解决排列组合问题的常用方法.docx

考仕网（）解决排列组合问题的常用方法在每年的公务员考试中，听到抱怨最多的就是数量关系模块，有些人面对难题毫无头绪，干脆放弃；也有些人耗费了大量时间，最终也还是没有做对。为此，考仕网（ ）名师彻底解决排列组合问题。1.特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑 例1：六人站成一排，求 甲不在排头，乙不在排尾的排列数 （）A.504 B.520 C.480 D.532答案：A分析：法1:先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。 第一类：乙在排头，有P(5.5)种站法。 第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，这时候有4种选择即C(4.1)，还剩5个位置，甲不能再排头所以只有4种选择C(4.1)，剩下的全排列，即有C(4.1)C(4.1)A(4.4)种站法。2.反面考虑法法2: 全排列减掉甲在排头的、乙在排尾的、再加上他们多减的部分（正好甲在排头，乙在排尾） P(6.6)-P(5.5)*2+P(4.4) =504例2：某单位邀请10名教师中的6位参加一个会议，其中甲乙两位不能同时参加，则邀请的不同方法有多少种（）A.84 B.98 C.112 D.140答案：D解析：法1:甲参加，乙不参加，有C(8.5)=56种 乙参加，甲不参加，有C(8.5)=56种 甲，乙都不参加，有C(8.6)=28种 则邀请的不同方法有56+56+28=140种法2:从反面考虑，甲乙都参加，有C(8.4)=70种 C(10.6) -C(8.4)=1403.捆绑法例3：A、B、C、D、E五人排成一排，其中A、B两人必须站在一起，共有（）种排法。A.120 B.72 C.48 D24答案：C解析:将A、B捆绑一起，与C、D、E一起排，共有种排法，A、B又有种排法，共有种排法。例4：（河北招警2010-32）从单词“equation”选5个不同的字母排成一排，且含有qu（其中qu相连且顺序不变），共有（）种排法。A.120 B.480 C.720 D840答案：B解析：从剩下的6个字母里选3个，有C(6，3)=20， 再将这3个字母和qu全排列A(4.4)=24 所以共有2024=480种排法4.错位排列错位排列问题：有封信和个信封，每封信都不装在自己的信封里，比如： 2封信就有1种装法；3封信的具体装法 12,23,31和13,21,32就有2种装法；随着信封数目的增多，这种问题也随之复杂多了。应用集合中的容斥原理，我们就可得到“装错信封问题”的数学模型的求解公式，请牢记：设这个数的错位排列数为，当时，经过枚举我们可以得到：例5：甲乙丙丁四个同学站成一队，从左到右数，如果甲不排在第一个位置，乙不排在第二个位置，丙不排在第三个位置，丁不排在第四个位置，那不同的排法有几种？A.9 B.11 C.12 D24答案：A 5.间接计数法.(排除法) 例6： 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形? A.79 B.71 C72 D76答案：D分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，C(9.3)-8 例7：正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体? 分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数， 共C(8.4)-12=70-12=58个。 6.分配插板什么时候使用插板法呢？有两个前提：1）相同的东西进行分配；2)每人至少分一个；例8：（河南政法2010A-41）把9个苹果分给5 个人，每人至少分一个苹果，那么不同的分法有多少种？（）A.70 B.40 C.50 D60答案：A分析: 9个苹果排成一排，形成8个空，插4个挡板，就可以把这9个苹果分成5份，并且每份至少1个，例9：10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法? 分析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共种。 例10：个教师分配到个班参加活动，每班至少人，有几种不同的分法？错解： 把个老师排成一排，中间投入四块挡板：|，只要在块挡板中任取块，一共有种不同的方法.错因： 个教师是互不相同的，而用挡板时，要求这些元素必须相同.即把问题改为：把个名额分配给个班，每班至少有人.问有几种不同的分法？个名额是没有区别顺序的.可用挡板法解决.正解：先把位老师分成三堆，有两类：、和、2、2分别有和种，再分到三个班里，共有种.【点评】 类似上面的分配问题，当元素有区别时，要利用分组办法解决，当元素无区别时，可用挡板模型来解决.7.等价转换当考试题目和实际问题比较接近时。我们一定要将其转换成我们呢熟悉的等价数学模型例11：马路上有编号为1,2,3,4,5,6,的6只路灯，为了节约用电，现要求把其中的两只灯关掉，但不能关掉相邻的两只，也不关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有几种？（）A.2 B.3 C.4 D5答案：B分析：等价转换，假设有4个白球排成一排（中间3个空，不包括端点2个空），将2个黑球插入到白球构成的空中，最后得到的6个球就相当于6只路灯，白球代表亮的，黑球代表关掉的.8.分组法例12.6本不同的书 (1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法?(2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？ (3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？ (4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法? (5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法? 分析 (1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法? C(6.2)C(4.2)(2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？ C(6.2)C(4.2)/P(3.3)(3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？ C(6.3)C(3.2)(4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法? C(6.3)C(3.2)(5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法? C(6.3)C(3.2)P(3.3) 5