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角动量定理及角动量守恒定律
一、力对点的力矩：

如图所示，定义力对O点的力矩为：
大小为：
力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时，拇指指向的方向就是力矩的方向。

二、力对转轴的力矩：
力对O点的力矩在通过O点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。
1）力与轴平行，则；
2）刚体所受的外力在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之间的距离称为力对转轴的力臂。力的大小与力臂的乘积，称为力对转轴的力矩，用表示。力矩的大小为：
或：
其中是与的夹角。
3）若力不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面内的分力，只有分力才对刚体的转动状态有影响。
对于定轴转动，力矩的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。

三、合力矩对于每个分力的力矩之和。
合力
合外力矩
即
四、质点的角动量定理及角动量守恒定律
在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线)动量所起的作用相类似。
在研究力对质点作用时，考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；考虑力对空间的累积作用时，引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容。本节主要讨论的是绕定轴转动的刚体的角动量定理和角动量守恒定律，在这之前先讨论质点对给定点的角动量定理和角动量守恒定律。
下面将从力矩对时间的累积作用，引入的角动量的概念，讨论质点和刚体的角动量和角动量守恒定律。
1．质点的角动量（Angular Momentum）——描述转动特征的物理量
1）概念
一质量为m的质点，以速度运动，相对于坐标原点O的位置矢量为，定义质点对坐标原点O的角动量为该质点的位置矢量与动量的矢量积，即

角动量是矢量，大小为
L=rmvsinα

式中α为质点动量与质点位置矢量的夹角。
角动量的方向可以用右手螺旋法则来确定。
角动量的单位： kg.m2.s-1
2）说明：
（1）大到天体，小到基本粒子，都具有转动的特征。但从18世纪定义角动量，直到20世纪人们才开始认识到角动量是自然界最基本最重要的概念之一，它不仅在经典力学中很重要，而且在近代物理中的运用更为广泛。
例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电子本身还有自旋运动，具有自旋角动量等等。原子、分子和原子核系统的基本性质之一，是它们的角动量仅具有一定的不连续的量值。这叫做角动量的量子化。因此，在这种系统的性质的描述中，角动量起着主要的作用。

（2）角动量不仅与质点的运动有关，还与参考点有关。对于不同的参考点，同一质点有不同的位置矢量，因而角动量也不相同。因此在说明一个质点的角动量时，必须指明是相对于哪一个参考点而言的。
（3）角动量的定义式与力矩的定义式形式相同，故角动量有时也称为动量矩——动量对转轴的矩。
（4）若质点作圆周运动，，且在同一平面内，则角动量的大小为L=mrv=mr2ω，写成矢量形式为
（5）质点作匀速直线运动时，尽管位置矢量变化，但是质点的角动量保持不变。
L=rmvsinα=mvd

2．质点的角动量定理（Theorem of Angular Momentum）
（1）质点的转动定律
问题：讨论质点在力矩的作用下，其角动量如何变化。
设质点的质量为m，在合力的作用下，运动方程为

用位置矢量叉乘上式，得

考虑到

和
得
由力矩
和角动量的定义式
得
表述：作用于质点的合力对参考点O的力矩，等于质点对该点O的角动量随时间的变化率，有些书将其称为质点的转动定律（或角动量定理的微分形式）。
这与牛顿第二定律在形式上是相似的，其中M对应着F，L对应着P。
（2）冲量矩和质点的角动量定理
把上式改写为
为力矩和作用时间的乘积，叫作冲量矩。对上式积分得

式中和分别为质点在时刻t1和t2的角动量，为质点在时间间隔t2- t1内所受的冲量矩。
质点的角动量定理：对同一参考点，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。
成立条件：惯性系
3．质点的角动量守恒定律（Law of Conservation of Angular Momentum）
若质点所受的合外力矩为零，即M=0，则

这就是角动量守恒定律：当质点所受的对参考点的合外力矩为零时，质点对该参考点的角动量为一恒矢量。
说明：
(1)质点的角动量守恒定律的条件是M=0，这可能有两种情况：
l 合力为零；
l 合力不为零，但合外力矩为零。
例如：质点作匀速圆周运动就是这种情况。质点作匀速圆周运动时，作用于质点的合力是指向圆心的所谓有心力，故其力矩为零，所以质点作匀速圆周运动时，它对圆心的角动量是守恒的。不仅如此，只要作用于质点的力是有心力，有心力对力心的力矩总是零，所以，在有心力作用下质点对力心的角动量都是守恒的。太阳系中行星的轨道为椭圆，太阳位于两焦点之一，太阳作用于行星的引力是指向太阳的有心力，因此如以太阳为参考点O，则行星的角动量是守恒的。
特例：（1）在向心力的作用下，质点对力心的角动量都是守恒的；
（2）匀速直线运动。
（2）角动量守恒定律是物理学的另一基本规律。在研究天体运动和微观粒子运动时，角动量守恒定律都起着重要作用。
[典型例题]

1、如图所示，一静止的均匀细棒，长为L、质量为M，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O在水平面内转动，转动惯量为ML2/3．一质量为m、速率为v的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v/2，则此时棒的角速度应为
(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．
解：角动量守恒 , , ∴ 选（D）
2．在一光滑水平上，有一轻弹簧，一端固定，一端连接一质量m=1kg的滑块，如图所示。弹簧自然长度l0=0.2m，倔强系数k=100N·m-1。设t=0时，弹簧长度为，滑块速度v0=5m·s-1，方向与弹簧垂直。在某一时刻，弹簧位于与初始位置垂直的位置，长度l=0.5m。求该时刻滑块速度的大小和方向。
解：

解得

3．假设卫星环绕地球中心作圆周运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的
(A) 角动量守恒，动能也守恒． (B) 角动量守恒，动能不守恒．
(C) 角动量不守恒，动能守恒． (D) 角动量不守恒，动量也不守恒．
提示：卫星所受唯一外力为万有引力，是“有心力”，故角动量守恒；该外力不做功，故动能守恒。

4．若作用于一力学系统上外力的合力为零，则外力的合力矩____________（填一定或不一定）为零；这种情况下力学系统的动量、角动量、机械能三个量中一定守恒的量是
____________．
提示：反例如：合力为0，但合力矩不为0，此时动量一定守恒。

5．一根长为l的细绳的一端固定于光滑水平面上的O点，另一端系一质量为m的小球，开始时绳子是松弛的，小球与O点的距离为h．使小球以某个初速率沿该光滑水平面上一直线运动，该直线垂直于小球初始位置与O点的连线．当小球与O点的距离达到l时，绳子绷紧从而使小球沿一个以O点为圆心的圆形轨迹运动，则小球作圆周运动时的动能EK与初动能EK0的比值EK / EK0 = _______________ ．
提示：小球运动过程角动量守恒：

6．如图所示，在中间有一小孔O的水平光滑桌面上放置一个用绳子连结的、质量m = 4 kg的小块物体．绳的另一端穿过小孔下垂且用手拉住．开始时物体以半径R0 = 0.5 m在桌面上转动，其线速度是4 m/s．现将绳缓慢地匀速下拉以缩短物体的转动半径．而绳最多只能承受 600 N的拉力．求绳刚被拉断时，物体的转动半径R等于多少？
提示：N、G合力矩为0，T为有心力，故物体角动量守恒：
①
又有拉力提供向心力：
②
联立①②可解

7．在光滑的水平面上，有一根原长l0 = 0.6 m、劲度系数k = 8 N/m的弹性绳，绳的一端系着一个质量m = 0.2 kg的小球B，另一端固定在水平面上的A点．最初弹性绳是松弛的，小球B的位置及速度如图所示．在以后的运动中当小球B的速率为v时，它与A点的距离最大，且弹性绳长l = 0.8 m，求此时的速率v及初速率v0．
提示：小球受G、N、T，前两项力矩之和为0，后者为有心
力。故小球角动量守恒：
①
又滑动过程中只有T作功，
故小球与弹性绳机械能守恒：
②
联立①②可解。

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