太阳方位角的计算.doc

求太阳升起的方位角
广东省佛山市顺德区一中 刘华新
太阳从何方升起，这似乎是一个再简单不过的问题，一般人会不假思索地回答是从东方升起。从总体上来说，这也是对的，但是这种情况只能是说从全年的平均情况看是这样的。对于我们有了一定的地理知识，特别是有了地球运动、地平圈、方位角、天球概念有关知识的人来说就不能简单地这么认为了。
实际上在不同的季节、不同的纬度，太阳升起的方位角是不同的，不一定是从正东方升起。在夏季时，较高纬度地区太阳可以从东偏北50°到60°甚至更高角度升起，在西偏北同样的角度落下；冬季时可以从东偏南50°或者更多升起，在西偏南50°或以上落下。这时候我们还能说太阳是从东方升起吗？显然不能这么说。所以我们在夏天时可以说：“一轮红日从东北方升起，在西北方落下”。
那么怎样来准确计算太阳升起的方位角呢？这里我们来推导一个计算公式，把地理概念和数学中的立体几何知识结合起来就不难解决这个问题了。
例：当太阳直射北纬20度时，求北纬30度地区太阳升起的方位角。
具体解决这个问题我想可以通过下面的8个步骤来解决和说明
（1） 我们可绘如下的图
图一
设观测者在北纬30度线上的某一点A点上，则D圈为A点所在的地平圈（注意地平圈一定与观测点A点到地心O的连线是垂直的，另外由图中可看出地平圈与赤道平面的夹角即二面角为60度）。
地平圈和赤道（这里理解为天赤道）的交点E为正东方（东点）、交点W为正西方（西点）。另外，N为正北、S为正南、O为地心。
（2）还是见上面的图（图一），设地平圈与北纬20°的交点为B。
由于太阳直射在北纬20°线上，随着地球的自转，总有一刻太阳会直射到B点，光线同时指向地心O，太阳和地平圈在同一平面上，这时候A点的人太阳刚好可看到太阳升起。（为什么这样说呢？这里我们要引入天球的概念，地平圈和赤道都无限延伸与天球面相交，在天球尺度上，地球可以认为是一个点，位于天球的中心。图中的观测点A可以认为就在地平圈的中心点，也就是图中地心O点。本文中的图一、二、六都是天球尺度。）
显然太阳不是从正东点E升起的，而是偏北升起的。偏北多少呢？我们只要求出地平圈上BE弧段所对应的弧度（即∠BOE，设为α）就行了，这是解题的关键，接下来就是一个纯数学的问题了。
（3）如何求BE弧段所对应的弧度呢？我们又可画如下的图（图二）

图二 图三
画过B点的经线L与赤道交于F点，再象切西瓜一样取出锥体O---BEF，又可画右面的图（图三）。
（4）现在专门研究锥体O---BEF（也可见图四）求出∠BOE（即角α）。
不难理解平面BFO与平面EFO垂直（这是因为经线圈平面与赤道平面是垂直的）。由于观测者在A点所处的纬度为30度，他所在的地平面与赤道的二面角就是90°- 30°=60°[见前面的图二就可以推导出了，步骤（1）已交代过]，所以地平面BEO块与赤道平面上的EFO块的二面角也是60°。由于B点的纬度是20°，所以∠BOF是20°（设为β，见图四）。设地球的半径为R，则BO、EO、FO都为R，它们是相等的。
（5）计算：过B点作分别交于FO、EO的垂线BH、BK。我们又可画如下左面的图（四），

图四（立体视图） 图五
再从左图中取出三角形BHK（见图五）
不难理解三角形BHK一定是直角三角形。
我们可知道BH = Rsin∠BOF = Rsin20°(根据正弦公式)
∠BKH = 60°（即平面BEO与EFO的二面角，因BH垂直于平面EFO，BK垂直于EO，根据二面角有关定理可推导出∠BKH = 60°，即平面BEO与EFO的二面角）。
所以BK = = ， 知道了BK的长度，在图四的直角三角形BKO中可以求出∠BOK，即是∠BOE为α，也就是太阳升起的方位角了。
因为sinα = = = =
所以利用反三角函数可知α = arcsin
所以A点（北纬30度）在太阳直射北纬20度时，太阳升起的方位角是东偏北arcsin = arcsin0.3949 = 23.26°
由此我们可以推导出公式α= arcsin
或可写成α= arcsin
α为太阳升起的方位角，
为太阳直射点纬度，为当地的地理纬度。
（6） 由公式可知，当太阳直射点的纬度一定时，纬度越高时，
α的值越大，即太阳偏离正东方升起的角度越大。
验证：例如当太阳直射在北纬20°时，北纬70°的太阳升起的方位角是 α = arcsin= arcsin1=90°。这说明了太阳是从正北点升起，又在正北点落下。或者理解为落下的一瞬间又升起，一天内太阳都在地平面上，说明了这里是极昼，符合客观事实。同理可证当太阳直射于赤道时，偏角α等于零，全球各地日出于正东方。
对于赤道这个特殊点来说，方位角就等于太阳直射点的纬度数，即α= arcsin= arcsin[sin]=
公式反映情况符合客观事实。
（7）应用：太阳直射在北半球时，δ取正值；太阳直射在南半
球时，δ取负值。不论观测者在南半球还是在北半球，偏角α为正时，方位角偏北；α为负时，方位角偏南。
适用范围：凡是没有极昼、极夜的地方都适用。
（8）意义：帮助我们理解不同纬度、不同季节太阳升起方位角的不同。还可以帮助我们理解同一地点的地平圈上不同季节太阳的周日运动的视图（即我们经常在资料上见到的如下的图六）。对于理解高纬度地区昼夜长短变化大也有指导意义。
地平圈中心为观测者，显然夏季时太阳是从东偏北的地方升起，在西偏北的地方落下，偏角为α

图六：北半球中纬度某地二分二至太阳在地平圈上的视运动图
用相同的几何方法，考虑非特殊的情况，进一步推导，我们还可得到球面三角公式。因为本文推导的公式可以说是球面公式的特殊情况，实际上不自觉地为全面的球面三角公式的推导打下了基础。所以说对本公式的进一步引伸和推导，我们还可以计算出不同时刻，不同地点的地平面上各天体的位置（地平方位和地平高度），对天文观测，对寻找天体都会有帮助。

刘华新
2002年11月
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