：由已知得，对称轴 ∴ 也为一条对称轴
∴ ∴
由 ∴ ∴
∴ ，， ∴
[例6] 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，求的值。
解：
[例7] 设定义在R上，有且当时，
（1）求证：且当时，
（2）求证：在R上递减。
解： （1）在中，令，得
∵ ∴
设，则令，代入条件式
有而 ∴
（2）设则 ∴
令，则代入条件式得
即 ∴ ∴ 在R上递减

【模拟试题】
一. 选择
1. 已知满足，且是奇函数，若则（ B ）
A. B. C. D.
2. 已知是定义在R上的偶函数，且对任何实数均成立，当时，，当时，（ C ）
A. B. C. D.
3. 若函数，都有则等于（ D ）
A. 0 B. 3 C. D. 3或
4. 函数是（ C ）
A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期为的奇函数 D. 周期为的奇函数
5. 的图象关于y轴对称的充要条件是（ C ）
A. B. C. D.
6. 如果且则可以是（ D ）
A. B. C. D.
7. 为偶函数的充要条件是（ B ）
A. B. C. D.
8. 设是R上的奇函数，当时，，则（ B ）
A. 0.5 B. C. 1.5 D.
9. 设，有那么（ A ）
A. B. C. D.
10. 定义在R上，则与的图象关于（D ）
A. 对称 B. 对称 C. 对称 D. 对称
二. 填空
1. 是R上的奇函数，且，则 0 。
2. 函数的图象的对称轴中最靠近y轴的是 。
3. 为奇函数，且当时，则当时 。
4. 偶函数的定义域为R，且在上是增函数，则
（1） （2）
（3） （4）
中正确的是 （2） 。
三. 解答题
1. 设是定义在R上的偶函数，图象关于对称，、都有且
（1）求、 （2）证明：是周期函数
解：（1）∵ 都有
∴
∵
∵ ，∴
（2）由已知关于对称 ∴
即， 又由是偶函数知，
∴ ，将上式中以代换得
∴ 是R上的周期函数，且2是它的一个周期
2. 如果函数的图象关于和都对称，证明这个函数满足
证：∵ 关于和对称
∴ ，
∴ 令，则
∴ 即
3. 已知对任意实数t都有，比较与的大小。
解：由知抛物线的对称轴是1
∴ 而
根据在上是增函数得即
4. 定义在实数集上的函数，对一切实数x都有成立，若方程仅有101个不同实根，求所有实根之和。
解：设即 ∴
∴ 有 ∴ 所有实根之和为
注：一个结论：设，都有且有k个实根，则所有实根之和为 练 习
一. 选择
1. 已知满足，且是奇函数，若则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知是定义在R上的偶函数，且对任何实数均成立，当时，，当时，（ ）
A. B. C. D.
3. 若函数，都有则等于（ ）
A. 0 B. 3 C. D. 3或
4. 函数是（ ）
A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期为的奇函数 D. 周期为的奇函数
5. 的图象关于y轴对称的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
6. 如果且则可以是（ ）
A. B. C. D.
7. 为偶函数的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
8. 设是R上的奇函数，当时，，则（ ）
A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5
9. 设，有那么（ ）
A. B.
C. D.
10. 定义在R上，则与的图象关于（ ）
A. 对称 B. 对称 C. 对称 D. 对称
二. 填空
1. 是R上的奇函数，且，则 。
2. 函数的图象的对称轴中最靠近y轴的是 。
3. 为奇函数，且当时，则当时 。
4. 偶函数的定义域为R，且在上是增函数，则
（1） （2）
（3） （4）
中正确的是 。
三. 解答题
1. 设是定义在R上的偶函数，图象关于对称，、都有且
（1）求、 （2）证明：是周期函数

2. 如果函数的图象关于和都对称，证明这个函数满足

3. 已知对任意实数t都有，比较与的大小。

4. 定义在实数集上的函数，对一切实数x都有成立，若方程仅有101个不同实根，求所有实根之和。

Wisdom&Love 第 10 页 （共 10 页） 2024年12月28日星期六