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专题一 排列与组合应用题

一、 知识提要
1. 排列与组合应用题，是高考的常见题型，且与后面学习的古典概型问题联系密切。高考中重点考查有附加条件的应用问题，解决的方法主要从以下三个方面考虑：(1)以元素为主，特殊元素优先考虑 （2）以位置为主，特殊位置优先考虑 （3）间接法：暂不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合条件的情况。
2. 排列组合综合问题一般思路：先组合后排列，即先选元素后排列，同时注意按性质分类或按时间的发生过程分步。
3. 解决首先纸条的排列、组合问题的一般策略有：
（1） 特殊元素优先考虑安排的策略；
（2） 正难则反，等价转化的策略；
（3） 相邻问题捆绑处理策略；
（4） 不相邻问题插空处理策略；
（5） 定序问题、平均分组问题除法策略；
（6） “小集团”排列问题宪政体后局部策略；
（7） 分排问题直排处理策略；
（8） 构造模型的策略。

二、 典型问题

（一） 排队问题
例1. 4男3女坐在一排，分别求下列各种排法的种数
（1） 某人必须在中间
（2） 某两人必须站在两端
（3） 某人不在中间和两端
（4） 甲不在最左端且乙不能在最左端
（5） 甲乙两人必须相邻
（6） 甲乙两人不能相邻
（7） 甲乙两人必须相隔1人
（8） 4男必须相邻，3女也必须相邻
（9） 3女不能相邻
10） 甲必须在乙的左边
（11） 4男不等高，按高矮顺序排列

点评：排队问题中常分为“在和不在”、“邻与不邻”、“顺序固定”等问题。

变式练习：
1、四个人参加一次聚会，若任意两人不同是到场，则甲比乙先到的情况有＿＿种，若甲乙丙三人中甲先到，其次是乙，丙最后到的情况有＿＿＿种。
2、三名男歌手，两名女歌手联合举行一场音乐会，演出的出场顺寻要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，不同的出场顺序有＿＿＿种。
3、有6名同学参加了演讲比赛，决出了第一至第六的名次，评委告诉甲，乙两位同学“你们都没有拿到冠军，但甲不是最差”则这6名同学的排名顺序有＿＿＿种。

（二） 分组问题1．　弄清是否为平均分租，若是平均分组，则需用除法策略
　　　　　　　２．分组后是否需分配，若分配则需要排列．（先分组在排列）

例２．六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？
（１） 分成三堆，一堆一本，一堆二本，一堆三本。
（２） 平均分成三堆，每堆２本。
（３） 分给甲、乙、丙３人，一人一本，一人二本，一人三本。
（４） 平均分给甲乙丙三人，每人２本。
（５） 分给甲乙丙三人，每人至少１本。

（三） 放球问题
例３．将四个编号为１、２、３、４的小球放入４个编号为１、２、３、４的盒子中。
（１） 有多少种放法？
（２） 每盒至少一球，有多少种放法？

（３） 恰好有一个空盒，有多少种放法？
（４） 每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与合资的编号相同，有多少种放法？
（５） 把４个不同的球改成４个相同的球，恰有一个空盒，有多少种放法？
（６） 把４个不同的球改成２０个相同的球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？

解析：（１）
（２）为全排列问题，共有＝２４种方法
（３）先将４个球分成三组，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子

（４）１个球的编号与盒子编号相同的选法有种，当１个球与１个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余３个球的投放方法有２种，故共有＝８（种）
（5） 先从四个盒子中选出3个盒子，再从3个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下的两个盒子各放一个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有=12（种）放法。
（6）（隔板法）先将编号1、2、3、4的4个盒子分别放入0、1、2、3、个球，再把剩下的14个球分成四组，即在14个球的中间13个空挡种放入三块隔板，共有=286种。
例4．（1）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻的2人之间至少有2个空位，共有几种不同的坐法？
（2）一个长椅上共有7个座位，4人坐，要求3个空位中恰有2个空位相邻，有多少种不同的坐法？
注意：空位是相同的元素，无顺序的。

解析：（1）先将3人（用表示）与4张空椅子（用表示）排列如图，这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子分为两类，（一）分开插入如图中箭头所示，从4个空挡中选出2个插入，有种插法，（二）是2张绑在一起同时插入，有种插法。再考虑3人可交换有种方法。共有=60（种）
（2）（插空法）
〔点评〕解决组合应用题的总体思路是：
（1）整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空寂，以保证分步的不重复。
（2）局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步步连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复。
（3）辩证地看待“元素”与“位置”。元素和位置是解题者视具体情况而定的，比如有时把人看做“位置”，而作为看做“元素”，问题更容易解决。
（4）注意要理解题设中的“有且仅有”、“至多”、“至少”、“全是”、“都不是”、“不都是”等词语的确切含义，常用逆向思维、等价转化、“间接法”等思想方法。

(四)抽样问题
例5. 某班有40名学生，其中正、副班长各一名，现派5名学生完成一项工作。
（１） 共有多少种不同的选法？
（２） 正、副班长都必须参加，有多少种选法？
（３） 正、副班长只有一人参加，有多少种选法？
（４） 正、副班长最多有一人参加，有多少种选法？
（５） 正、副班长至少有一人参加，有多少种选法？
（６） 正、副班长不都参加，有多少种选法？

若上题中选出五人分别完成不同的5项任务，结果如何？

（五） 涂色问题：先选色，在排列。

例6（1）某城市中心广场建造一个花圃，花圃分6个部分，如图示，现在栽种四种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同色的花，不同的栽种方法有＿＿＿种。

（2）椭圆的长短轴把椭圆分成了4块，现用5种不同的颜色改4块涂色，要求共边的两块颜色互异，每块只涂一色，共有多少种涂法？

（六）组数问题
例7 用数字0、1、2、3、4、5组成一下数字，分别求可组成的数字的个数。
１） 四位数
（２） 无重复数字的四位数
（３） 无重复数字的四位偶数
（４） 无重复数字且能被5整除的四位数
（５） 无重复数字且能被3整除的四位数
（６） 无重复数字且能被6整除的四位数
（７） 将组成的无重复数字的四位数由小到大排列，问第85个数是多少
（８） 比3405小的数有几个？

跟踪练习：
1.（2010全国卷2文数）（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种
2. （2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种
3.（2010重庆文数）（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有
（A）30种 （B）36种
（C）42种 （D）48种
4.（2010重庆理数）(9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有
A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种
5.（2010北京理数）（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
（A） （B） （C） （D

6.（2010四川理数）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144

7.（2010天津理数）(10) 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用
（A）288种 （B）264种 （C）240种 （D）168种
【答案】D
8.（2010全国卷1理数）(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有
(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

9.（2010四川文数）（9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是
（A）36 （B）32 （C）28 （D）24

10.（2010浙江理数）（17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有_________种（用数字作答）.
11.（2010江西理数）14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。
12.. （2010全国卷1文数）(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)

参考答案
1.【解析】B：本题考查了排列组合的知识
∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有，余下放入最后一个信封，∴共有

2. 【答案】B
命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.
【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.
3. 解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法
即=42
法二：分两类
甲、乙同组，则只能排在15日，有=6种排法
甲、乙不同组，有=36种排法，故共有42种方法
4. 解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有种方法
甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有种方法
故共有1008种不同的排法
5.答案：
6. 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法
①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3＝24个
②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3＝12个
算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个
答案：C
7. 【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题。
（1） B,D,E,F用四种颜色，则有种涂色方法；
（2） B,D,E,F用三种颜色，则有种涂色方法；
（3） B,D,E,F用两种颜色，则有种涂色方法；
所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法。
8.
9. 解析：如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×＝24种
如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，3×＝12种
共计12＋24＝36种
答案：A
10. 解析：本题主要考察了排列与组合的相关知识点，突出对分类讨论思想和数学思维能力的考察，属较难题
11. 【答案】 1080
【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应用知识的意识。先分组，考虑到有2个是平均分组，得，再全排列得：

12. A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.
【解析1】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有种不同的选法.所以不同的选法共有+种.
【解析2】: