第七章 无穷级数.doc

第七章 　无穷级数

第一节 数项级数

１. 数项级数
２. 数项级数的收敛与发散
３. 级数　交错项级数
４. 无穷数列的和

概述 在这一节中，我们介绍了数项级数和数项级数的收敛与发散，介绍了级数和交错项级数．

７.１.１数项级数

　　有无穷数列，我们把它的所有项的和记为，即
．
所谓数项级数就是无穷数列的所有项的和．
例１　无穷数列的所有项的和就是一个数项级数．
数项级数的前项的和，我们一般记为，即
．
我们规定．如果收敛，我们称数项级数收敛；如果发散，我们称数项级数发散．
例２　无穷数列是否收敛？如果收敛，求其值．
解　

所以　　
所以收敛，．
定理１　数项级数收敛，则．
例３　无穷数列是否收敛？为什么？
解
无穷数列发散．

７.１.３.　级数

级数是一类常见的级数，它们的是（是常数）．关于级数的收敛与发散，我们有：
定理２　级数．当时，级数收敛当时，级数发散．

７.１.４.交错项级数

交错项级数是一类常见的级数，它们的一般形式是
．（其中）
关于交错项级数的收敛与发散，我们有：
定理３（莱布尼兹）如果交错项级数
．（其中）
满足下列条件，则该级数收敛：
（１）；
（２）．
例４　无穷数列是否收敛？为什么？
解　根据定理3 （1） (2)
所以无穷数列收敛

７.１.５. 无穷数列的和
定理４　级数，级数，则
（１） 级数；
（２） 级数
例５　级数，级数，求
（１） 级数；
（２） 级数
解 （1）
　　（2）

第二节 正项级数

１. 正项级数
２. 正项级数的比较判别法 比值判别法　
３. 绝对收敛与条件收敛

概述 在这一节中，我们系统学习正项级数和它收敛的两个判别法，同时介绍一般项级数的绝对收敛与条件收敛．

７.２.１正项级数
数项级数的每一项，我们把这样的级数叫做正项级数．
例１　（１）级数是正项级数．
　　（２）数项级数是正项级数．
７.２.２. 正项级数的比较判别法 比值判别法　
定理１　正项级数和正项级数，满足
（１），其中是常数；
（２）正项级数收敛，
则正项级数也收敛．

定理２　正项级数和正项级数，满足
（１），其中是常数；
（２）正项级数发散，
则正项级数也发散．
定理１和定理２给我们提供了一个判定正项级数是否收敛的方法，该方法被称为正项级数的比较判别法．
例１　判定下列正项级数是否收敛：
（１）
（２）
解 （1）
而级数收敛，
也收敛.
（2）
而级数发散，
也发散.

定理３　（１）如果正项级数 满足（常数），则正项级数收敛；
（２）如果正项级数 满足（常数），则正项级数发散．
例２　判定下列正项级数是否收敛：
（１）
（２）
解 （1）
所以收敛.
　　　（2）
所以发散．

７.２.３. 绝对收敛与条件收敛

级数的通项有时是正号，而有时是负号，这样的级数叫做变号级数．如就是一个变号级数．
定理４　如果正项级数收敛，则变号级数 也收敛．反之不真．
从上面的定理可以知道，正项级数收敛，变号级数也收敛，我们称这样的收敛为绝对收敛；如果变号级数收敛，而正项级数发散，我们称级数为条件收敛．
例３　判定下列变号级数的收敛情况：
（１）
（２）
解 （1） 因为收敛，
所以绝对收敛.
　　（2）是发散的，
而是交错级数，满足交错级数收敛的条件，
所以条件收敛.

第三节 幂级数

１. 函数项级数　收敛点　发散点　收敛域
２. 幂级数　
３. 几个基本初等函数展开成幂级数

概述 在这一节中，我们学习幂级数和如何将函数展开成幂级数．

７.３.１函数项级数

级数的项是函数，即

我们把这样的级数叫做函数项级数， 当时数项级数收敛，我们称函数项级数在处收敛，或称是函数项级数的一个收敛点；当时数项级数发散，我们称函数项级数在处发散，或称是函数项级数的一个发散点．函数项级数的全体收敛点，我们称为收敛域．
例１　讨论函数项级数的收敛域．
解
当时，，
所以数项级数在内收敛于，当时，是发散的．

７.３.２幂级数

函数项级数

其中都是常数，称为幂级数，叫做第次项的次数．我们主要讨论的幂级数，即．
　　如果幂级数在区间上是收敛的，在上是发散的，我们把叫做幂级数的收敛半径．在处是否收敛将根据具体的级数而定．
定理１　幂级数，如果
　　　　　　　（），
幂级数的收敛半径

例１　求幂级数的收敛半径，讨论收敛域．
解　，
所以收敛半径是，
当时，，为调和级数，发散;
当时，，为交错级数，收敛，
所以的收敛域为．

７.３.３. 几个基本初等函数展开成幂级数

函数在处有任意阶导数，那么幂级数

称为函数在处的泰勒级数．特别地，当时，函数在处的泰勒级数也叫做马克劳林级数．在一定条件下，函数在处的泰勒级数就等于函数（读者可以查阅其它的微积分教材）．函数的泰勒级数就等于函数时，我们说函数可以展开成泰勒级数或幂级数．下面是几个基本初等函数展开成幂级数：
定理２
（１）．

（２）．
（３）．
（４）．

．