第3章 平衡问题：矢量89方法习题解答0806.doc

第三章 平衡问题：矢量方法 习题解答3-1讨论图示各平衡问题是静定的还是静不定的，若是静不定的试确定其静不定的次数。 题3.1图解：（1）以AB杆为对象，A为固定端约束，约束力有3个。如果DC杆是二力杆，则铰C处有1个约束力，这4个力组成平面一般力系，独立平衡方程有3个，所以是1次静不定；如果DC杆不是二力杆，则铰C和D处各有2个约束力，系统共有7个约束力，AB杆和DC杆上的约束力各组成平面一般力系，独立平衡方程共有6个，所以，是1次静不定。（2）AD梁上，固定铰链A处有2个约束力，辊轴铰链B、C和D各有1个约束力，共有5个约束力，这5个约束力组成平面一般力系，可以列出3个独立的平衡方程。所以，AD梁是2次静不定。（3）曲梁AB两端都是固定端约束，各有3个共6个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。所以是3次静不定。（4）刚架在A、B和C处都是固定端约束，各有3个共9个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。所以是6次静不定。（5）平面桁架在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该平面桁架的外力是静定的。平面桁架由21根杆组成，所以有21个未知轴力，加上3个支座反力，共有24个未知量。21根杆由10个铰链连接，每个铰链受到平面汇交力系作用。若以铰链为研究对象，可以列出210=20个平衡方程。所以，此平面桁架的内力是24-20=4次静不定。 （6）整体在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该系统的外力是静定的。除了3个约束外力外，3根杆的轴力也是未知的，共有6个未知量。AB梁可以列出3个平衡方程，连接3根杆的铰链可以列出2个平衡方程，共有5个方程，所以，该系统的内力是1次静不定。3-2炼钢炉的送料机由跑车A与可移动的桥B组成，如图示。跑车可沿桥上的轨道运动，两轮间距离为2米，跑车与操作架、手臂OC以及料斗相连，料斗每次装载物料重W=15kN，平臂长OC=5m。设跑车A、操作架和所有附件总重量为P，作用于操作架的轴线。试问P至少应多大才能使料斗在满载时不致翻倒？题32图解：以送料机为研究对象，受力图如图示。满载时不致翻倒的临界状态是。列平衡方程：，解得所以，当时，才能使料斗在满载时不致翻倒。3-3梁AB用三根杆支承，如图示。已知，。试求三杆的约束力。题3-3图(a) 解：以AB以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程 ， , . , .（b）解：以AB以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程题3-3图， ， 解得：； ，题3-4图 解得：。3-4试求图示多跨梁的支座反力。已知（a），；（b），。(a) 解：（1）先取BC梁为对象，画受力图，列平衡方程， ； ， ，（2）再取AB梁为对象，画受力图，列平衡方程 ， ， ， ; , , .b) 解：（1）先取CD梁为对象，画受力图，列平衡方程:题3-4图 , , ; , ，（2）再取AC梁为对象，画受力图，列平衡方程:, , . ., .3-5梁的支承及载荷如图示。已知：，。试求支座的约束力。题3-5图（a）解：（1）先取CD梁为对象，画受力图，列平衡方程: ， 。 ，。 。2）再取AC梁为对象，画受力图，列平衡方程: ， 。 ，。 ， 。（b）解：（1）取BC梁为对象，画受力图。因分布载荷呈三角形分布，B点处的载荷集度为q/2。列平衡方程:题3-5图， ， ， 。 ， （2）取AB梁为对象，画受力图。列平衡方程: ， .， , .， .3-6 图示构架中，重物W重1200 N，由细绳跨过滑轮E而水平地系于墙上，尺寸为：AD=BD=2 m，CD=DE=1.5 m。不计滑轮和杆的自重，求支座A和B处的约束力，以及杆BC的内力。题3-6图解：（1）以整体为研究对象，显然。列平衡方程：， 。 ， ， ， 。（2）以AB杆为研究对象。列平衡方程：， ，其中。解得。3-7一凳子由杆AB、BC和AD铰接而成，放在光滑的地面上，凳面上作用有力如图示。求铰链E处的约束力。题3-7图解：（1）取整体为研究对象。， ；（2）取AB杆为研究对象。， AB杆受力图 AD杆受力图 （3）取AD杆为研究对象。 ， 。， ，.3-8 图示构架由杆AB、CD、EF和滑轮以及绳索组成，H、G和E处为铰链，固结在杆EF上的销钉K放在杆CD的光滑槽内。已知物块M重P和水平力Q，尺寸如图示。若不计其余构件的自重和摩擦，求固定铰链支座A和C以及杆EF上销钉K的约束力。 题3-8图 受力图（1）解：（1）取整体为研究对象， ， ； ， 受力图（2） 受力图（3） ； 。（2）取EF杆连同轮为研究对象，显然。， ， .（3）取CD杆为研究对象， ；代入上面（1）中第3式，解得：。3-9 滑轮B与折杆AB和BC用铰链连接，如图示。设滑轮上绳的拉力P=500 N，不计各构件的自重，求各构件给销钉的力。 题3-9图 受力图（1）解：（1）取轮（不包括销钉）为对象， ， ；， ； ， ；轮对销钉的作用力是的反作用力。受力图（2）（2）取轮连同销钉为对象，折杆 AB和BC都是二力杆，列平衡方程：，其中，。解得。将数据代入，得：。3-10 由杆组成的结构如图示。A、B、C、E、G均为光滑铰链。已知F=20 kN, q=10kN/m,M=20 kN-m,a=2 m, 不计自重，求A和G处的约束力以及杆BE和CE的内力。 题3-10图 受力图（1）解：（1）取整体为研究对象， ， ， ； ，。受力图（2）（2）取GE杆为研究对象， ；将此代入（1）中第3式，得。，3-11构架由杆AB、AC和DF铰接而成，如图示。在杆DEF上作用一力偶矩为M的力偶。不计各杆的重量，求杆 AB上铰链A、D和B所受的力。题3-11图和杆件受力图解：（1）取整体为研究对象，支座反力必组成力偶。，；（2）取DF杆为研究对象，；（3）取AB杆为研究对象，。3-12构架由杆AB、AC和DF组成，如图示。杆DF上的销子E可在杆AC的光滑槽内滑动。在水平杆DF的一端作用铅直力F，不计各杆的重量，求杆 AB上铰链A、D和B所受的力。题3-12图和杆件受力图解：（1）取整体为研究对象， ；（2）取DF杆为研究对象， ；， ；， ；（3）取AB杆为研究对象， ；， ；，。3-13不计图示结构中各杆的重量，力F=40kN 。求铰链A、B和C处所受的力。题3-13图和杆件受力图解：（1）取DF杆为研究对象， ， （a）（2）取CA杆为研究对象， ， （b）由式（a）和（b）联立解得： ， ； ，。 ，代入数据，得：，。3-14在图示构架中，A、C、D和E处均为铰链连接，杆BD上的销子B置于AC杆的光滑槽内，力F=200 N ，力偶矩M=100N-m ，不计结构中各杆的重量，求A、B和C处所受的力。 题3-14受力图 受力图（1）解：（1）取整体为研究对象， 。 （2）取BD杆为研究对象， ， 受力图(2) 受力图（3） ；（3）取AC杆为研究对象， ， ；， ；， 。3-15用图示三角架ABCD和绞车E从矿井中吊起重G=30kN的重物，ABC为等边三角形，三角架的三只脚和绳索DE均与水平面成60角，不计三角架的重量，求当重物被匀速吊起时各脚所受的力。题3-15图及其构件的受力图解：取滑轮和重物连同杆的一部分为研究对象，受力图及其在水平面的投影如图示，显然有：，。因三角架的三只脚和绳索DE均与水平面成60角，有， ； （a），； （b） ， ； （c）由式（a）、（b）和（c）解得：.3-16 重物M放在光滑的斜面上，用沿斜面的绳AM和BM拉住。已知物重W=1000 N, 斜面的倾角，绳与铅垂面的夹角分别为和。如果物体的尺寸忽略不计，求重物对于斜面的压力和两绳的拉力。 题3-16图 重物的受力图解：取重物M为研究对象，画受力图，建立M-xyz直角坐标系，其中xy沿斜面，z轴与斜面垂直。， ；，解得：,将数据代入得，。3-17 图示一空间桁架，由六根杆组成。一力P=10 kN ，作用于节点A，此力在ABNDC铅垂面内，且与铅垂线CA成45角。EAK和FBM相等，皆为铅垂等腰直角三角形，并与ABNDC直交，其余见图示。求各杆的内力。题3-17图解：（1）取节点A为研究对象， ；， ；节点的受力图， ， 。（2）取节点B为研究对象， ， ； ， ； ，。代入数据得：，。3-18三脚圆桌的半径r=50 cm，重为G=600 N，圆桌的三脚A、B和C形成一等边三角形。如在中线CO上距圆心为的点M处作用一铅垂力P=1500 N，求使圆桌不致翻倒的最大距离。题3-18图 圆桌受力图解：取三脚圆桌为研究对象，圆桌不致翻倒的条件：， ，代入数据，得使圆桌不致翻倒的最大距离为。3-19 手摇钻由支点B、钻头A和一个弯曲的手柄组成。当支点B处加压力和，以及手柄上加力后，即可带动钻头绕轴AB转动而钻空。已知：，求：（1）钻头受到的阻抗力偶矩M；（2）材料对钻头的约束力的值；（3）力的值。题3-19图 摇钻受力图解:取手摇钻为研究对象, 钻头在A点受到阻碍其移动的约束力和阻碍其绕z轴转动的约束力偶作用,受力图如图示., , ;, , ; , , . , , . , , . , , 题3-20图 水平轴连同齿轮及带轮受力图3-20 图示水平轴AB作匀速转动，其上装有齿轮C及带轮D，齿轮直径为240mm。已知胶带紧边的拉力为200 N，松边的拉力为100 N，尺寸如图示。求啮合力F及轴承A和B处的约束力。解: 取水平轴连同齿轮及带轮为研究对象, ， ；， ； ， ，； ， ， 。3-21一端有绳子拉住的重100 N的物体A置于重200 N的物体B上如图示，B置于水平面上并作用一水平力F。若各接触面的静摩擦因数均为0.35,试求B即将向右运动时力F的大小。题3-21图 物体A和B的受力图解：根据题意，设物体系统处于临界平衡状态，此时各接触面间的摩擦力均达到最大值。（1） 取物体A为研究对象， ， ， ， ， 补充方程：。解得： ，。（2）取物体B为研究对象， ， ， ； ， ， 补充方程：。解得：。代入数据得，。3-22 重物A与B用一不计重量的连杆铰接后放置如图示。已知B重1 kN ，A与水平面、B与斜面间的摩擦角均为15。不计铰链中的摩擦力，求平衡时A的最小重量。 题3-22图 物体A和B的受力图解：根据题意，此时物体系统处于临界平衡状态，各接触面间的摩擦力均达到最大值。（1） 取重物B为研究对象， ， 补充方程：， 其中.解得：。代入数据得：。（2） 取重物A为研究对象， ， ， ， ， 补充方程： ，解得：。将数据代入，得：。3-23利用劈尖原理升高重物的装置如图示。设重物重20 kN ，各接触面间的摩擦角均为12，不计劈尖的重量，计算图示情况升高重物所需的最小水平力F。题3-23图 物体A和B的受力图解：当重物有上升趋势时，劈尖B有向右运动趋势。各接触面间的摩擦力都达到最大值。（1） 取重物连同劈尖A为研究对象，题3-24图 制动轮和手柄的受力图， ， ，解得：，即 。（2）取劈尖B为研究对象， ， ， 解得： 。 代入数据，得：。3-24起重绞车的制动装置由带动制动块的手柄和制动轮组成。已知制动轮半径R=50cm，鼓轮半径r=30 cm，制动轮与制动块间的摩擦因数，被提升的重物重G=1000 N ，手柄长，不计手柄和制动轮的重量，求能够制动所需。解：当力F为最小值时，制动轮有逆时针转动趋势，触面间的摩擦力达到最大值。（1）取制动轮为研究对象，, ,摩擦定律：。(2) 取手柄连同制动块为研究对象， ， 代入数据，得：。3-25砖夹的宽度为250 mm，曲杆AGB与GCED在G点铰接，尺寸如图所示。设砖重P=120 N，提起砖的力F作用在砖夹的中线上，砖夹与砖间的摩擦因数。求距离d为多大时才能把砖夹起。题3-25图 受力图（1） 受力图（2）解：当距离d取最大值时，系统处于临界平衡状态，此时，全反力与正压力之间的夹角为摩擦角。（1）折杆GCED为研究对象，此折杆为二力构件，其约束力一定沿着GD连线。因此，平衡条件为：，即， .(2)取图示折杆AGB连同折杆GCED为研究对象，由三力平衡汇交定理知，A处全反力必与D处全反力对称地交于一点。因此，当D处不滑动时A处必也不滑动。 题3-26图 受力图（1） 受力图（2）3-26图示重100 N、高H=20 cm、底面直径d=10 cm的正圆锥体放在斜面上。静摩擦因数，质心C的位置h=H/4。求锥体在斜面上保持静止时作用于圆锥顶点的水平力的大小。解：取圆锥体为研究对象。（1）设力较小，圆锥体有下滑或逆时针翻倒趋势。， ； ，解得： ；其中为斜面倾角。最大静滑动摩擦力 。 不滑动条件：。 解得：，其中为摩擦角。 ，.代入数据，得：，所以，圆锥在滑动临界状态时不会翻倒。的下限要求 。（2）设力较大，圆锥体有上滑或顺时针翻倒趋势。 ， ， ， ； 最大静滑动摩擦力 。不滑动条件：。解得：。，.代入数据，得：。因此，在没有达到滑动临界状态时，圆锥已经。不翻倒的条件是，即 由此得，代入数据，得。综上分析，的取值范围为 。3-27攀登电线杆的脚套钩如图示。设电线杆的直径d=300 mm，A和B之间的的垂直距离b=-100 mm。若套钩与电线杆之间的摩擦因数。求工人操作时，为了安全，站在套钩上的最最小距离应为多大。题3-27图 套购的受力图解：取套钩为研究对象，在平衡状态下，A和B点处的全反力作用线的交点只可能落在图示阴影区域内，按三力平衡汇交定理，第三个力的作用线必须穿过这个阴影区域，最最小距离是过C点。由几何关系得 ， 解得 。实际设计时，考虑到安全因素，须 ，代入数据，得。 题3-28图 门的受力图3-28不计自重的拉门与上下滑道之间的静摩擦因数为，门高为h。若在门上2 h /3处用水平力F拉门而不致被卡住，求门宽b的最小值。问门的自重对不被卡住的门宽最小值有否影响？解：取门为研究对象，当门太窄时，在水平力作用下门有顺时针的角位移，使门的A和E点与门的上下滑道接触，设门处于滑动的临界平衡状态，受力图如图示， ， 补充方程：，。以上5个方程联立，解得：。由于门被卡住时平衡已与力的大小无关，令，导出门不被卡住时的门宽b的最小值，此时与门重无关。3-29一半径为R、重为P1的轮静止在水平面上，如图示。在轮上半径为r的轴上绕有细绳，此绳跨过滑轮A，在端部系一重为P2的物体。绳的AB部分与铅直线成角。求轮与水平面接触点C处的滚阻力偶矩、滑动摩擦力和法向反力。 题3-29图 轮的受力图解：取轮为研究对象，。列平衡方程：， 滑动摩擦力：；， 法向反力： ；，滚阻力偶矩：。3-30钢管车间的钢管运转台架，钢管依靠自重缓慢无滑动地滚下，钢管直径50mm。设钢管与台架间的滚阻系数。试决定台架的最小倾角的大小。 题3-30图 钢管的受力图解：取钢管为研究对象，设钢管重为G，且钢管处于临界滚动状态， ；， 在临界滚动状态，滚动摩阻力偶达到最大值。其中，。将代入，得，代入数据，。3-31汽车P=15 KN， 车轮的直径为600 mm，轮自重不计。问发动机应给予后轮多大的力偶矩，方能使前轮越过高为80 mm的阻碍物？并问此时后轮与地面的静摩擦因数应为多大才不致打滑？ 题3-31图和汽车的受力图解：（1）取汽车为研究对象。设汽车处于将要翻过阻碍物的临界平衡状态，此时，前轮恰好与地面脱离，后轮的滑动摩擦力取最大值。，其中，。（2）取车身为研究对象，设为驱动力偶。 ，。 （b）（3）取车轮B为研究对象， ， ， （c）， ， （d）补充方程： ， （e）将方程（a）（e）联立，解得：。即，发动机应给予后轮的力偶矩为，此时后轮与地面的静摩擦因数须。3-32试指出图示桁架中的零杆。题3-32图 节点A、B、C解：对节点进行受力分析，可以判断出零杆，研究对象零杆号研究对象零杆号节点A1、4节点D13节点B7整体14节点C9节点E11 题3-33图和整体和截面的受力图3-33计算图示桁架中标号的各杆的内力。各垂直载荷的大小均为F，已知：，。解：（1）取整体为研究对象， 。（2） 取图示截面为研究对象， ， ， 。 ，。 ， 。其中，。代入数据，得： 。3-34试指出图示桁架中的零杆，并求出AB杆的内力。题3-34图和受力图解：（1）由节点的受力分析知，零杆为1、2、3、4号杆。（2）取整体为研究对象， ， ；（3） 取桁架的左半部（去掉零杆）为对象， ， ； （a）（4） 取节点G为对象， ，； （b）（5）取三角形BHI为对象， ， ， （c）联立方程（a）（c），解得。3-35平面悬臂桁架受力如图示。求杆1、2和3的内力。 题3-35图和截面受力图解：(1)取截面右半部分为研究对象， ；（拉）（2）取截面右半部分为研究对象， ；（3） 取节点E为研究对象，其中， 。解得3-36平面桁架受力如图示。ABC为等边三角形，且AD=DB。求杆CD的内力。题3-34图和截面受力图解：（1）取整体为研究对象， ；（2） 取三角形ADE为研究对象， ， ；（3） 取节点C为研究对象， ；，解得：。19