1、第三节 Taylor中值定理
Taylor（1685-1731，英国）
18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在1712年当选为英国皇家学会会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即1714年）出任英国皇家学会秘书，四年后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。最后在1731年12月29日于伦敦逝世。
泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家 、天
2、文学家）信中首先提出的著名定理－－泰勒定理：式内v为独立变量的增量， 及 为流数。他假定z随时间均匀变化，则 为常数。上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成的，当x=0时便称作麦克劳林定理。1772年 ，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨， 这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。
泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程
3、导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。
1715年，他出版了另一名著《线性透视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719）。他以极严密之形式展开其线性透 视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用“没影点”概念， 这对摄影测量制图学之发展有一定影响。另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。
一、引入
常用近似公式，充分小），将复杂函数用简单的一次多项式函数来近似表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还比较粗糙。尤其当较大时。
上述近似表达式至少可以在如下两个方面进行
4、改进：
1、提高近似程度，其可能的办法是提高多项式的次数；
2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则会让使用者“心中不安”。
将上述思想进一步数学化：
对复杂函数，想找多项式函数近似表示它。当然我们希望尽可能多的反映出的性态，如：
（1）在某点处的函数值与导数值；
（2）形式如何确定；
（3）与的误差
二、做法
1、多项式函数的构造形式
设函数在含点的某邻域内具有直到阶的导数，所求的多项式为
……..（1）
其中都是待定常数。为了使与在含点的某邻域内尽可能地接近，要
5、求，，，…., .
由于，
，
，
……
，
于是按要求，，，
…,所以有
（2）
（2）式称为在点的Taylor多项式。
2、Taylor中值定理（Taylor公式）
设函数在含点的某邻域内具有直到阶的导数，则对内任一异于点的点，都有
，
其中，介于和之间。称为Lagrange型余项。若令，则，。
证明：记和反复应用柯西中值定理。
关于Taylor中值定理的几点说明：
（1）有时不需要明确的表达式，只用
表示，称为Peano余项。
（2）当时，Taylor中值定理即为Lagrange中值定理。
（3
6、时，Taylor公式称为Maclaurin(1698-
1746)公式。
（4）Taylor公式中Lagrange型余项内含的既和有关，也和有关。
（5）带Lagrange型余项的Taylor公式要求有阶导数，而带Peano型余项的Taylor公式仅要求有阶导数即可。
（6）若，则余项估计式为
可用于分析精确度，求函数展开项数等。
三、基本初等函数的Maclaurin公式
1、，；
2、
3、
4、
5、
四、Taylor中值定理的应用
题型一、求在某点的展开式
例1、按的幂展开多项式。
例2、求的阶Maclaurin公式。
题型二、利用Taylor公式或Maclaurin公式求极限
例3、求极限
例4、
例5、
例6、
例7、
例8、求的值，使是的高阶无穷小。
题型三、利用Taylor公式证明等式
例9、设在上连续，在内有二阶连续导数，证明：至少存在一点，使
。
例10、设在上具三阶连续导数，且，，证明：至少存在一点，使。
例11、设
，，且，证明
题型四、利用Taylor公式证明不等式
例12、设在区间内存在，且，证明：对有。
例13、设在上具二阶连续导数，且，，。证明：对一切，有。
例14、设在上具二阶导数，且满足，，其中都是非负常数，对任意，证明：。
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