Mooc应用案例选讲6个(筛选).doc

1、11.2，书703，电子书727 实验课题：Logistic序列(需要matlab编程演示)
生态学中的种群增长模型序列，是由逻辑差分方程给出的。表示的是在第n年单一种群的规模。为保持数量可以处理，是表示第n年种群规模与种群最大值的比值，所以。注意到这个等式的形式和第九章第四节中的逻辑差分方程是很类似的。这个离散型模型，用的是离散序列而不是连续函数，对于建立种群模型是更加适宜的，因为其交配和死亡都以一定的周期性发生。
一位生态学家感兴趣的是，随着时间的推移预测种群的规模。并且提出这些问题: 种群规模会稳定在一个极限值吗?它会周期性地改变吗?还是会表现出随机行为?
编写一个程序来计算这个序列，初始种群为，。用这个程序做下面的工作：
1. 计算以开始的序列中，第20或30项的值，在1至3之间选两个值。画出每一个序列的图。序列看起来收敛吗?接着在0和1之间取不同的值。观察极限取决于的选择吗?取决于所选择的吗?
2. 在3至3.4之间取一个值，并描点。你观察到这些项有什么特点吗？
3. 再在3.4至3.5之间取值一个，并描点。你观察到这些项有什么变化吗？
4. 再在3.6至4之间取值，并至少描点100个，解释下这个序列的表现。如果你把修改0.001，你观察到这些项有什么变化吗？这种行为叫做混乱, 是由昆虫种群在特定条件下表现出的。
解: 生物种群的数量增长模型P(n+1)=k*P(n)*(1-P(n));
Matlab程序：
p(1)=1/2;k=1/2;
for n=2:100
p(n)=k*p(n-1)*(1-p(n-1));
end

k=1.2

k=2.4

k=3.2

k=3.5

K=3.8

2、11.11 ，下册书777，电子书801 ，应用研究：星体的辐射
任何物体在受热后都发出辐射。黑体是一种能够吸收所有落在它身上辐射的系统。例如，一个不光滑的黑色表面或外壁有小洞的大空腔 (如高炉)都是黑体，能够发出黑体辐射。甚至于来自太阳的辐射也接近黑体辐射。
在19世纪晚期，瑞利-吉恩斯（Rayleigh-Jeans）定律，给出了波长为的黑体辐射能量密度计算公式，其中以米计，是绝对温度，是玻尔兹曼常数。
从实验结果来看，Rayleigh-Jeans 定律对于长波是适用的，对于短波完全不适用。(该定律预测时, 。但实验表明此时，这一事实被称为紫外灾难。)
在1900年，马克斯·普朗克（Max Planck）发现了一个关于黑体辐射更好的模型(现在被称为普朗克黑体辐射定律) ：

其中以米计，是绝对温度，并且

1. 用罗必塔法则证明对于普朗克定律，，。所以这个定律对于短波而言，要比Rayleigh-Jeans定律好。

2. 使用泰勒多项式证明，对于长波而言，普朗克定律给出的结果和Rayleigh-Jeans定律给出的近似相等。
3. 在同一个界面画出两个定律的图，并指出图像上的异同。使用 (太阳的温度)。(可以把米换算成微米这一更方便的单位: )。
4. 用第三问中的图估计的值，在普朗克定律中使得取到最大值。
5. 研究随着温度的变化，图像发生什么变化。(使用普朗克定律)。特别是，图形对于参宿四()，南河三()，小天狼星()以及太阳。 总辐射(曲线下的面积) 是怎样随着的变化而变化的? 使用图来评论为什么小天狼星被称为蓝星，参宿四被称为红星。
从维恩定律、瑞利－金斯公式再到普朗克公式的建立过程来看，热力学统计物理在其中起到了工具的作用，而普朗克的量子论的阐述过程中，玻尔兹曼熵的概念更是用到极致。黑体辐射定律的建立和热力学统计物理的紧密关联，似乎也是情理之中，因为黑体辐射本身就是热辐射的一个特殊情况。普朗克的成功除了得益于深厚的热力学统计物理的根底，敏锐的头脑，还在于他十分注意最新实验的发展，在 1900 年鲁本斯和库尔玻姆实验发现黑体辐射低频段与维恩公式明显偏离后，普朗克不得不修正他当时已取得结果。普朗克量子论假说具有划时代的意义，能量单元的存在它打破了能量连续变化的经典观念，普朗克本人和他同时代的学者都没有充分认识和理解，普朗克量子论提出后的 5 年他的工作几乎无人问津，直到 1905 年爱因斯坦发展了量子论，提出光量子概念并成功解释光电效应以后，人们才逐渐认识到普朗克量子论的巨大价值。

3、13.4 ，下册书872，电子书896， 应用研究：开普勒定律
根据大量行星在不同时期位置的数据，开普勒给出了以下行星运动的3大定律。
开普勒定律：
1、每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳运转，而太阳则处在椭圆的一个焦点。（椭圆定律）
2、在相等时间间隔内，太阳和运动中的行星的连线所扫过的面积都是相等的。（面积定律）
3、所有行星绕太阳一周时间的平方与它们轨道长半轴的立方成比例。（调和定律）
开普勒给出这些定律，是因为它们符合天文数据。但他没能搞明白为什么它们是正确的，或者它们是如何相互联系的。但牛顿在1687年的数学原理中指出，如何从牛顿第二运动定律和万有引力定律中，推导出开普勒三大定律。我们在13.4节使用向量函数的微积分，证明了开普勒第一定律。在今天这堂课上，我将指导你们完成开普勒第二和第三定律的证明，并且探索和它们相关的一些结果。
1. 使用以下步骤来证明开普勒第二定律。符号和在13.4节中证明第一定律的符号意思相同。使用极坐标.
(a) 证明 .
(b) 证明 .
(c) 如图所示，如果是在时间间隔内，矢径扫过的面积，证明
(d) 证明
这说明，扫过的面积的速度是恒定的，也就证出了开普勒第二定律。
2.设是一颗行星环绕太阳的周期; 也就是说，是它运行一次绕椭圆轨道所需的时间。假设椭圆的长轴和短轴的长度分别是和。
(a)使用部分问题1的（d），证明

(b) 证明.
(c) 利用(a) 和 (b) 的结论来证明 .
这也就证明开普勒第三定律。注意，比例常数是与行星无关的。

4. 14.8 ，下册书964 ，电子书988， 应用研究：火箭科学
许多火箭的升空过程被设计为三级，如目前用于发射卫星的飞马座XL和第一次把人类送上月球的土星V。在主要的第一级，就是助推火箭直到其燃料用尽，随后抛弃助推器来降低火箭的质量。第二和第三个级的功能类似，就是为了将火箭的有效载荷送入地球的轨道。在设计中，至少需要两级以达到必要的速度，并且三级已被公认在成本和性能之间达到了一个很好的平衡。我们的目标是要确定三级的个体质量，以这样一种方式设计，以尽量减少火箭的总质量，同时使其达到预期的速度.
对于一个以恒定速度消耗燃料的单级火箭，由火箭飞行器的加速所引发的速度变化已被建模

其中是包括初始燃料的火箭发动机质量，是有效载荷的质量，是一个由火箭设计决定的结构因素（具体而言，它是没有燃料的运载火箭总质量与有效载荷的质量比），(常量)是与火箭的排气速度有关的量。
现在我们来考虑一个三级火箭和有效载荷的质量。假定外界的力量是微不足道的，和在每个阶段都保持不变。如果是第阶段的质量，我们可以初步认为火箭发动机有质量，以及有效载荷质量；第二和第三级可同样处理。
1.证明在火箭三级抛弃完毕，航天器能够达到的速度

2. 我们希望尽量减少火箭发动机的质量，满足1中航天器主体所需的速度。拉格朗日乘子的方法是适当的，但很难使用目前的表达式。为了简化问题，我们定义变量，使约束方程可以表示为。因为现在很难用来表达，我们希望使用一个简单的函数在同样的处达到最小化。证明
, , ，以及。
3.验证在同样的达到最小；在满足约束的条件下，利用拉格朗日乘子法和问题2的结果求出使取得最小值的。提示：使用对数性质能够帮助简化表达式。
4.求出以为自变量的函数的最小值。
5.如果我们想把一个三级火箭送进地球表面160公里以上的轨道，最终的速度需要达到约28000km /小时。假设每个阶段的结构因子，排气速度C = 9600公里/小时，
(a) 求出以为自变量的函数的最小值。
(b) 求出每一阶段以为自变量的函数。（它们不一样大！）
6.为了摆脱地球引力，火箭需要一个最终的速度约39700km /小时。求出每一个阶段的质量，使其能够最小化火箭发动机的总质量，并使火箭能够将200磅重的探测器推送到深度空间。

5. 14.8，下册书966， 电子书990，应用研究：水电-涡流的最优化
不同流量的水流经过不同涡轮机会产生不同的电量，求电量最大值，对于不同水流怎么安排涡轮机的使用令电量最大。无约束最优化--拉格朗日乘子法
Katahdin Paper公司在佩诺布斯科特河经营了一家水力发电站。水流从大坝经至发电站，水流经过管道的速度变化取决于外部条件。该发电站有三个不同的水电涡轮机，每一个都有一个已知的（和独特的）的功率函数，这个函数表示水流到达涡轮机时生成电量数。流进的水可以分配到每个涡轮机不同的水量，因此我们的目标是确定如何分配涡轮机中的水量，令在水的不同流速下产生的总的电量达到最大值。
使用实验证据和伯努利方程，下面给出了每个涡轮机的电量输出二次模型，以及允许的流量：

水流经第i个涡轮机的流量（单位：立方英尺/秒）
第i个涡轮机产生的电量（单位：千瓦）
通过全站的总流量 （单位：立方英尺/秒）
1、如果三个涡轮机都被使用，我们希望确定每个涡轮机的流量令其产生最大电能。
我们的限制条件：分配到三个涡轮机的水量之和必须是总水量，并且要关注每个涡轮机的水量限制。
因此，使用拉格朗日乘数法求出三个涡轮机流量的值，令产能（）达到最大值，再加上约束条件和每个涡轮机的流量限制这两个条件。
解：max KW1+KW2+KW3=
-70.42
s.t.

解 1. 设三个涡轮机都使用。因为每个涡轮机的电力产量为

所以目标函数为

其约束条件有不等式约束

及等式约束

其中还是一个参数。为了简化问题，先不考虑不等式约束，只考虑等式约束。用拉格朗日乘子方法求极值。引入辅助函数

对方程组
用数学软件Mathematica（其他软件也可以）虽然可以得到形式上的解，但是由于是参数以及表示式的复杂性，其结果没有实际意义。因此考虑把方程组中总的水流量用一些数值代入，再求得使总的发电量最大时各台涡轮机的水流量. 下面的图就是当从850 到3500 时，发电量最大时各台涡轮机的水流量的最优值（每个都要用拉格朗日乘子法计算）分配图（用Matlab编程，试试）。

2. 经计算当时上述结果是有效的。
3. 当总水流量时，三台涡轮机的水流分布为

这时最大发电量为28411.7KW.
4. 当水流量为1000时，如果使用三台涡轮机发电，最大发电量只有8397 KW（拉格朗日乘子法）。而考虑只用一台涡轮机发电（第三台），则最大发电量为12222.5KW. 如果水流量为600，则只用第一台，最大发电量为7292KW。这是根据单台涡轮机发电量函数计算出来的。它们的图形如下

5. 有些情况下采用两台涡轮机发电更好。当水流量为1500时，若采用三台涡轮机发电，则最大发电量只有16538.7（拉格朗日乘子法）。考虑采用两台发电机，则使用第一和第三台发电机时，最大发电量为18208.3KW（也用拉格朗日乘子法，最优水流量分配为）；使用第二和第三台发电机时，最大发电量为17720.6KW；使用第一和第二台发电机时，最大发电量为17454.8KW。显然应该采用第一和第三台发电机发电，发电量最大。
6. 如果水流量是3400，它超出1的结果所适用的范围。从三台发电机各自的发电函数与拉格朗日乘子法得到的最优水流分配图形看出，让涡轮机3和涡轮机1满负荷发电效果会比较好。经计算，确实是这样。最大发电量达33924.0KW。

2、的值多少结果最优？（For which values of is your result valid ?）
3、对于一组流量为2500立方英尺/秒的水流，确定涡轮机的水量分布并通过一些（近似分布理论）来验证你的结果确实是最优（可以达到电量最大）。
4、目前我们已经假定了有3个涡轮机正常运转，是否有一定的可能性，在某种情形下只用一个涡轮机能产生更多的电能？请做有三个幂函数的图，并用它帮助决定流量为1000立方英尺/秒的水流是应该被分配到三个涡轮机中还是一个涡轮机中。（如果你决定应当使用一个涡轮机，三个涡轮机里哪一个更合适？）当水流流量为600立方英尺/秒时，怎么选择？
5、也许对于一些不同流量的水流来说，使用两个涡轮机会更有优势。如果流入的水量是1500立方英尺/秒，哪两个涡轮机应该被优先考虑？利用拉格朗日乘数法决定，水流应该怎么被分配到两个涡轮机中，产生的电量最大？对于这样流速的水流使用两个涡轮机会比使用三个更有效吗？
6、如果流入的水量是3400立方英尺/秒时，你会向该公司推荐哪种方案？

6. 15.9 ，下册书1039， 电子书1063，应用研究：速度溜旱冰运动
假设有一个实心球（一个大理石球），一个空心球（一个壁球），一个实心圆柱体（一个钢筋），和一个空心圆柱体（一个铅管）从一个斜坡滚下。这些物体哪一个首先到达底部？（进行之前的猜测）。为了回答这个问题，我们考虑一个球或圆柱体的质量，半径和惯性矩（旋转轴）。如果垂直高度为，即顶部的势能。假设物体达到底部的速度和角速度是，所以。底部的动能由2部分组成：
平移, 旋转
如果我们假设滚动的摩擦能量损失是可以忽略不计，然后根据能量守恒：
1、证明 ，
2、如果表示垂直距离经过的时间，使用和问题1相同的推理证明，对于任意，有。利用该结果证明，满足微分方程：（表示平面的倾斜角）
3、通过问题2中求解微分方程，证明总时间
这表明有的值最小的物体赢得了比赛。
4、求出一个实心的圆柱体的时间，一个中空的圆柱体的时间。
5、计算空心球的的值，内半径和外半径。按照写出你的回答。当和会发生什么呢？
6、计算是固体球和是空心球的时间。因而各物品到达底部的时间按照以下顺序排序：固体球，实心圆柱体，空心球，空心圆柱体。

电子书892
In his book Principia Mathematica of 1687, Sir Isaac Newton was able to show that these three laws are consequences of two of his own laws, the Second Law of Motion and the Law of Universal Gravitation. In what follows we prove Kepler's First Law. The remaining laws are left as exercises (with hints).
在他的数学原理一书中，牛顿能够表明这三大定律是牛顿第二定律和万有引力定律的结果。下面我们证明开普勒第一定律。其余的定律都作为练习（有提示）。
Since the gravitational force of the sun on a planet is so much larger than the forces exerted by other celestial bodies, we can safely ignore all bodies in the universe except the sun and one planet revolving about it. We use a coordinate system with the sun at the origin and we let r一r(t) be the position vector of the planet. (Equally well, r could be the position vector of the moon or a satellite moving around the earth or a comet moving around a star.) The velocity vector is v=r' and the acceleration vector is a=r". We use the following laws of Newton:
由于太阳在地球上的引力比其他天体所产生的力量大得多，我们可以安全地忽略宇宙中的所有物体，除了太阳和一颗行星围绕它旋转。我们用一个坐标系统太阳为原点，我们让R一R（t）是地球的位置矢量。（同样地，可能是月球的位置矢量或卫星绕地球运行或绕着一颗恒星运行的彗星。）速度矢量是 v=r' ，加速度矢量是 a=r".我们使用以下的牛顿定律：

where F is the gravitational force on the planet, m and M are the masses of the planet and the sun, G is the gravitational constant, ，andis the unit vector in the direction of r.
其中F是对地球的引力，m和M是分别是星球和太阳的质量，G是引力常数，，在R方向的单位矢量
We first show that the planet moves in one plane. By equating the expressions for F in Newton's two laws, we find that
我们首先表明，地球在一个平面移动。通过平衡表达式F牛顿的两个定律，我们发现

and so a is parallel to r. It follows that r X a=0. We use Formula 5 in Theorem 13.2.3 to wrote
因此，一个a与 r平行，它遵从r X a=0。我们使用公式5定理13.2.3写

where h is a constant vector. (We may assume that ; that is, r and v are not parallel.)This means that the vector r一r(t) is perpendicular to h for all values of t, so the planet always lies in the plane through the origin perpendicular to h. Thus the orbit of the planet is a plane curve.
h是一个常数向量。（我们可以假设；即，r 和v是不平行的。）这意味着矢量r一r(t) 是垂直于h所有的t值，所以行星总是在垂直于h的平面。因此，行星的轨道是一个平面曲线。
下面就是证明过程