弹塑性力学-第4章 本构方程.doc

第四章 本构方程
第四章 本构方程

在前面的章节中，已经建立了变形体的平衡微分方程和几何方程，分别是从静力学方面和从几何学方面考察了变形体的受力和变形。但是只有这些方程还不足以解决变形体内的应力和变形问题。对于变形体，未知变量包括6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量，一共有15个未知函数，而平衡方程和几何方程一共是9个，未知函数的个数多于方程数。因此还必须研究物体的物理性质，即应力与应变之间的关系。通常称这种关系为变形体的本构方程，或称为物性方程。

4.1弹性应变能函数

变形固体的平衡问题不仅需要运动微分方程、应变—位移方程(即变形几何方程)还需要将应变分量和应力张量分量联系起来，方能给定物体的材料抵抗各种形式变形的规律。该规律的理论解释需要对分子间力的本质有深入的认识，该分子力力图使固体粒子间保持—定的距离，也就是需要对固体中应力分量和应变分量有深入的认识。这种作用机理在非常接近稳定状态的气体中己弄清楚，但对于弹性体情况，目前科学技术发展水平还不能解决这一难题。如要通过实验探求物体内部的应力和应变的关系，则总是从一些量的测量来推理得到，在一般情况下，这些量并非应力或应变的分量(例如平均应变、体积压缩、物体表面一线元的伸长等等)．因此，在现时应力与应变关系主要是通过直接实验建立。然而该关系中的某些固有的一般特性可以在理沦上加以说朋，如能量守恒定律为应力-应变关系的理论研究提供了基础。
1.1应变能密度
假设变形的过程是绝热的，也就是在变形过程中系统没有热的损失，而且假设物体中任意无穷小单元改变其体积和形状所消耗的功与其从未变形状态到最终变形状态的转换方式无关。这个条件是弹性的另一种定义。换句话说，就是假设物体粒子互相作用过程中的耗散(非保守)力的作用与保守力的作用相比是可以忽略的。满足这个假设的物体在卸载后一定回到其初始尺寸和形状，也就是说该物体是理想弹性的。
在上述条件下，使弹性体的未变形微元变形所需的功可表达为，即等于单元初始体积和6个应变分量的某个函数的乘积。该函数称为物体的应变能函数或应变能密度。它依赖于材料的物理特性，但与物体的形状和尺寸无关。应该注意到应变能函数仅依赖于6个应变分量，和刚体运动无关。
另一方面，应变分量可以用三个主应变分量()和对于应变主轴()的方向余弦()来表示，而且由于主轴相互正交，并且()是单位矢量的分量，所以方向余弦可表示为三个独立角度()的函数。这样无穷小微无变形所需要的功为
(4.1-1)
从方程(4.1-1)可清楚地看出，使一体积元(就是说一平行六面体)变形所消耗的功不仅依赖于主应变分量()的大小，而且依赖于受到()作用的体元纤维的主方向(六面体各面的方向)。
以上说明体元在不同方向对变形的响应是不同的，当一个物体呈现这种行为的性质称为各向异性，更完整地说，组成该物体的材料是各向异性的。它在不同方向呈现出不同性质(对给定力的不同响应)。反之，如果材料在各方向的响应都相同(对给定力)，则称该材料(物体)为各向同性的。对在各个方向有相同性质的物体使一体元变形所需的功不依赖于该单元的方向性(即不依赖于确定主方向位置的角度)，因此仅仅是是主应变()的函数。这样，对各向同性材料，
(4.1-2)
从第三章知，主应变()也可以用应变不变量()，故(4.1-2)式也可写为
(4.1-3)
对一般变形理论，方程(4.1-3)比方程(4.1-2)更适用，然而对于小位移理论，方程(4.1-2)的形式是有用的，因为()具有简单的物理意义。
由方程(4.1-3)，整个物体变形消耗的功为
(4.1-4)
函数以及方程(4.1-1)和(5.1-2)中的函数称为应变能函数，或称应变能密度，它表示相对于不变形状态物体单位体积的变形能。
1.2应力分量与应变能密度函数的关系
对于处于弹性小变形的物体，即处于小应变状态的物体，设物体的闭合表面为，被所包围的体积为，假设物体处于变形的平衡状态(包括物体处于变形过程中)，可以证明所得到的应力分量与应变能密度函数之间的关系保持不变。设表示变形过程中外力作用于体积上的功，表示由变形所引起的体积内能的变化或变分。如果变形是绝热的，则由能量守恒定律导出。因此有，其中是弹性变形能函数，因此有
， (a)
功是作用于体积的体力功，和作用于表面的面力功之和。由应力状态理论知，功为
(b)
式中和分别是在坐标方向的位移矢量和相应于体积的体力分量。类似地， 根据应力边界条件可得面力功为
(c)
根据散度定理，该面积分可转换为体积分
(d)
根据变分与微分符号可以互换，并注意，则由(a)、(b)、(c)、(d)式可得
(e)
因为方程(e)反映了固体变形的绝热过程，所以由该式可得
(f)
在绝热情况下，方程(f)右端的表达式就是应变的微分，并且存在一函数，具有由下列关系所表达的性质
(4.1-5a)

由该式可得
(4.1-5b)
函数表示由于变形(应变)而贮存在物体单位体积内的应变势能。采用工程符号上式可写为
(4.1-5c)
当物体为绝热变形时，的变分与物体内能密度的变分相同。满足关系(4.1-5)的函数称为总应变能密度函数。应变能密度函数的存在也可说明一个等温(恒温度)过程。实际上说，一个绝热过程可以由物体内经历小而迅速的振动变化来近似表示，反过来等温过程可以由逐渐加载引起物体缓慢变形，且物体的温度与周围物体连续保持平衡在物体内所引起的变化来近似表示。
方程(4.1-5)极大地简化了在弹性力学小挠废理论中确定应力分量的问题，因为我们只需寻找一个函数代替寻找6个未知函数()。一般说来是6个应变分量的函数，或者是6个应力分量的函数。如果材料是各向同性的，结果就会更简单，因为主应变方向与应变能密度无关，是主应变的函数．于是由方程 (4.1-5)，主应力为
, ,
主应力和主应变不受介质质点旋转的影响，即使位移是大的，但只要应变与1相比是小的，方程(4.1-5)也是正确的。

4.2线弹性变形体的广义虎克定律

不同材料具有不同的拉伸曲线的，但是它们也有一些共同的规律，一般说来，当变形较小时，即应力小于弹性比例极限时，应力和应变之间的关系是线弹性的，因而是可以恢复的。当卸除外载荷后，物体可以完全恢复到变形前的初始状态，在物体内没有任何残余变形和残余应力。这时应力与应变之间的关系可以用虎克定律表示，即，称为弹性模量。另外，在线弹性范围内，当试件在轴向()拉伸或压缩过程中，其横截面的侧向()也相应地在缩小或增大，根据试验知，侧向应变与轴向应变之间存在如下关系：

对于三维应力状态，依据前述应力张量与应变张量的对称性，因此描述一点的应力状态一共有6个应力分量和6个应变分量。当材料处在线弹性阶段时，应力与应变之间仍存在线性关系，所以对于均匀的理想弹性体，应力与应变之间的关系可写为
(4.2-1)
其中为弹性系数。由材料的均匀性可知，系数与坐标无关。
式(4.1-1)建立了应力与应变之间的关系，称为广义虎克(Hooke,R)定律或弹性本构关系。在式(4.2-1)中，系数一共有36个。一般情况下，系数不是常数，除依赖温度外，还依赖于物体中的位置，通常是随着温度的增高而减小。实际上，方程(4.2-1)不是定律，仅是对小应变正确的一种近似，因为任何连续函数在变量的足够小的范围内是近似线性的。对于物体内给定温度和位置，方程(4.2-1)中的系数是代表材料特性的常数。
2.1各向异性材料
对于各向异性材料这36个常数也并不是独立的。由方程()4.2-1)和(4.1-5b)可知
(4.2-2)
将(4.2-2)式分别进行微分，则得
(4.2-3)
这些方程说明，即弹性系数是对称的，因此只有21个不同的系数。
也即对于各向异性弹性材料有21个弹性系数。由此可知，一般各向异性材料的应变能函数为
(4.2-4)
2.2对称性材料
在某些结构材料中，可能存在着特殊的对称性，如在坐标变换中中弹性系数可能保持变换，这种变换称为相对于平面的反射。这种变换的方向余弦由表3.2知，分别为
(4.2-5)
将方程(4.2-5)代入方程(2.3-4)和(3.3-5)，并注意到可得
(4.2-6)
和
(4.2-7)
因此在方程(4.2-4)的变换下，方程(4.2-1)的第一个方程给出，
(4.2-8)
将方程(4.2-6)和(4.2-7)代入方程(4.2-8)可得
(4.2-9)
比较方程(4.2-1)的第一式和方程(4.4-9)得出条件，因此必然。类似地考虑，发现

因此，如果一种材料的弹性性质对于()平面反射(即该物体有一弹性对称面)是不变的，则该材料独立的的弹性系数共有13个，其矩阵形式为
(4.2-10)
如果材料有两个互相垂直的弹性对称平面，可以证明，则矩阵(4.2-9)可简化为
(4.2-11)
矩阵(4.2-11)中仅有9个独立的弹性常数，因此，方程(4.2-1)得到进一步简化。
2.3各向同性正交异性材料
对某些特殊性质的材料其系数可以用杨氏模量、剪切模量和泊松比3类工程系数来表示。如，平面是各向同性材料的特性可用5个系数描述，而在与该平面垂直的方向则呈各向异性。换句话说，在绕对称轴旋转任何角度时，其弹性系数保持不变。因此，横观各向同性材料有如下特征的弹性系数矩阵
(4.2-12)
其中。按工程表示法
， (4.2-13a)
, (4.2-13b)
此处。由确定系数。剩下的工程(弹性)系数与4个系数()有如下关系
， (4.2-13c)
2.3各向同性材料
如果材料在三个方向力学性质是相同的，则称为各向同性材料，例如金属材料即属于此类材料。此时弹性系数只有2个，即，但独立的弹性系数只有2个。因此，在(4.2-11)式中，应有，，，各系数分别为
， ，
这样，(4.2-1)式广义虎克定律简化为
(4.2-14a)
式(4.2-14c)式还可写为
(4.2-14b)
通常也将广义虎克定律写为
(4.2-14c)
如果引入拉梅(Lamé,G)常数，则广义虎克定律还可写为
(4.2-14d)
其中 ，与工程材料常数之间有如下关系

在平面应力情况下，因，(4.2-14a，b)可分别简化为
(4.2-15a)
(4.2-15b)
对于平面应变问题，由于，于是从(4.2-14a，b)可得
(4.2-16a)
(4.2-16b)
2.4参数的物理意义、体积变形与体积模量
式(4.2-14a，b)可用张量形式分别写为
(4.2-17a)
和
(4.2-17b)
令
(4.2-18)
则广义虎克定律又可写为
(4.2-19)
其中分别为应力偏量和应变偏量，，称为体积模量。
从式(4.2-19)可以看出，物体的变形可分为两部分：一部分是各向相等的正应力(静水压力)引起的相对体积变形；一部分是应力偏张量作用引起的物体几何形状的变化。并可认为前一种变形不包括物体形状的改变(即畸变)而后一种变形则不包括体积的变化，从而可以将变形分解为两部分。这种分解在塑性理论中很有用处。
如果令变形体中的微小六面体单元的原始体积为，即，那么变形后的体积为

上式中略去高阶微量后，则可得

或

由此可见，为变形前后单位体积的相对体积变化，称为体积应变或相对体积变形。显然，对于体积不可压缩材料有。由广义虎克定律，有

当时,则记
(4.2-20)
称为体积模量，又称弹性体积膨胀系数。如将代入(4.2-19)式，则得(4.2-19)式的第一式。

4.3屈服函数与应力空间

对了简单拉伸问题，屈服应力可由试验确定，并用简单应力状态的强度计算。然而工程中的实际结构不仅受力状态十分复杂，其应力状态也多属二向或三向应力状态，统称为复杂应力状态。在复杂应力状态下，由于弹塑性分界面不再如同简单应力状态那样有明显的分界面而使问题变得比较复杂。同时塑性变形规律的确定也不能由实验予以确定。这是因为，一方面，当材料内任一点的主应力有两个或三个不为零时，它们之间的相互比值(组合)就会有无限多，要按每一种比值来进行实验是不可能的；另一方面．目前要实现复杂应力状态下的各种实验，在技术和设备上也都是因难的。因此，关于复杂应力状态下屈服条件及塑性本构关系的确定．就只能在一定的实验基础上，通过一些假设和推理确定。
3.１.均压试验
布里奇曼(Bridgman，P .W)曾对金属材料大量的均压实验，发现在大气压下，弹簧钢体积缩小2.2%，镍缩小1.8%，而构造疏松的碱性材料，体积改变很大，如锶在15000个大气压Ｆ，体积改变约等于原来1/3。但对于大多数金属材料，在平均压力下体积改变很小，并得到如下关系式
(4.3-1)
式中分别为压力强度、体积应变、体积模量和派生模量。实验表明，在压力达到15000个大气压的水平时，(4.3-1)式都适用；当压力值等于金属材料的屈服极限时，用(4.3-1)式计算的体积应变与用弹性规律
(4.3-2)
算得的值仅相差，且越小，式(4.3-1)和(4.3-2)的差别越小。因此，在工程实用范围内，可以认为(4.3-2)式是正确的。或者说，在复杂应力状态下，平均应力可取
(4.3-3)
试验表明，即使在塑性变形范围内，体积改变也是可逆的，即仍是弹性的。因此(4.3-3)式称为体积弹性定律。将物体的总应变分解为弹性应变和塑性应变，即

由于体积变形是弹性的，因此由上式可知

即塑性体积应变为零。在实际应用中，由于塑性应变往往比弹性应变大得多，因此为了简化计算，当结构材料进入塑性变形阶段后，常常假定材料是不可压缩的。根据广义虎克定律有

在上式中，因为，则可得
(4.3-4)
上式是忽略弹性应变效应的一种简化假定，但这一假定可使求解大大简化。
由以上可知，布里奇曼的均压试验表明材料的屈服应力与压力强度无关。由此可得出结论：金属材料屈服与平均应力无关，即金属材料屈服与体积改变无关，只决定于形状改变(剪切应变)。由于材料的塑性行为与弹性行为不同，因此，在塑性力学中，要将应力和应变张量分解为它们的球张量和偏张量，其中仅偏张量才与金属的塑性行为密切相关。
注意，上述结论仅对各向同性材料而言，对于各向异性材料，在各向等压下不仅要产生体积变形，而且还要产生形状改变，因此情况要比各向同性材料复杂得多。另外，由于各向等拉试验难以实现，至今尚缺乏这方面的资料，所以将布里奇曼试验所得结论用于各向等拉是一种假设。
3.2初始屈服函数
由材料的简单拉伸(或压缩)实验的应力应变曲线可知，当应力达到后，则材料由弹性状态进入塑性状态，应力应变关系不再服从虎克定律。因此，是材料由弹性过渡到塑性的条件。这便是单向应力状态的初始屈服条件，是判断材料是否进入塑性状态的准则。由上述概念可建立一般情况下屈服条件的定义：
屈服条件：在载荷作用下，物体内某一点开始产生塑性变形时，应力所必须满足的条件。
一般情况下，工程中的结构材料是处于复杂应力状态下，如果复杂应力状态的屈服条件均要如同简单拉伸那样通过试验决定，则各种复杂应力状态情况是不相同的，其试验次数将是非常可观的。对于理论分析而言，则要求给出屈服条件的解析式。即在复杂应力状态下建立一个统一的关系来表达这个准则，即对各种材料和在不同的应力状态下怎样用一个公共的函数形式来表达。
通常屈服条件与所考虑的应力状态有关，即与应力空间的6个应力分量有关，且是这些应力分量的函数，假定这个公共的函数存在，则称之为“屈服函数”，即为
(4.3-5)
由于材料初始屈服时，它仍处于弹性状态，应力相应变有唯一关系，因此称(4.3-5)式为初始屈服函数。式(4.3-5)表示在一个以6个应力分量矢量的6维应力空间内的超曲面。空间内的任一点都代表一个确定的应力状态。是这个应力空间内的一个曲面，因此称为超曲面。该曲面上的任一点都表示一个屈服应力状态，所以又称为初始屈服面。如简单拉伸时，屈服应力应在6维应力空间中屈服面内的一个点，其坐标为()。
对于各向同性材料，坐标方向的变换对屈服条件没有影响，故可用主应力来表示屈服函数，或用应力不变量表示，即(4.3-5)式改写为
(4.3-6)
由前面可知，平均应力(静水压力)不影响屈服，因此屈服条件也可以用应力偏量或应力偏量不变量来表示，即
(4.3-7)
需要注意的是，由于应力偏量不变量中恒为正值。而当应力变号时，也随之变号，故屈服函数必是的偶函数。因此，(4.3-7)式中的第二式必须改写为
(4.3-8)
3.3屈服面的特征
由(4.3-6)式知，屈服函数可以用主应力表示，因此可以在主应力空间内进行讨论。主应力空间是一个3维空间，在这个空间内可以给出屈服函数的几何图形，从而有助于对屈服面的认识。
某一点应力状态，可用应力空间一点来表示如图4.1。为该点的应力矢量。考虑过坐标原点与三个坐标轴成等倾斜的直线(等倾斜面法线)，其方向余弦为都相等，由，可知

在图4.1中的应力矢量可分解为沿等斜面法线及平行于等倾斜面的两个分矢量和，即

若，该点的应力状态为静水压力，则必沿方向。因此，在直线上的任意一点的应力状态均为：，即应力状态为静水压力，即对应于一个球形应力状态。
对于一般应力状态，将其分解为静水
压力及应力偏量状态时，分矢量
代表静水压力部分，而代表应力
偏量部分，也就是确定材料是否屈服
的有关部分。
由解析几何知，任一与正交
的平面的方程为 图4.1 应力状态矢量图

式中为沿线方向从坐标原点至该平面耐距离。显然，当时，此平的方程为

该平面为过坐标原点，并与坐标轴成等倾斜面称该平面为平面。
如有任一应力状态，则在上的投影为，称为静水应力分量，共值为

而与而相垂直，即平行于平面的分量为应力偏量分量，其值为

如考虑在过点面平行于的线上任一点的应力状念，则在平面上的投影必与在该面上的投影相同，仅静水压力分量不同。即过点平行于的线上所有的点都有相同的应力偏量分量。由于一点的塑性屈服只取决于应力偏量状态，而与静水应力无关。因此，屈服函数必定是平面上的一条封闭曲线。称为屈服曲线。对于整个应力空间来说，这条曲线并不随的大小而变化。于是，在主应力空间内，屈服面是以等倾线为轴线，以平面上的屈服曲线为截面形状，与坐标轴成等倾斜的一个柱体的表面。
屈服曲线在平面内有下列重要性质：
(1)屈服曲线是将坐标原点包围在内的一条封闭曲线。
因为坐标原点是—个无应力状态，材料不能在无应力状态下屈服，所以屈服曲线必定不过坐标原点。另一方面，初始屈服面内是弹性应力状态，所以屈服曲线必定是封闭的，否则将出现在某些应力状态下材料不屈服的情况，这是不可能的。
(2)屈服曲线与任一从坐标原点出发的向径必相交一次．是仅相交一次。
在只讨论初始屈服的条件下．材料既然在一种应力状态下己经达到屈服，就不可能又在与同一应力状态差若干倍数的另一应力状态再达到屈服。初始屈服只有一次。
(3)屈服曲线对三个应力主轴的正负方向均为对称。
由于应力偏量对主应力坐标轴具有对称牲和不计鲍辛格尔效应，因此对应力主轴的两侧及其正负方向均是对称的。
(4)屈服曲线相对于坐标原点为外凸曲线，屈服面为外凸曲面。
屈服面的外凸性是屈服函数的重要特性，将在下面予以证明。
3.4杜拉克(Drucker)公设
为了证明上述屈服条件的外凸牲及其相关特性，需引进材料稳定性假设。对于图4.2(a)所示强化材料，如果应力增量，则产生应变增量，那末应力增量在应变增量上所做功为，具有这种特性的材料称为稳定的。如果当时(图4.2b)，或时(图4.2c)，均有，称这类材料为不稳定的。
对于处于复杂应力状态的稳定材料，假设材料从某个弹性应力状态开始加载，在到达加载应力后，再增加应力，它将引起一个新的塑牲应变

图4.2 稳定材料与不稳定材料
增量，在这样一个变形过程中，应力做了功，且下列关系式必然成立
(4.3-9)
如果现在将应力重新降回到，弹性应变将恢复，弹性应变能披释放，由于塑性应变能部分则是不可逆的，因此在这样一个应力循环过程中，所作的功恒大于零，也即消耗了功。这个功是消耗于塑性变形的，叫做塑性功(参看图4.3)，可表示如下：
(4.3-10)
不等式(4.3-9)、(4.3-10)分别表示：
图4.3 加载与卸载

(1)在加载过程中，应力增量对于附加应变所做功恒为正。
(2)在加载与御载的整个循环过程中，所完成的净功恒不为非负。
上面的第一条为稳定材料的定义，而第二条并未对弹塑性材料的材料性质予以限制，因此对理想弹塑性材料和弹塑性强化材料都适用。对于强化材料，当应力超过初始屈服面后，应力继续增加时，屈服面将随应力变化过程按一定规律变化，形成一系列屈服面，相对于初始屈服面称这些屈服面为后继屈服面，有时也称为继生屈服面或加载面(如图4.4所示)。
如果物体中某点的应力状态相应于应力空间中的点(见图4.4)，然合再
加载，应力点的移动轨迹为，再由卸载至。由于阶段为弹性加载过程，段为弹性规律的卸载过程，所以塑性应变增量只在段产生。于是(4.3-10)式可写为

在应力循环中，塑牲应变的变化是一无穷小量。当，可近似得
(4.3-11)
不等式(4.3-9)、(4.3-11)可认为是应变强化的数学表达式。
如果将塑性应变与应力空间重合在一起(图4.5)，则不等式(4.3-9)可解

图4.4 初始屈服面与后继屈服面 图4.5 外凸屈服面
释为与的数量积(如图4.5)，即

于是一定有

这表示与之间的夹角必为锐角。
另一方面，同样的情况，因为可使的模大于的模，及

或

于是必有

即矢量与互成锐角。由于是
任意的，而与屈服面的外法线方向一致， 图4.6 内内凹屈服面
因此所有的应力点均应在垂直于的平面的一侧，即屈服面必为外凸的曲面。对于凹的屈服面(图4.6)，将会得出与互成钝角，因此与图4.5矛盾。
3.5伊留辛(Il´yushin)公设
如果将上述讨论置于应变空间中(图4.7a)，伊留辛于1961年提出了一个假设：弹塑性材料的微元体在应变空间的任一应变循环中所做功均为非负，即
(4.3-12)
成立，且仅当此过程为弹性循环时取等号。伊留辛公设比杜拉克公设应用更广，

图4.7 伊留辛公设描述
且对软化材料应用更方便。
对于图4.7(b)所示一维情形，当材料进入塑性状态以后，不管是强化还是软化材料，弹性卸载过程中的塑性应变具有不可逆性，所引起的全部应变能皆是非负，为图4.7(b)中的阴影部分，即式(4.3-12)成立。由此可见，杜拉克公设(4.3-12)式讨论的是图4.7(b)中的12341部分，而伊留辛公设(4.3-11)式讨论的是123451部分。因此有伊留辛公设所得的非负功大于杜拉克公设所得的非负功。

4.4常用(初始)屈服条件

两个多世纪以来，人们都在对材料的屈服条件进行不懈的研究，直至现在也还在研究中。经大量实验验证，符合工程应用的金属材料特性，应用又较方便的常用屈服条件有屈雷斯加(Tresda)屈服条件和米塞斯(Mises)屈服条件。
4.1屈雷斯加屈服条件
屈雷斯加屈服条件又称为最大剪应力屈服条件，是屈雷斯加于1868年根据金属挤压流过小孔的实验提出的一个屈服条件。这个条件认为当韧性金属的最大剪应力达到一定数值时材料便开始屈服。即

屈雷斯加屈服条件要求预先知道最大与最小主应力。设，则
(4.4-1)
对于简单拉伸，当(简单拉伸时材料的屈服应力)，，由(4.4-1)式可得
(4.4-2)
或写为
对于纯剪情况，，将它代入(4.4-1)式，得

由此可见，根据简单拉伸试验和纯剪切可知，屈雷斯加屈服条件中的值为简单拉伸屈服应力的1/2。
在一般情况下，不按大小次序排列，则下列表示最大剪应力的六个条件中的任一个成立时材料就开始屈服

上式通常可写为
(4.4-3)

图4.8 初始屈服条件 图4.9 屈雷斯加二维屈服曲线
式(4.4-3)即为屈雷斯加屈服条件的数学表达式。在主应力空间，它为如图4.8所示的一个与坐标轴成等倾斜的各边长相等的正六棱柱体，称为屈雷斯加六棱柱体。
对于二维应力状态()，则有
(4.4-4)
式(4.4-4)在平面内组成如图4.9所示的六边形，称为屈雷斯加屈服六边形。
在应力空间讨论屈服条件时，对于二维应力状态则退化为一个平面，称为主平面。显然，对于确定的应力状态()，在主应力平面内是一个确定的应力点，当物体中某一点的应力状态处在屈服六边形内部时，表示物体在该处的材料尚处于弹性状态；如果物体中某一点的应力状态达到屈服六边形上的任一点，意味着物体在该处的材料开始进入塑性状态。对于理想弹塑性材料，应力点不可能处在屈服六边形以外，而对于弹塑性强化材料开始屈服后的情况，需作专门讨论，可参阅有关著作。因此，这里所讨论的屈服条件为初始屈服条件，其屈服六棱柱体和屈服六边形分别为初始屈服面和初始屈服曲线。
4.2米塞斯屈服条件
对于各向同性材料，根据广义虎克定律，物体总的变形能可由式(4.2-4)得
(4.4-5)
又根据物体的变形可分解为体积变化和形状变化两部分，因此应变能也可分解为体积改变能密度和形状改变能密度，即

引起体积变化的是平均正应力，与之相应的平均应变，因而
(4.4-6)
引起形状改变的是应力偏量和相应的应变偏量，注意到广义虎克定律，可以将形状改变能密度，即畸变能密度采用主应力表示为

(4.4-7)
米塞斯屈服条件又称为畸变能屈服条件，或形状改变比能屈服条件。该屈服条件认为，当构件中某一点的应力状态所对应的畸变能达到一定值时，该点便屈服。因此由畸变能公式(4.2-6)可得
(4.4-8)
其中为表征材料屈服特征的参数。当以主应力表示，式(4.4-8)可写为
(4.4-9)
材料屈服特征参数，如同屈雷斯加屈服条件那样，可由简单拉伸试验确定。此时，，。将这些值代入(4.4-9)式有
(4.4-10)
对于纯剪状态，则恒等于纯剪应力状态屈服时的最大剪应力，即，它可由薄壁圆管受扭作用试验得到。根据畸变能条件，式(4.4-10)说明，纯剪切屈服应力是简单拉伸屈服应力的倍。
对于二维应力状态，畸变能条件为
(4.4-11)
也可写为
(4.4-12)
式(4.4-12)在坐标平面内为如图4.10的一个椭圆。
如同前面所述那样，当应力点处于屈服椭圆以内，也即当
时，或屈服函数，则物体中的材料处于弹性状态，当应力点处在屈服曲线上的任一点，此时，或，
则材料进入塑性状态。
式(4.4-8)是米塞斯屈服条件的一般表
达式。由式(4.4-9)可以看出，米塞斯屈服
条件在三维主应力空间为与坐标轴成等倾
斜的圆柱体，称该圆柱体为米塞斯圆柱体。
进一步可证明，米塞斯圆柱体外接于屈雷
斯加六棱柱体。 图4.10 米塞斯二维屈服曲线
以上两种屈服条件各有优缺点，最大剪应力条件是主应力分量的线性函数，因而对于已知主应力方向及主应力间的相对值的—类问题，是比较简便的，而畸变能条件则显然复杂得多。但从理论上讲最大剪应力条件忽略了中间主应力对屈服的影响，是其缺陷。而畸变能条件则克服了这一不足。实验证明：畸变能条件比最大剪应力条件更接近于实验结果。
4.3二维应力状态的初始屈服条件
前面所述二维应力状态是对主应力已知而言，但在处理实际问题时，对于二维应力状态，即平面应变状态和平面应力状态，一般所设直角坐标轴不一定正好是应力主轴，因此为了今后处理问题使用方便，必须导出这两种应力状态在直角坐标轴下的屈雷斯加屈服条件和米赛斯屈服条件的具体表达式。
1)、平面应力状态
规定纯拉伸时两种屈服条件相重合，根据式(4.4-2)和式(4.4-8)并注意到式(4.4-10)，以及假设材料是不可压缩，即，屈雷斯加屈服条件和米塞斯屈服条件分别为
屈雷斯加屈服条件 (a)
米塞斯屈服条件
(b)
平面应力状态的应力特征为
(c)
于是(b)式可写为

该式可进一步简化为
(d)
由式(c)知，是主应力之一，而另二个主应力为

由于的关系恒成立，因此三个主应力的大小次序只有下面三种情况：
(1) 。