第二章极限与连续.doc

第二章极限与连续一、数列的极限A、数列Un中的数称为数列的项，Un为数列的一般项或通项。正整数n称为数列的下标。 给定数列Un，各项的取值由其下标唯一确定，所以数列Un可以视为定义在正整数集N*上的函数，即称为下标函数。B、已知数列Un，当n无限增大时，Un无限趋近于某一个常数A，则A为数列Un的极限。即 Un=A 或UnA（n+） 若数列Un有极限，则称数列Un收敛，或Un存在 若数列Un无极限，则称数列Un发散，或Un不存在 有界数列：|Un|M（nN*，M0） 收敛数列必定有界，单调有界数列必有极限。二、函数的极限 【前提必须是在某一趋向下】A、x时函数f（x）的极限 a、已知f（x），x时，f （x）无限趋近于某一个常数A，则称当x时，函数f（x）的极限存在，且称当A为x时，f（x）的极限。 【双边极限】 记作：f（x）=A 或f（x）A，（x） b、已知f（x），x+时，f （x）无限趋近于某一个常数A，则称当x+时，函数f（x）的极限存在，且称当A为x+时，f（x）的极限。 【单边极限】 记作：f（x）=A 或f（x）A，（x+） c、已知f（x），x-时，f （x）无限趋近于某一个常数A，则称当x-时，函数f（x）的极限存在，且称当A为x-时，f（x）的极限。 【单边极限】记作：f（x）=A 或f（x）A，（x-）综上：f（x）=A f（x）=f（x）=AB、xx0时f（x）的极限 a、f（x）在x0的某空心邻域内有定义，xx0时f（x）无限趋近于某常数A。即当xx0时f（x）的极限存在，且称A为xx0时f（x）的极限。 记作：f（x）=A 或f（x）A，（xx0） b、f（x）在x0的某空心邻域内有定义，xx0-时f（x）无限趋近于某常数A。即常数A为xx0时f（x）的左极限。 记作：f（x）=A 或f（x）A，（xx0-）或f（x0-0）=A c、f（x）在x0的某空心邻域内有定义，xx0+时f（x）无限趋近于某常数A。即常数A为xx0时f（x）的右极限。 【左极限和右极限统称为单侧极限】 记作: f（x）=A 或f（x）A，（xx0+）或f（x0+0）=A综上：f（x）=A f（x）=f（x）=A三、无穷大量与无穷小量A、在自变量的某一变化过程中（即在某一趋向下），若f（x）的绝对值无限的增大，则称f（x）为无穷大量。 即limf（x）=。a、 若f（x）恒为正且f（x）无限的增大，则称f（x）为正无穷大。即limf（x）=+b、 若f（x）恒为负且f（x）的绝对值无限的增大，则称f（x）为负无穷大。即limf（x）= 一个无穷大量与一个有界变量（即有限函数）之和仍为无穷大量。 两个无穷大量的乘积仍是无穷大量。 两个正（负）无穷大量之和仍为正（负）无穷大量。【若是一正一负则结果不能确定】B、极限为零的变量成为无穷小量。（0也是无穷小量） limf（x）=A f（x）=A+ 其中lim=0 有限个无穷小量的和或差仍为无穷小量。 有限个无穷小量的积仍为无穷小量。 无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。 无穷小量除以极限不为零的变量，其商仍为无穷小量。C、无穷大量与无穷小量的关系 在自变量的同一变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，无穷小量（不取零时）的倒数是无穷大量。 即limf（x）= 则lim=0 D、无穷小量的阶【即无穷小量和无穷小量的大小比较】 若与为同一变化过程中的两个无穷小量a、若=0，则称是比高阶的无穷小量。 b、若=，则称是比低阶的无穷小量。 c、若lim=A0，（且A1）则称与为同阶的无穷小量。 d、若=1，则称是与等价的无穷小量。 记作： e、若=A0，k0，则称是关于的k阶无穷小量。 若在同一极限中，、均为无穷小量 a、，即任何一个无穷小量总是和它本身等价。 b、，则。即等价关系具有传递性。 c、，则。即两个等价无穷小量乘以同一无穷小量后，仍为等价无穷小量。 d、1，1,则11 。即两个无穷小量之积等价于各自的等价无穷小量之积。四、函数极限的性质与运算法则A、函数极限的性质（同样适用于数列极限） a、若极限limf（x）存在，则极限值唯一。【唯一性】 b、f（x）存在，则函数f（x）在x0的某空心邻域内有界。【局部有界性】 c、若f（x）=A 【局部保号性】 、A0（或A0），则函数f（x）在x0的某空心邻域内恒有f（x）0（或0） 、x0的某空心邻域内恒有f（x）0（或f（x）0）则有A0（或A0）c、 若f（x）=A，若g（x）=，且在的某个空心邻域内恒有f（x）g（x），则B、函数极限的运算法则 a、limf（x）与limg（x）存在，则limf（x）g（x）与limf（x）g（x）存在 若有limf（x）=A，limg（x）=B，limf（x）g（x）= limf（x）limg（x）=A+B b、limf（x）与limg（x）存在，若有limf（x）=A，limg（x）=B limf（x）g（x）= limf（x）limg（x）=AB = = （B0）d、 由上a、b运算性质可得如下推论： 极限limf（x）存在，C为常数，则有 极限limf（x）存在， （n可为正数也可为负数也可以是分数） 求函数极限的几种方法： 、多项式与分式函数：消去0因子法（即通过因式分解消去不利因子） 、有理化：分子分母都乘以相应无理式的共轭因式 、利用无穷小与有界函数的乘积为无穷小简化（只针对时）、无穷小分子法：（给公式的那个） 、之后马上就会说的利用两个重要极限。 、最麻烦的那个变量代换（注意趋向）、不会就用洛必达法则做，以后第四章再说C、极限存在性定理 a、夹逼定理：若在的某空心邻域【要求0】内恒有【要求同一趋向下】。 且有=A 则极限存在，且有=A 【对于其他函数极限的情形和数列极限，也有类似结果】 b、单调有界数列必有极限。五、两个重要极限A、或 另：|sinx|x| （x0时）B、或或 几个等价无穷小 【时】 用于简化求极限值的运算 【等价无穷小的代换只适用于乘除，不能用于加减】六、函数的连续性A、函数的连续与间断 a、设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，x在处的趋于零时，函数相应的该变量也趋于零。即 即称函数y=f（x）在点处连续并称是函数y=f（x）的连续点。 b、y=f（x）在点的某个邻域内有定义，若y=f（x），当时的极限存在且等于f（）即。即称函数y=f（x）在点处连续，并称是函数y=f（x）的连续点。 连续即为不间断，连续的条件（证明时会用到） 、存在 、存在 = c、在某邻域有定义时 有定义时，f（x）在（a，b）内连续，且在点a右连续，在b左连续，则称函数f（x）在a，b上连续。 所以，f（x）在处连续f（x）在处既左连续又右连续。e、 间断点的分类、左右极限存在、左右极限至少有一个不存在 B、初等函数及分段函数的连续性 a、设f（x）与g（x）在点或区间D上连续，则有、在点或区间D上均连续。 b、复合函数的连续性 函数f（x）在点连续时，函数符号f与极限符号lim可以交换。即，且其连续性在某一邻域内一致。 c、基本初等函数在其定义域内连续。 初等函数在其有定义的区间内连续。 d、常用的等价无穷小们 （第四页上有，就不再写一遍了） e、零点定理：在闭区间a，b上连续，且，则至少存在一点（a，b）使=0 5