(试题3)3.1直线的倾斜角与斜率.doc

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3.2 直线的方程

第1题. 直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线．
答案：解：直线经过点，斜率，代入点斜式方程得．
画图时，只需再找出直线上的另一点，
例如，取，得的坐标为，过的直线即为所求．

-1
-2
1
2

第2题. 已知直线，，试讨论：
（1）的条件是什么？
（2）的条件是什么？
答案：解：（1）若，则，此时，与轴的交点不同，即；
反之，，且时，．
（2）若，则；反之，时，．
于是我们得到，对于直线，，，
且；．

第3题. 已知直线的点斜式方程是那么此直线的斜率是　　　　，倾斜角是　　　　．

答案：，．

第4题. 已知直线的方程是，
（1）当时，直线的斜率是多少？当时呢？
（2）系数，，取什么值时，方程表示通过原点的直线？

答案：（1）当时，直线的斜率是；
当时，直线的斜率不存在．
（2）当，，不全是零时，方程
表示的直线经过原点．

第5题. 已知点，，求线段的垂直平分线的方程．
答案：解：已知两点，，则线段的中点坐标是．
因为直线的斜率为，所以，线段的垂直平分线的斜率是．
因此，线段的垂直平分线的方程是．即．

第6题. 菱形的两条对角线分别位于轴和轴上，其长度分别为8和6，求菱形各边所在直线的方程．

答案：解：由已知，，，，．
边所在直线的方程是，即；
边所在直线方程是，即；
边所在的直线方程是即；
边所在的直线方程是，即．

第7题. 设点在直线上，求证这条直线的方程可以写成．

答案：证明：由已知，点在直线上，所以有．
于是，即．

第8题. 已知直线，的方程分别是（，不同时为零），（，不同时为零），且，求证．

答案：由，
（1）设，有直线的斜率，直线的斜率，
且，所以，．
（2）设，
不妨设，，则有，则直线的方程化为，平行于轴．
又，则，直线的方程化为，平行于轴，显然．
若，且．又因为，，中必有一个是０，这与，不同时为，，不同时为矛盾．

第9题. 若直线沿轴向左平移3个单位，再沿轴向上平移1个单位后，回到原来的位置，试求直线的斜率．

答案：解：显然，直线不垂直于轴．设直线的方程为，直线向左平移3个单位，再沿轴向上平移1个单位后成为直线．
．因为与是同一条直线，所以有．
解得． 所以，所求直线的斜率为．

第10题. 等腰的顶点为，又的斜率为，，求，及的平分线所在直线的方程．
答案：解：如图由点斜式方程：．

2
－1

0

轴，又是以为顶点的等腰三角形且的倾斜角为，
即＝．
或．
的倾斜角为或．
即斜率为或．
由点斜式方程得，直线方程为：或．
又由题得的平分线的倾斜角为或，
的平分线所在直线的方程为或．

第11题. 过和两点的直线方程是（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

答案：Ａ．

第12题. 直线的截距式方程是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．

答案：Ｄ．

第13题. 设，直线与交于，且，．当在之间时，　　　　　　．

答案：16．

第14题. 直线上一点的横坐标是，把已知直线绕点逆时针方向旋转后得直线，求直线的方程．

答案：解：把代入直线中，得，．
直线的斜率为，
该直线的倾斜角为．
直线的倾斜角应为，可知其斜率为．
由点斜式得的方程为，即．

第15题. 倾斜角为，在轴上的截距为的直线方程为　　　　　　．

答案：

第16题. 直线的斜率为，且和两坐标轴围成面积为的三角形，则直线的方程为　　　　　　．

答案：或

第17题. 经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是　　　　　　．
答案：，或

第18题. 已知直线在轴，轴上的截距分别是和，求，的值．
答案：解法1：由截距意义知，直线经过和两点，因此有
．
解法2：由截距可知，可将化为截距式，得．
因此有．

第19题. 如图，在同一直角坐标系中表示直线与，正确的是（　　）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

答案：Ｃ．

第20题. 若，且，直线不通过（　　）
Ａ．第三象限 Ｂ．第一象限 Ｃ．第四象限 Ｄ．第二象限

答案：Ｃ．

第21题. 若方程表示平行于轴的直线，则的值是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．不存在

答案：Ｄ．

第22题. 已知直线与直线的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线的方程．
答案：解：直线的斜率为，由于直线与该直线的斜率相等，故可知．
设直线的方程为．
令，得；令，得．
由于直线与两坐标轴围成三角形的面积为24，则
．．．
直线的方程为．
即为，或．

第23题. 一条直线经过点，并且和两条直线与都相交，且两交点的中点是，求这条直线的方程．

答案：解：点是两交点的中点，两交点关于点对称．
设所求直线与直线的交点的坐标为，
则它与另一直线的交点的坐标为．
点在直线上，
．即．
解方程组，．
所求直线方程为，即．

第24题. 方程所表示的直线（　　）
Ａ．恒过定点 Ｂ．恒过定点
Ｃ．恒过定点和点 Ｄ．都是平行直线

答案：Ａ．

第25题. 直线与直线和分别相交于，两点，线段的中点是，则直线的斜率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－

答案：Ｃ．

第26题. 过点，且在坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程为　　　　　　．

答案：或

第27题. 过点作直线，使它被两相交直线和所截得的线段恰好被点平分，求点的方程．
答案：解法一：设直线的方程为由
得，
由得．
的中点为，由中点坐标公式得，（舍）．
故所求方程为．
解法二：设点的坐标为，因线段的中点为，则点的坐标为．
，两点分别在直线
和上，可解得，由两点式可得直线的方程为．
解法三：设与已知直线交点坐标为，与的交点坐标为，
则由已知得方程组，
，得．
把代入上式，得上式与联立消去，解得．
代入，解得．
用两点式写出直线方程并整理，得．

第28题. 求经过，的两点式方程，并把它化成点斜式，斜截式和截距式．
答案：解：过两点的直线方程是．
点斜式为：，
斜截式为：，
截距式为：．

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