1、
与极限相关的一些概念
(一)、函数极限的分析定义
(二)、保序性
(三)、夹逼性
(四)、函数极限的两个充要条件
(五)、Heine 定理
(六)、Cauchy收敛原理
(七)、复合函数极限
(一)(a)、(有限)的分析定义：
自变量变化过程
的语言
(一)(b)、(有限)的分析定义：
自变量变化过程
(有限)的否定陈述
(一)(c)、的分析定义：
自变量变化过程
极限为
极限为
极限为
2、
,
,
,
,
,
(一)(d)、的分析定义：
自变量变化过程
(二) (a) 保序性: 已知, 则
自变量变化过程
条件
保序性结论
,
,
,
,
,
3、
(二) (b) 保序性:若.
自变量变化过程
条件
结论
若,
则
若,
则
若,
则
若,
则
若,
则
若,
则
注：当条件中增强为,也不能导出
(三) 夹逼性: 已知(有限, )
自变量变化
过程
条件
结论
若
则
若
则
若
则
若
则
若
则
若
则
注: 不可为
(四) 函数极限的两个充要条件
自变量变化过程
可以是有限数，或
(五) (a) Heine 定理： 以下可取有限,
自变量变化过程
4、
函数的极限形式
数列的极限形式
(五) (b) Heine 定理：
自变量变化过程
函数的极限形式
数列的极限形式
1
存在有限
收敛.
2
存在有限
收敛.
3
存在有限
收敛.
4
存在有限
收敛.
5
存在有限
收敛.
6
存在有限
收敛.
(五)(c) (有限)的数列描述形式
自变量变化过程
等价的数列形式
1
5、2
3
4
5
6
(五)(d) 的数列描述形式
自变量变化过程
1
2
3
4
5
6
(六)(a) 存在的Cauchy收敛原理
自变量
存在
Cauchy收敛原理的描述形式
1
存在
2
存在
3
存在
4
存在
6、
5
存在
6
存在
(六)(b) 存在的Cauchy收敛原理的否定形式
自变量
不存在
Cauchy收敛原理的否定形式
1
不存在
2
不存在
3
不存在
4
不存在
5
不存在
6
存在
(六)(c) 存在的Cauchy收敛原理的否定形式
自变量
不存在
Cauchy收敛原理否定形式的数列形式
1
不存在
2
7、
不存在
3
不存在
4
不存在
5
不存在
6
不存在
(七)(a) 复合函数的求极限法则: 结论1
自变量
条件
结论
1
(有限),在
连续
2
(有限),在
连续
3
(有限)，在
连续
4
(有限)，在
连续
5
(有限)，在
连续
6
(有限)，在
连续
以3为例加以证明：因为在连续, 故
8、 (1)
又因为(有限), 对于如上的
(2)
由(1)与(2)得：
即证毕.
(七)(b) 复合函数的求极限法则: 结论2
自变量
条件
结论
1
()，
(有限,)
2
()，
(有限,)
3
()，
(有限,)
4
()，
(有限,)
5
()，
(有限,)
6
()，
(有限,)
以3()中有限为例加以证明:
因为(有限),故
9、 (1)
又因为对(1)中的
(2)
由(1)与(2)有：
所以证毕.
(七)(c) 复合函数的求极限法则: 结论3
自变量
条件
结论
1
(有限)，当时，
，(有限,)
2
(有限)，当时，
，(有限,)
3
(有限)，当时，
，(有限,)
以1(即)中为例证明:
因为
(1)
又因为(有限)，对于如上的
结合当时,，上式即: (2)
于是由(1)与(2)得：
所以证毕.
(七)(d) 复合函数的求极限法则: 结论4
自变量
条件
结论
1
(有限)，，
(有限,)
2
(有限)，，(有限,)
3
(有限)， ，
(有限,)
以1(即)中为例证明:
因为
(1)
又因为(有限),对于如上的
结合，上式即: (2)
由(1)(2)可得:
所以证毕.
10
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