湖北省团风中学2012届高三数学测试题(理科).doc

团风中学2012届高三数学测试题（理科）

第I卷
一.选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合则满足条件的实数x的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个
1.【答案】C
【解析】,,∴,选C.
【命题意图】本题主要考查集合元素的互异性与集体的运算。
2.函数在处有极值,则的值为( ).
A. B. C. D.
2.【答案】B
【解析】由,可得,故选B.
【命题意图】本题主要是理解极值点与导数的根之间的关系。
3.已知命题：函数在内恰有一个零点；命题：函数在上是减函数.若且为真命题,则实数的取值范围是( ).
A. 　　　　　　B. 　　　　　　C. 　　　　　D.或
3.【答案】C
【解析】命题：得.命题：,得,∴：.故由且为真命题,得,选C.
【命题意图】本题既考查函数方程思想、幂函数单调性的应用，同时又考查命题真假的理解。
①正方形
②圆锥
③三棱台
④正四棱锥
4.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( ).

A.①② B.①③ C.①④ D.②④
4.【答案】D
【解析】只有②④的正视图和侧视图是相同的等腰三角形.
【命题意图】本题考查对常见几何图形的三视图的观察能力。
5.已知的三顶点坐标为,,,点的坐标为,向内部投一点,那么点落在内的概率为( ).
A. B. C. D.
5.【答案】A
【解析】∵,,∴概率,故选A.
【命题意图】几何概型是课标的新增内容，对于本知识点的考查主要是以题型为主。
6.已知正项数列的各项均不相等,且,则下列各不等式中一定成立的是( ).
A. B. C. D.
6.【答案】B
【解析】∵数列为各项均不相等的正项等差数列,
∴,故选B.
【命题意图】本题主要考查等差数列的性质及均值不等式的应用，特别是取等号的条件。
7.已知钝角的终边经过点,且,则的值为( ).
A. B. C. D.
7.【答案】A
【解析】由为钝角,知,,又,∴,,
∴,,,,
故.
【命题意图】本题考查倍角公式与三角函数定义的应用相结合。
8.已知、分别是双曲线的左、右焦点,为双曲线上的一点,若,且的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是( ).
A. B. C. D.
8.【答案】D
【解析】∵直角的三边成等差数列,
∴可设,,,且,
代入得,∴,∴,,,
∴,故选D.
【命题意图】焦点三角形是圆锥曲线的重点，结合定义、三角形的形状来求离心率是值得关注的。
9.已知动点在椭圆上,若点坐标为,,且,则的最小值是( ).
A. B. C. D.
9.【答案】B
【解析】由可知点的轨迹为以点为圆心,为半径的圆,过点作该圆的切线,则,得,∴要使得的值最小,则要的值最小,而的最小值为,此时,故选B.
【命题意图】本题考查求最值过程中利用三角形两边之差小于等于第三边来取得最值，又要结合椭圆的定义，很关键。
10.定义在上的函数,如果存在函数为常数,使得对一切实数都成立,则称为函数的一个“承托函数”.现有如下命题：①对给定的函数,其承托函数可能不存在,也可能有无数个；②为函数的一个承托函数；③定义域和值域都是的函数不存在承托函数.其中正确的命题是( ).
A.① B.② C.①③ D.②③
10.【答案】A
【解析】对于①,若,则,就是它的一个承托函数,且有无数个.又就没有承托函数,∴①正确；对于②,∵时,,,∴,∴不是的一个承托函数；对于③,若定义域和值域都是的函数,则是的一个承托函数.故选A.
【命题意图】本题属于考查学生数学素养的题目，虽说情形不熟练，但还是可以找出问题的突破口，也体现了解选择题的灵活性。

第Ⅱ卷

二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卷中对应题号后的横线上.

开始

i< 2011

输出a
结束
否
是
11.已知数组,,,满足线性回归方程,则“满足线性回归方程”是“,”
的条件.(填充分不必要、必要不充分、充要)
11．【答案】必要不充分
【解析】线性回归方程必经过点,但满足线性回归方程的点不一定是样本数据的平均数,
因此“满足线性回归方程”是“,”的必要不充分条件.
【命题意图】本题考查对回归直线上必过的一点的理解，让学生对概念理解的片面性作一深刻的认识。
12. 已知实数xy满足且仅在点
（3,2）处取得最大值，则的取值范围是 。
12.【答案】
【解析】作出不等式组的平面区域,当从与平行一直到与y轴平行都满足题意,故.
【命题意图】线性规划的难点在此题中有很好的体现。
13. 已知为如图所示的程序框图中输出的结果，则二项式
的展开式中含项的系数是 ．
13.【答案】
【解析】根据循环语句及程序运行和二项式定理知识可知输出结果为.
【命题意图】此题考查框图与二项式定理相结合，充分考查了学生对知识的融会贯通。
14.某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标,并通过经验公式
来计算各班的综合得分,的值越高则评价效果越好.若某班在自测过程中各项指标显示出,则下阶段要把其中一个指标的值增加个单位,而使得的值增加最多,那么该指标应为.(填入中的某个字母)
14.【答案】
【解析】根据分数的性质,只有在或上增加才能使增加最多.
∵,∴,故应填.
【命题意图】本题重在理解信息，对题意要有很好的把握。
15.(请在下列两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)
⑴(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，是曲线上任意两点，则线段长度的最大值为 ．
(2)如图，圆是的外接圆，过点的切线交的延
长线于点，，则的长为 ．
15.⑴【答案】
【解析】最长线段即圆的直径.
【命题意图】此题是选讲中极坐标与直角坐标的一个转化过程。
15.⑵【答案】
【解析】略
【命题意图】本题是选修4—1中的《几何证明选讲》，作出图形，一般此类题比较简单，寻找出题目中特殊边角即可求解。

三.解答题：本大题共75分。其中(16)～(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14分.解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤.

16.(本题满分12分)如图所示,已知的终边所在直线上的一点的坐标为,的终边在第一象限且与单位圆的交点的纵坐标为.
⑴求的值；
⑵若,,求.

16.解：⑴由三角函数的定义知,∴.又由三角函数线知,
∵为第一象限角,∴,∴. ……6分
⑵∵,,∴.又,,∴. …8分
∴.由,,得,∴. ……12分
【命题意图】本题考查三角函数的定义、化简、求值过程中对范围、公式的把握。
17.(本小题满分12分) 第26届世界大学生夏季运动会于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）：
男 女
9 15 7 7 8 9 9
9 8 16 1 2 4 5 8 9
8 6 5 0 17 2 3 4 5 6
7 4 2 1 18 0 1
1 19
若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望．
17.解：解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，……………………1分
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是， …………………………2分
所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人．…………………3分
用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件表示“没有一名“高个子”被选中”，
　则 ． ………………………………5分
因此，至少有一人是“高个子”的概率是． ……………………………6分
（２）依题意，的取值为．　　　　　　　　　　……………………………7分
　，　　　，
　， ． …………………………9分
　因此，的分布列如下：

………………10分
． …………………………12分
【命题意图】本题通过茎叶图给出数据，与概率计算相结合，很能考查学生的能力和对概念的把握。

18.(本小题满分12分)在三棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,,、分别为、的中点.
⑴证明：；
⑵(理)求二面角的正切值；
⑶求点到平面的距离.
18.解法：⑴取中点,连结、.∵,,∴,,
∴平面,又平面,∴. ……4分

答案图(2-1)
⑵∵平面,平面,∴平面平面.过作于,则平面,过作于,连结,则,为二面角
的平面角.∵平面平面,,∴平面.
又平面,∴.∵,
∴,且.
在正中,由平几知识可求得,
在中,,∴二面角的正切值为. ……8分
⑶在中,,∴,.

答案图(2-2)
设点到平面的距离为,∵,平面,∴,
∴.即点到平面的距离为. ……12分
解法：⑴取中点,连结、.∵,,
∴,.∵平面平面,
平面平面,∴平面,∴.
如图所示建立空间直角坐标系,则,,
,,∴,,
∵,∴. ……4分
⑵∵,,又,∴,.设为平面
的一个法向量,则,取,,,∴.
又为平面的一个法向量,∴,得
∴.即二面角的正切值为. ……8分
⑶由⑴⑵得,又为平面的一个法向量,,
∴点到平面的距离.……12分
【命题意图】此题考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力，可以简化思维，提高解题效率。

19.(本小题满分12分)在中,已知、,、两边所在的直线分别与轴交于、两点,且.
⑴求点的轨迹方程；
⑵若,
①试确定点的坐标；
②设是点的轨迹上的动点,猜想的周长最大时点的位置,并证明你的猜想.
19.解：⑴如图,设点,,,由、、三点共线,得与共线.又
,,,得.同理,由、、三点共线可得
.∵,∴,化简得点的轨迹方程为.……6分
⑵若,
①设,,则,.由,得
,∴,.代入,得.∴,即为椭圆的焦点. ……9分
②猜想：取椭圆的左焦点,则当点位于直线与椭圆的交点处时,周长最大为.
证明如下：∵,
∴的周长.…12分
【命题意图】本题考查椭圆及直线与椭圆及综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

20.(本小题满分13分)已知数列是首项为,公差为的等差数列,数列满足.
⑴若、、成等比数列,求数列的通项公式；
⑵当时,不等式能否对于一切恒成立？请说明理由.
⑶数列满足,其中,,当时,求的最小值.
20.解：⑴依题意,∵、、成等比数列,∴,即,得,
故. ……3分
⑵由,,
得
.∵的图象的对称轴为,,∴,又,∴当,即时,取最小值.
故当时,不等式对一切恒成立. ……8分
⑶∵,
∴
.当时,,,
则,.
∴当时,,即；当时,
,即.
故的最小值为. ……13分
【命题意图】本题考查数列的递推及数列单调性，应结合函数的知识进行求解。

21.(本小题满分14分)已知函数在处取得极值.
⑴求的解析式；
⑵设是曲线上除原点外的任意一点,过的中点且垂直于轴的直线交曲线于点,试问：是否存在这样的点,使得曲线在点处的切线与平行？若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由；
⑶设函数,若对于任意,总存在,使得,求实数的取值范围.
21.解：⑴∵,∴.又在处取得极值.
∴,即,解得,,经检验满足题意,∴. ……4分
⑵由⑴知.假设存在满足条件的点,且,则,
又.则由,得,∴,∵,
∴,得.故存在满足条件的点,此时点的坐标为或. ……8分
⑶解法： ,令,得或.
当变化时,、的变化情况如下表：

单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
∴在处取得极小值,在处取得极大值.
又时,,∴的最小值为. …………10分
∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,最小值不大于.又.
∴当 时,的最小值为,由,得；

当时,最小值为,由,得；
当时,的最小值为.由,即,解得或.又,∴此时不存在. …………13分
综上,的取值范围是. …………14分
解法：同解法得的最小值为. …………10分
∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,有解,
即在上有解.设,则
得, …………12分
或,得或. …………13分
∴或时,在上有解,故的取值范围是. ……14分
解法：同解法得的最小值为. …………10分
∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,有解,即在上有解.令,则,∴.
∴当时,；当时,得,不成立,∴不存在；
当时,.令,∵时,,∴在
上为减函数,∴,∴.…………13分
综上,的取值范围是. …………14分
【命题意图】此题综合考查导数与函数的单调性、不等式中的运用，以及求参问题、恒成立问题中的应用。