Morgenstern 、Price 法.doc

Morgenstern－Price 法
Morgenstern 、Price首先对任意曲线形状的滑裂面进行了分析，见图9.4.1，导出了满足力的平衡及力矩平衡条件的微分方程式，然后假定两相邻土条法向条间力和切向条间力之间存在对水平方向坐标的函数关系，根据整个滑动土体的边界条件求出问题的解答。

Morgenstern-Price法 坡面和土条、条间力分析图

1 条间力作用分析
如图图9.4.1 表示一任意形状的土坡，其坡面线、侧向孔隙水应力和有效应力的推力线及滑裂线分别以函数、、及表示。如图9.4.1（b）为其中任一微分dx土条，其上作用有重力dW，土条底面的有效法向反力dN’及切向阻力dT，土条两侧的有效法向条间力E’、E’+dE’及切向条间力X、X+dX。U及U+dU为作用于土条两侧的孔隙水应力，dUs则为作用于土条底部的孔隙水应力。
2.土条受力平衡方程形式
对微分土条的底部中点（dT、dN’合力作用点）取力矩平衡，则

(9.4.1)
将上式略去高阶微量，并且认为dUs的作用点与dT、dN′的作用点重合（取g=0），整理化简，得到每一土条满足力矩平衡的微分方程式
（9.4.2）
再取土条底部法线方向力的平衡，得
(9.4.3)
取平行土条底部方向力的平衡，可得
(9.4.4)
又根据安全系数的定义及摩尔—库伦准则
（9.4.5）
同时引用关于孔隙应力比的定义（），得
(9.4.6)
综合以上各式，消去dT及dN′，得到每一土条满足力的平衡的微分方程为

（9.4.7）

一般来说，由坡体边界y=z(x)、y=h(x)是已知的，滑裂面y=y(x)由我们选定，也为已知的，在两个基本微分方程中的、及都可以求出，同时土质指标、及孔隙压力比ru也是给定的。因此，要求的未知量就剩下E′、X及函数
y=y′t(x)，还有安全系数Fs。
3.计算简化和假定条件
为了简化方程，以土条侧面总的法向力E来代替有效法向力E′，则有
E=E′+U (9.4.8)
其作用点位置yt可用式（9.4.9）求出，即
Eyt=E′y′t +Uh （9.4.9）
同时因为E和X之间必定存在着一个对x的函数关系
X=λf（x）E （9.4.10）
式中，λ为任意选择的一个常数。
对每一土条来说，由于dx可以取得很小，使y=z(x)、y=h(x)及y=y(x)在土条范围内近似为一直线，同样，函数f（x）在每一土条范围内也可以取作直线。因此，在每一土条内有
y=Ax+B (9.4.11)

及 f=kx+m
式中，A、B、p、q、k及m均为任意常数，可通过几何条件及所选f(x)的类型来确定。
经过以上各式式的处理基本微分方程式（9.4.2）简化为
X= （9.4.12）
而式（9.4.7）简化为
（9.4.13）
式中
(9.4.14)
(9.4.15)
(9.4.16)
(9.4.17)
现在取土条两侧的边界条件为
(x=xi)
(x=xi+1) (9.4.18)
对方程式（9.4.13）从xi到xi+1进行积分，可以求得
（9.4.19）
这样就可以从上到下，逐条求出法向条间力E来，然后根据式（9.4.10）求出切向条间力X。当滑动土体外部没有其他个力作用时，对最后一土条必须满足条件
En=0 （9.4.20）
同时，土条侧面的力矩可以用微分方程式（9.4.5）积分求出，即
（9.4.21）
最后也必须满足条件
（9.4.22）
此时，各条间力合力作用点位置yt可由式（9.4.21）求出。
因此，为了找到能够满足所有平衡方程的λ及Fs值，我们可以先假定一个λ及Fs，然后逐条积分得到En及Mn，如果不为零，再用一个有规律的迭代步骤不断修正λ及Fs，直到式（9.4.20）及式（9.4.22）得到满足为止。
4.条间侧向力作用假定函数f(x)
条间力的侧向法线力E在简化计算条件时，涉及函数f(x)如何选择的问题，见式（9.4.10），它们可以利用弹性理论的解答加以算出，也可以在直观假设的基础上指定。根据Morgentern等人的研究，对于接近圆弧的滑裂面，安全系数对内力分布的反应是很不灵敏的，往往取完全不同的f(x)，得到的安全系数却相当接近。
当然，用本法求出的条间力也必须符合合理性控制条件（土条分界面上抗剪安全系数Fu≥Fs及不存在拉力），如果这两个得条件不到满足，可以通过修改f(x)来加以调整。如果取f(x)为一常数，更特殊一些取f(x)=0，则相当于Bishop法。因而，可以这样说，Morgenstern、Price法是对土坡稳定进行极限平衡分析计算的条分法较为普遍的一般方法。