高一数学必修1__集合教案.doc

第一章 集合与函数概念
§1．1集合
（一）集合的有关概念
⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，
而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种)
⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；
⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。
例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4A，等等。
练：A={2，4，8，16}，则4A，8A，32A.
5.常用的数集及记法：
非负整数集（或自然数集），记作 ；
正整数集，记作 或 ；(N内排除0的集.)
整数集，记作 ；　　有理数集，记作 ；　　　　实数集，记作 ；
6.关于集合的元素的特征
⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明”
（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大
的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.
⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.
如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2
⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
⑴大于3小于11的偶数；　　　⑵我国的小河流；
⑶非负奇数； 　　　⑷方程x2+1=0的解；
⑸某校2011级新生； 　　　⑹血压很高的人；
⑺著名的数学家； 　　　 ⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点
（二）例题讲解：
例1．用“∈”或“”符号填空：
⑴8 N； ⑵0 N； ⑶-3 Z； ⑷ Q；
⑸设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A。
练：5页１题
例2．已知集合P的元素为, 若2∈P且-1P，求实数m的值。
练：⑴考察下列对象是否能形成一个集合？
①身材高大的人 ②所有的一元二次方程
③直角坐标平面上纵横坐标相等的点 ④细长的矩形的全体
⑤比2大的几个数 ⑥的近似值的全体
⑦所有的小正数 ⑧所有的数学难题
⑵给出下面四个关系:R,0.7Q,0{0},0N,其中正确的个数是:( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
⑶下面有四个命题:
①若-aΝ,则aΝ ②若aΝ,bΝ,则a+b的最小值是2
③集合N中最小元素是1 ④ x2+4=4x的解集可表示为{2,2}
⑶其中正确命题的个数是(
⑷由实数-a, a, ,2, -5为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别为什么?
⑸求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件?
⑹若{t},求t的值.
第二课时
一、集合的表示方法
⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；
说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；
⑵一般不必考虑元素之间的顺序；
⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；
⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；
⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。
⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为
例1．用列举法表示下列集合：
(1) 小于5的正奇数组成的集合；
(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；
(3) 从51到100的所有整数的集合；
(4) 小于10的所有自然数组成的集合；
(5) 方程的所有实数根组成的集合；
⑹ 由1~20以内的所有质数组成的集合。
⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。
方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
一般格式：
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，…；
说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。
辨析：这里的{ 　}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}也是错误的。
用符号描述法表示集合时应注意：
１、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？
２、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。
例2．用描述法表示下列集合：
(1) 由适合x2-x-2>0的所有解组成的集合;
(2) 到定点距离等于定长的点的集合;
(3) 方程的所有实数根组成的集合
(4) 由大于10小于20的所有整数组成的集合。
说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，
一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
练习：5页2题
　　　1．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数
2．集合A＝{x|∈Z，x∈N}，则它的元素是 。
3.已知集合A＝{x|-3合B用列举法表示是
　　　　４.判断下列两组集合是否相等？
　　　（1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}与B={正整数}
二、集合的分类
观察下列三个集合的元素个数
1. {4.8, 7.3, 3.1, -9};
2. {xR∣0

典型例题
【题型一】　元素与集合的关系
１、设集合A＝｛１，a,b｝,B=｛a,a２,ab｝,且A=B，求实数a，b.
２、已知集合A＝｛a+2，（a+1)２，a２+3a+3｝若1∈A,求实数a的值。
【题型二】　元素的特征
１、 ⑴已知集合M=｛x∈N∣∈Z｝,求M
　　　⑵已知集合C=｛∈Z∣x∈N｝,求C
点拔：要注意M与C的区别，集合M中的元素是自然数 x，满足是整数，集合
C是的元素是整数，满足条件是x∈N
练习：
１.给出下列四个关系式：①∈R；②πQ；③0∈N；④0其中正确的个数是( )
　　 A.1 B.2 C.3 D.4
２.方程组　　　　　　的解组成的集合是( )

A.｛2,1｝ B.｛-1,2｝ C.（2,1） D.｛（2,1）｝
3. 把集合｛-3≤x≤3,x∈N｝用列举法表示，正确的是( )
　　 A.｛3,2,1｝ B.｛3,2,1,0｝ C.｛-2,-1,0,1,2｝D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝
4.下列说法正确的是( )
A.｛0｝是空集　B.　｛x∈Q∣∈Z｝是有限集
C.｛x∈Q∣x2+x+2=0｝是空集 D.｛2,1｝与｛1,2｝是不同的集合
二填空题：
５、 以实数为元素构成的集合的元素最多有　　个；
６、 以实数a２，2-a.,4为元素组成一个集合A，A中含有２个元素，则的a值为 .
７、集合M=｛y∈Z∣y=,x∈Z｝,用列举法表示是M＝　　　　　　　。
８、已知集合A＝｛2a,a2-a｝，则a的取值范围是　　　　　　　。
三、解答题：
　　９、设A＝｛x∣x2+(b+2)x+b+1=0,b∈R｝求A的所有元素之和。
　10.已知集合A＝｛a,2b-1,a+2b｝B=｛x∣x3-11x2+30x=0｝,若A=B，求a,b的值。

1.1.2 集合间的基本关系
比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：
（1），；
（2），；
（3），
观察可得：
⒈子集：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这 两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。
记作： 读作：A包含于B，或B包含A

B
A
表示：
当集合A不包含于集合B时，记作A⊈B(或B⊉A)
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

⒉集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B
中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若，则。
如：A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，nZ}，此时有A=B。
⒊真子集定义：若集合，但存在元素，则称集合A是集合B的真子集。
记作：A B（或B A） 读作：A真包含于B（或B真包含A）
4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：
用适当的符号填空：
； 0 ； {}； {}
5.几个重要的结论：
⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有A。
⑵空集是任何非空集合的真子集；
⑶任何一个集合是它本身的子集；
⑷对于集合A，B，C，如果，且，那么。
练习：填空：
⑴2 N； N； A;
⑵已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则
A B； A C； {2} C； 2 C

说明：
⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；
⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。
⑶结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，
特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。

（二）例题讲解：
【题型１】集合的子集问题
１、 写出集合｛a,b,c｝的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。
２、 已知集合M满足｛2,3｝M｛1,2,3,4,5｝求满足条件的集合M
３、 已知集合A＝｛x|x2-2x-3=0｝,B=｛x|ax=1｝若BA，则实数a的值构成的集合是（　）
A. ｛-1,0,｝ B.｛-1,0｝ C.｛-1,｝ D.｛,0｝
4.设集合A=｛２，８，a｝B=｛2,a2-3a+4｝且BA，求a的值。

5.已知集合且，
求实数m的取值范围。 （）
练习：

1、判断下列集合的关系.
(1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q;
(5) A={x| (x-1)2=0}，B={y|y2-3y+2=0}; (6) A={1,3}，B={x|x2-3x+2=0};
(7) A={-1,1}，B={x|x2-1=0}; （8）A={x|x是两条边相等的三角形}，B={x|x是等腰三角形}。
2、设A={0，1}，B={x|xA}，问A与B什么关系？
3、判断下列说法是否正确？
（1）NZQR； （2）AA； （3）{圆内接梯形}{等腰梯形}；
（4）NZ； （5）{}； （6）{}
4.有三个元素的集合A，B，已知A={2，x，y}，B={2x，2，2y}，且A=B，求x，y的值。
解答题：
1.已知集合，≥，且满足，求实数的取值范围。
2.已知三个元素集合A＝｛x,xy,x-y｝,B=｛0,∣x∣,y｝且A=B，求x与y的值。
1.1.3 集合间的基本运算（共1课时）
考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：
（1），；
（2），；
1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B
的并集，即A与B的所有部分，
记作A∪B， 读作：A并B 即A∪B={x|x∈A或x∈B}。
Venn图表示：

说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。
讨论：A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？
A∪A＝ , A∪Ф＝ , A∪B B∪A
A∪B＝A , A∪B＝B .
巩固练习（口答）：
①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝ ;
②．设A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝ ;
③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝ 。
2. 交集定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersection set），
记作：A∩B 读作：A交B 即：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
（阴影部分即为A与B的交集）

Venn图表示：

常见的五种交集的情况：
A
B
A(B)
B A
A B
B
A

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个
集合没有交集
讨论：A∩B与A、B、B∩A的关系？
A∩A＝ A∩＝ A∩B B∩A

A∩B＝A A∩B＝B
巩固练习（口答）：
①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝ ;
②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝ ;
③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∩B＝ 。
3.一些特殊结论
⑴若A,则A∩B=A； ⑵若B,则AB=A；
⑶若A，B两集合中，B=，,则A∩=, A=A。
【题型一】　并集与交集的运算
【例1】-1
1
2
3
设A={x|-1-2}，B={x|x<3},求A∩B。
-2
3
解：在数轴上作出A、B对应部分如图
A∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2当A∩B={２，３}时，求A∪B
解：∵∣a+1∣＝2 ∴a＝1或-3
当a＝1时，集合B的元素a2+2a＝3，2a+1＝3，
由集合的元素应具有互异性的要求可知a≠1.
当a＝-3时，集合B={-5，２，３}
∴A∪B={-5，２，３，5}
练：.已知｛3,4，m2-3m-1｝∩{２m，-３}=｛-3｝,则m＝　　　。

练习：
１. 设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，则A∩B＝　　　　　　　　　。
{x|x是等腰直角三角形}。
２设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A∪B＝　　　　　　　　　。
３设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，则A∪B＝　　　　　　　　。
4. 已知集合M＝{x|x-2<0},N={x|x+2>0},则M∩N等于　　　　　　　　。
４设A＝｛不大于20的质数｝，B＝{x|x＝2n+1,n∈N*}，用列举法写出集合A∩B＝　　　　　。
6.已知集合M＝{x|y=x2-1},N={y|y=x2-1},那么M∩N等于（　　）
　A.　B.N　C.M　D.R
7、 若集合A＝｛1，3，x｝,B=｛1,x2｝,A∪B＝｛1，3，x｝,则满足条件的实数x的个数有（）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

8. 满足条件M∪｛1｝＝｛1，2，3｝的集合M的个数是 。
9. 已知集合A＝｛x|-1≤x≤2｝,B=｛x|2a＜x＜a+3｝,且满足A∩B＝，则实数a的聚取值啊范
围是 。
集合的基本运算㈡
思考1． U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、
B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？
集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。
（一）. 全集、补集概念及性质：
⒈全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么
就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。
⒉补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集
合A相对于全集U的补集,
记作：，读作：A在U中的补集，即
Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）

说明：补集的概念必须要有全集的限制
讨论：集合A与之间有什么关系？→借助Venn图分析

巩固练习（口答）：
①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则= ，= ；
②．设U＝{x|x<8且x∈N}，A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则＝ ；
③．设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则＝ 。
【题型1】求补集
【例1】．设全集，
求，．
【例2】设全集，求，
，。

（结论：）
【例3】设全集U为R，，若
，求。（答案：）
【例4】设全集U＝｛x|-1≤x≤3｝,A=｛x|-1＜x＜3｝,B=｛x|x2-2x-3=0｝,求，并且判断和集合B的关系。
【题型1】集合的混合运算
已知全集为R，集合P=｛x|x＝a2+4a+1,a∈R｝,Q=｛y|y＝-b2+2b+3,b∈R｝求P∩Q和P∩。
（III）课堂练习：
⑴若S={2，3，4}，A={4，3}，则CSA={2} ；
⑵若S={三角形}，B={锐角三角形}，则CSB={直角三角形或钝角三角形} ；
⑶若S={1，2，4，8}，A=ø，则CSA= S ；
⑷若U={1，3，a2+2a+1}，A={1，3}，CUA={5}，则a= ；-1
⑸已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求B={1，4}；
⑹设全集U={2，3，m2+2m-3}，A={|m+1|，2}，CUA={5}，求m的值；（m= - 4或m=2）
⑺已知全集U={12，3，4}，A={x|x2-5x+m=0，x∈U}，求CUA、m；（答案：CUA={2，3}，m=4；CUA={1，4}，m=6）
⑻已知全集U=R,集合A={x|0
⑾设集合A={-1,1}, B={x|x2-2ax+b=0}, 若B, 且B, 求a, b的值

提高内容：
⑴已知X={x|x2+px+q=0，p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且，试
求p、q；
⑵集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若AB={-2，0，1}，求p、q；
⑶A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且AB ={3，7}，求B

22.某班举行数、理、化三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数。
集合中元素的个数
　　在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示集合A中元素的个数。例如：集合A={a,b,c}中有三个元素，我们记作card(A)=3.
结论:已知两个有限集合A，B，有：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).

例1 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？
解设A={田径运动会参赛的学生}，B={球类运动会参赛的学生}，
　　A∩B={两次运动会都参赛的学生},A∪B={所有参赛的学生}
　　因此card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=8+12-3=17.
答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.
　　１.在某校高一(5)班的学生中参加物理课外小组的有20人参加数学课外小 组的有25人，既参加数学课外小组又参加物理课外小组的有10人，既未参加物理课外小组又未参加数学课外小组的有15人，则 这个班的学生总人数是
　　　　A 70　 B. 55　 C. 50　 D. 无法确定
２. 给出下列命题： 给出下列命题：
　　 ① 若card(A)=card(B)，则A=B； ② 若card(A)=card(B)， 则card(A∩B)=card(A∪B) ,
　　 ③ 若A∩B=Φ 则card(A∪B)-card(A)=card(B) ④ 若A=Φ ，则card(A∩B)=card(A)
⑤ 若A B，则card(A∩B)=card(A) ， 其中正确的命题的序号是③④

高一数学必修1集合单元综合练习（Ⅰ）
一、填空题(本大题包括14小题；每小题5分，满分70分)
1、U＝｛1，2，3，4，5｝，若A∩B＝｛2｝，(CUA)∩B＝｛4｝，(CUA)∩(CUB)＝｛1，5｝，则下列结论正确的是 .Error! No bookmark name given.
①、3A且3B；②、3A且3B；
③、3A且3B；④、3A且3B。
2、设集合M=｛x｜－1≤x＜2｝，N=｛x｜x－k≤0｝，若M∩N≠，则k的取值范围是
3、已知全集I=｛x｜xR｝，集合A=｛x｜x≤1或x≥3｝，集合B=｛x｜k＜x＜k＋1，kR｝，且(CIA)∩B＝，则实数k的取值范围是
4、已知全集，，则为
5、设，集合，则
6、设集合M=，则M N。(选填、、、、＝、、)
7、设集合, , 则A∩B=
8、设和是两个集合，定义集合，如果，，那么等于
9、已知集合，．若，则实数的取值范围是
10、设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算为：A1A=Ab，其中k为I+j被4除的余数，I，j=0，1，2，3.满足关系式=(xx)A2=A0的x(x∈S)的个数为
11、集合，的取值范围是　　　　 　.
12、定义集合运算：.设,,则集合 的所有元素之和为
13、设集合N}的真子集的个数是
14、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人。
二、解答题(本大题包括6小题；满分90分)解答时要有答题过程！
15、(13分)已知全集U=，若A=，，求实数的a，b值。
16、(14分)若集合S=，且S∩T=，P=S∪T，求集合P的所有子集
17、(16分)已知集合A=，B={x|2填空题(本大题包括14小题；每小题5分，满分70分)
1、集合{a，b，c }的真子集共有 个
2、以下六个关系式：，，, , ， 是空集中，错误的个数是
3、若，，用列举法表示B
4、集合A={x| x2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若BA，则a=__________
5、设全集U=，A=，CUA=，则= ，= 。
6、集合，，____________.
7、已知集合A={x|}, 若A∩R=，则实数m的取值范围是
8、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人.
9、某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人.
10、设集合U={(x，y)|y=3x－1}，A={(x，y)|=3}，则CUA= .
11、集合M=｛y∣y= x2 +1，x∈ R｝，N=｛y∣ y=5- x2，x∈ R｝，则M∪N= ．
12、集合M={a| ∈N，且a∈Z}，用列举法表示集合M=｛ ｝
13、已知集合至多有一个元素，则的取值范围 ；若至少有一个元素，则的取值范围 。
14、已知集合至多有一个元
素，若至少有一个元素，则的取值范围 。
二、解答题(本大题包括6小题；满分90分)解答时要有答题过程！
15、(15分)已知集合A=
(1)若A是空集，求的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至多只有一个元素，求的取值范围。
16、(13分)已知全集U=R，集合A=
，试用列举法表示集合A。
17、(14分)设，其中，如果，求实数的取值范围。
18、(16分)已知集合，，
(1)若，求实数a的值；(2)若，求实数a的取值范围；
19、(14分)已知集合，B={x|2