高二极坐标系.doc

年级
高二
学科
数学
内容标题
极坐标系
编稿老师
胡居化

一、 教学目标：
1. 理解极坐标的定义，极径、极角等基本概念以及极坐标系与直角坐标系的区别.
2. 掌握极坐标与直角坐标的互化公式，能进行简单的极坐标与直角坐标的互化并掌握一些常见的曲线的极坐标方程.
3. 体会等价转化的数学思想、数形结合的数学思想、方程的数学思想的应用.

二、 知识要点分析：
1. 极坐标的有关概念
（1）极坐标的定义：在平面内取一定点O，叫极点，过O引一条射线Ox，叫极轴.再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），由此建立了极坐标系.
（2）点的极坐标在极坐标平面内，|OM|=，则点M的坐标是

注：（i）极坐标系与直角坐标系的最大区别是：建立直角坐标系以后，平面内任意一点P与有序实数对（x，y）之间是一一对应的，而建立极坐标系以后，仅当时，平面内的任意一点P（除极点外）与有序实数对（才是一一对应的.
（ii）对称点的坐标
点M(关于极轴对称的点的坐标是
点M(关于极点对称的点的坐标是
点M(关于过极点且与极轴垂直的直线（极垂线）对称的点是
（iii）极坐标系内两点之间的距离公式，设
则
2. 极坐标与直角坐标互化
（1）互化的条件：极点与原点重合、极轴与x轴的正半轴重合、两坐标单位一致.
（2）互化公式：
3. 常见曲线的极坐标方程
（1）经过极点且倾斜角是的直线的极坐标方程是
（2）与极轴平行且距离为a的直线的极坐标方程是
（3）与极轴垂直（含极轴所在的直线）与极点的距离为b（b>0）的直线的极坐标方程是
（4）圆心在极点、半径为r的圆的极坐标方程是＝r
（5）圆心在、半径为r的圆的极坐标方程是

【典型例题】
知识点一：极坐标的基本概念
例1. 在极坐标系中，下列各点与点M(为同一点的是（ ）
A.
题意分析：考查极坐标的定义
思路分析：在一般情况下，点M(与点都是同一点.
解题过程：由极坐标定义知：在极坐标平面内所有与M(点相同的点的坐标是（，故M(可以表示为（当n=－1时，M(－1，.本题正确答案是（D）
解题后的思考：解决这类问题关键是掌握：在极坐标平面内所有与M(点相同的点的坐标是（.易错点：对极坐标的定义的理解有误.

例2. 在极坐标系中：求射线，和圆围成的图形面积.
题意分析：考查极坐标系的概念及极坐标方程的知识.
思路分析：两条射线将圆分割成两个扇形，根据扇形面积公式求解.
解题过程：由知圆的圆心在原点，半径是4，射线把圆分成两个扇形，两个扇形的圆心角分别是（如图），由扇形面积公式所求的区域面积是：
，

解题后的思考：解此类问题应先根据题意画出图形，再根据图形的形状求面积.本例体现了数形结合的数学思想的应用.易错点认为只有一个扇形.

例3. 在极坐标系中，已知：A(，，求：
(1)|AB|；
(2)（O为极点）
题意分析：本题考查极坐标系中两点间距离公式的应用.
思路分析：求时可利用＝来求解.
解题过程：（1）B点坐标转化为，∠AOB=，
故|AB|，
.
（2）=.
解题后的思考：本题在解题过程中，要把B点坐标转化为，以便于求，体现了转化的数学思想的应用.易错点：求时出现错误.
小结：本知识点主要考查极坐标的基本概念，要体会、理解这一概念.对极坐标平面内两点间的距离公式要掌握好.

知识点二：极坐标与直角坐标的互化
例4. 极坐标方程表示的曲线是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
题意分析：本题考查把极坐标化为直角坐标的方法
思路分析：首先把曲线方程利用及把极坐标转化为直角坐标.
解题过程：把代入极坐标方程
得由
得，即，所以曲线为双曲线
故选D
解题后的思考：:对极坐标与直角坐标互化的问题，首先要对已知的极坐标方程进行变形（即转化），为使用公式创造条件.

例5. 把下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程
(1)
(2)
题意分析：本题考查把直角坐标化为极坐标的方法.
思路分析：将公式代入直角坐标方程中.
解题过程：(1)把代入得
极坐标方程是
(2)把代入得：
，化简得极坐标方程是:
解题后的思考：:对直角坐标化为极坐标的问题，将公式代入直角坐标方程中，然后化简.

例6. 已知椭圆上有A，B两点，若满足(O为坐标原点)，求证：为定值.
题意分析：本题考查利用极坐标知识解决圆锥曲线问题.
思路分析：首先建立极坐标系(极点在原点，极轴为x轴的正半轴)，再把椭圆的直角坐标方程转化为极坐标方程.设A(，则B(，再将其代入椭圆的极坐标方程中.则|OA|=|OB|=.
解题过程：以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立极坐标系.
把代入椭圆方程得：
，设A(，则B(

=为定值.
解题后的思考：:对于与圆锥曲线有关的证明问题，利用极坐标解决较为简洁，但要注意的是，首先要建立恰当的极坐标系.
小结：在这个知识点中，主要是极坐标与直角坐标互化的问题，主要利用极直互化公式解决.为恰当地使用此公式，必要时需对直角坐标方程或极坐标方程进行变形.

［本讲涉及的数学思想方法］
本讲主要讲述极坐标的基本概念及极坐标与直角坐标的互化等有关知识，在利用这些知识解决问题的过程中体现等价转化的数学思想、数形结合的数学思想的应用.

【模拟试题】（答题时间：60分钟，满分60分）
一、选择题（每题5分，计30分）
1. 点的极坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 极坐标方程表示的曲线是（ ）
A. 双曲线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 圆
3. 表示的图形是（ ）
A. 一条射线　　　　 B. 一条直线 　　　　
C. 一条线段 　　　　 D. 圆
4. 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知点则为（ ）
A. 正三角形　　 B. 直角三角形　　
C. 等腰锐角三角形　　 D. 等腰直角三角形
6. 设点P对应的复数为－3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（ ）
A. (，) B. (，)
C. (3，) D. (－3，)

二、填空题（每题5分 计30分）
7. 极点到直线的距离是________ _____.
8. 极坐标方程表示的曲线是_______ _____.
9. 在极坐标系中，点P的距离等于__________.
10. 圆心为，半径为3的圆的极坐标方程为__________.
11. 极坐标方程化为直角坐标方程是__________.
12. 在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则|AB|= .

【试题答案】
一、选择题
1. （C）（解析：由公式（），得：且点P在第四象限.故选C.）
2. （D）(解析：展开化简及利用极值互化公式)
3. （A）(解析：注意
4. （B）(解析：由两边同乘以得，故：)
5. （D）(解析：利用极坐标平面内两点间的距离公式计算|OA|，|OB|，|AB|)
6. （A）（解析：由复数的几何意义知：P(－3，3)，由P点在第二象限知：

二、填空题
7. （解析：把化成直角坐标方程得：，所求的距离是原点O(0，0)到直线的距离，由点到直线的距离公式可求得答案）
8. （解析：由）
9.
（解析：P点，由点到直线的距离公式可求得答案）
10.
11.
解析：由

12.
解析：由得：，过点（3，0）且与极轴垂直的直线的方程是x=3，.

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