1、3.4确定圆的条件
教学过程
一、类比联想，提出问题
1．提问：确定一条直线的条件是什么？
学生回答：两点确定一条直线．
2．我们知道，两点确定一条直线，那么，对于圆来讲，是否也存在由几点确定一个圆的问题呢？
提出问题，让学生思考，并进一步讨论：
(1)经过一个点A，是否可以作圆？如果能作，可以作几个？
学生讨论回答后，请一名学生上黑板作图(如图)，并得出：经过一个点A作圆很容易，只要以点A外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数多个．
(2)经过两个点A，B如何作圆呢？能作几个？
同样，在学生讨论回答的基础上，再让一名学生上黑板作图，并
2、得出：经过两个点A，B作圆，只要以与点A，B距离相等的点为圆心，即以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A或点B的距离为半径就可以作出，这样的圆也有无数多个.(如图)
(以上两点由于有前边两节课的知识作铺垫，学生比较容易作出．)
二、动手实践，发现新知
下面来研究，经过三个已知点作圆又会怎么样呢？
仍然让学生讨论，自己动手作图，这时，学生会发现：由于两点确定一条直线，因此三个点就有在同一直线上的三点和不在同一直线上的三个点两种情况．
1．作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点．
例1 已知：不在同一直线上的三个已知点A，B，C(如图)
求作：⊙O，使它经过点A
3、B，C.
分析：作圆的关键是确定圆心和半径．
由于所作圆要经过已知点，所以如果圆心的位置确定了，那么圆的半径也就随之确定．因此，这个问题就转化为找圆心的问题．
因为所求的圆要经过A，B，C三点，所以圆心到这三点的距离相等．因此，这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上，显然这两条垂直平分线交于一点且到这三点的距离相等．可见圆心、半径都确定了，圆便可以作出．
教师在黑板上作圆，学生口述，教师写作法，学生随教师一起作图．
证明：因为⊙O的半径为OA，
所以点A在⊙O上，即⊙O经过点A，
又因为点O在AB的垂直平分线DE上，
所以OB＝OA则⊙O经过点B
4、．
同理可证⊙O经过点C．
所以⊙O是所求的圆．
结合以上作法和证明，请同学回答：
师：经过不在同一直线上的三点A，B，C的圆是否存在？
生：存在．
师：是否还有其他符合条件的圆呢？
生：没有．
师：根据是什么？
生：线段AB，BC的垂直平分线有且只有一个交点.
这说明所作的圆心是唯一的，从而半径也是唯一的，则所作圆是唯一的．在黑板上写出：
定理 过不在同一直线上的三个点确定一个圆．
2．过同一直线上的三点能不能做圆呢？我们不妨试试看．
教师和学生一起用圆规和直尺按照上面的作法作圆，看能否作出圆来，再看不按上面的作法是否有办法作圆．实践的结果是不能作圆．
实际上，假
5、定过A，B，C三点可以作圆，不妨设这个圆心为O．
由点的轨迹可知，点O在线段AB的垂直平分线l′上，并且在线段BC的垂直平分线l″上，即点O为l′与l″的交点，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾．(如图所示)．
所以，过同一直线上的三点不能作圆．
3．现在我们回过头来再看看，由于任意一个三角形的三个顶点都不在同一直线上，所以由定理可知，经过三角形三个顶点可以作且只能作一个圆．
接下来介绍有关概念：
(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形．
(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个
6、三角形的外心.
由上面作图方法还可以看出：三角形的外心是三角形三边中垂线的交点．
三、应用举例，巩固新知
练习1 判断题(投影打出)
(1)经过三个点一定可以作圆． ( )
(2)任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆． ( )
(3)任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形． ( )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等． ( )
(经过练习，巩固前边所学的知识)
练习2 工人师傅要铸造一个和残轮片(图5)同样大小的圆轮，需要知道它的半径，你能用本课所学知识，帮助工人师傅解决这一问题吗？写出具体作法．
分析：要想知道圆轮的半径，只要作出
7、圆轮残片所在圆的圆心，而从本节所学定理可知，经过不在同一直线上的三个点可确定一个圆，于是可在残片的圆弧上任取三点，作过此三点的圆，即可确定残片的圆心和半径．
(此题实际上是一个作图题，可由学生口述，教师板演)
四、师生共同小结
1．先由教师提出问题：
(1)这节课我们主要学习了哪些具体内容？
(2)用什么方法解决过已知点作圆的问题？
(3)学习本节知识需要注意哪些问题？
2．在学生回答的基础上，教师加以小结：
(1)本节课我们主要学习了经过不在同一直线上的三点作圆的问题．
(2)我们在分析过已知点作圆的问题时，紧紧抓住对圆心和半径的探讨．已知圆心和半径就可作一个圆，这是从圆的定义引出的基本思想，因此作圆的问题，是如何根据已知条件找圆心和半径的问题．由于作圆要经过已知点，如果圆心的位置确定了，圆的半径也就随之确定．因此作圆的问题就又变成了找圆心的问题．
(3)学习本节定理，必须注意强调三个点的位置关系，只有当三个点不在同一直线上时，才能确定一个圆，笼统地说“三点确定一个圆”是不确切的．
关于“内接”与“外接”这两个术语，学生常常混淆不清，应指出，“内”与“外”是相对的概念，以一个图形为准，说明另一个图形是在它的里面或外面，这样内外关系即可自明．
五、作业
课本中相关习题
思考题：经过4点(或4个以上的点)是不是一定能作圆？
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