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第三章微分中值定理导数的应用
教学目的与要求
1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3． 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
4． 握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5． 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
6． 了解方程近似解的二分法及切线法。

一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲）
1． 罗尔定理
如满足：
（1）在连续.
（2）在可导.
（3） 则至少存在一点
使
例 设，则
在区间（-1，0）内，方程
有2个实根；在（-1，1）内有2个根
例 设在[0，1]可导，且，
证明存在，使。
证： 设在[a,b]可导，
∴ 存在使 即
例 设在[0，1]可导，且,
证明存在 。
解: 设，且 由罗尔定理
存在 使 即，
亦即
例 习题6
设（复合函数求导）
2、 拉格朗日中值定理
如满足：①在[a,b]连续；②在（a,b）连续，
则存在
使。
推论：⑴ 如果在区间I上，则
⑵ 如果在区间I上，
在Ｉ单增（减）
例　对任意满足的x，
都有
设
∵

∴
∵
∴
例 设，证明
求导证明
作业：见各章节课后习题。
二、洛必达法则
未定形：
如下的函数极限都是未定形。
1、型： 如：型：
2、型： 如：
3、型： 如：
4、型：如：
5、 型： 如：
6、 型： 如：
7、 型： 如：
它们的计算不能用函数极限的四则运算法则，
且它们只表示类型，没有具体意义。
1、 （）型的洛必达法则(同理)
定理：对函数和，如果：
（1）,
（2）在某个邻域内（后）有导数
和，且；
（3）存在（或无穷），则成立：
=

例：1)
2)
3)

例： 1)
2)
3) (>0)
3、其它类型
1)
2)
3)
4) 解法同3）
例 ： 1)
2)
3)
4)

三、泰勒公式
一、多项式：

在点的各阶导数：

得：

二、泰勒中值定理：
如果函数在含有的某个开区间有直到阶的导数则对任一有：
1、（N阶泰勒公式）

称为余项。
（1）（ 在与之间）
拉格朗日型余项
（2） 皮亚诺余项。
2、当得麦克劳林公式：

三、常见函数的泰勒展开
1)

2)

3)

四、函数的性态
1、极值
1）定义：如在邻域内，恒有， ，则称为函数的一个极大（小）值。
可能极值点， 不存在的点与的点。（驻点）
驻点 ←极值点
2）判别方法
ⅰ、导数变号。
极小值
极大值
ⅱ、，
例1、 设满足关系式，且,
，则在点处 A
A、取得极大值 B、取得最小值
C、在某邻域内单增 D、在某邻域内单减
例2．已知函数对一切满足
如，，则 A
A、 是的极小值
B、是的极大值
C、是曲线的拐点
D、不是的极值，也不是曲线 的拐点。
例3． 设函数在的某邻域内可导，，
，则是的极 大 值。

2、函数的最大值与最小值
（1）求出内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值。
（2）在内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值；如是极大值则为最大值。
（3）如分别为最小, 最大值。
（4）实际问题据题意可不判别。

例1、 在抛物线上的第一象限部分求一点P，过P点作切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。
解：设切点为，切线方程为

即

∴ 三角形面积：

，

令 （唯一）
∴ 故 为所求点

3、曲线的凹凸、拐点及渐近线
在I上可导
如则曲线是凹（凸）的,
在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。
可能的拐点 和 不存在的点

例1、 设，试讨论的性态。

x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,1)
1
(1,+ ∞)
y’
+
0
-
间
断
+
0
+
y’’
-
-
-
-
0
+
y
单调增
上凸
极大值

单减
上凸
单增上凸
拐点
(1,0)
单增
下凸

渐近线 如 则称为水平渐近线
如 则称为垂直渐近线
渐近线可能没有，或多条。
例2、 求 渐近线 （斜渐近线不讨论）
解：
∵
∴ 为水平渐近线
∵
∴ 垂直渐近线

例2、 曲线的渐近线有 4 条

4 证明不等式
（1）利用中值定理（RL）；
（2）利用函数单调性；
（3）利用最值；
（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式；
（5）利用函数凹凸性；
（6）利用泰勒公式。

例1、 当，试
即证：

证： 设 ，在连续，可导，
由拉格朗日中值定理

即
∴

例2、设，证明
证： 设

单增，当
∴
设

单增，当
∴

例3、当 证明
证： 令

令得
驻点唯一，
∵
∴ 极小
∴ 为最小值
即

例4、 当
证明
证:
设

令 ,
驻点唯一

当 , → 在上
最大值为 ,最小值为
∴

例5、 设，证明
证明：即 证
设
，
时 ∴ 单减 当
即

例6、 设在上可导，且单调减，
证明： ，。
证： 令

∵ 单调减
， ，
∴ ，即单调减
，
即
作业：见课后习题