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第一章 复数与复平面
第一节 复数及其几何表示

1、复数域
每个复数具有的形状，其中和，是虚数单位；和分别称为的实部和虚部，分别记作，。
复数和相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果，则可以看成一个实数；如果，那么称为一个虚数；如果，而，则称为一个纯虚数。
复数的四则运算定义为：

复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。
2、复平面：
C也可以看成平面，我们称为复平面。
作映射：，则在复数集与平面之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。
复数可以等同于平面中的向量，。向量的长度称为复数的模，定义为：；
向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：（）。
复数的共轭定义为：；
复数的三角表示定义为：；
复数加法的几何表示：
设、是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：
关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：
（1）、；（2）、；
（3）、；（4）、；
（5）、；（6）、；
例1 试用复数表示圆的方程：
（）
其中，a,b,c,d是实常数。
解：方程为 ，其中。
例2、设、是两个复数，证明

利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设、是两个非零复数，则有

则有

即，，其中后一个式子应理解为集合相等。
同理，对除法，有

即，，其后一个式子也应理解为集合相等。
例3、设、是两个复数，求证：

例4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点 a,b,c的圆的表示式。

解：直线：；圆：利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：

令，则

进一步，有

共有-个值。
例5、求的所有值。
解：由于，所以有

其中，。
3、复球面与无穷大：
在点坐标是 的三维空间中，把 xOy面看作就是面。考虑球面：取定球面上一点称为球极。我们可以建立一个复平面C到之间的一个1-1对应：

，，。
我们称上面的映射为球极射影。对应于球极射影为，我们引入一个新的非正常复数无穷远点，称为扩充复平面，记为。
关于，其实部、虚部、辐角无意义，模等于；基本运算为（为有限复数）：
；；
。
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