排列与组合的综合问题.doc

g3.1092 排列与组合的综合问题

一、知识梳理
1.排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合问题的基本思维是“先组，后排”.
2.解排列组合的应用题，要注意四点：
（1）仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步.
（2）深入分析、严密周详，注意分清是乘还是加，既不少也不多，辩证思维，多角度分析，全面考虑，这不仅有助于提高逻辑推理能力，也尽可能地避免出错.
（3）对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解决.
（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看是否相同.在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复.
二、基础训练
1.（04福建）某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为
A. AC B. AC C. AA D. 2A
2.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为
A.24 B.48 C.120 D.72
3. 5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为
A.480 B.240 C.120 D.96
4.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_____________个.（用数字作答）
5.市内某公共汽车站有10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有_____________种.（用数字作答）
例1. 从6名短跑运动员中选4人参加4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法?
例2. 对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止.若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?
思考讨论
用类似的方法，讨论如下问题.
某种产品有5件不同的正品，4件不同的次品，现在一件件地进行检测，直到4件次品全部测出为止，则最后一件次品恰好在第6次检测时被测出，这样的检测方案有多少种？
提示：问题相当于从10件产品中取出6件的一个排列，第6位为次品，前五位有其余3件次品，可分三步：先从4件产品中留出1件次品排第6位，有4种方法；再从5件正品中取2件，有C种方法；再把3件次品和取出的2件正品排在前五位有A种方法.所以检测方案种数为4×C·A=4800.
例3. 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有多少种？
例4. 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是
A.234 B.346 C.350 D.363
例5. （1）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法?
（2）一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法?
例6. 已知1（1+n）m.

四、同步练习 g3.1092 排列与组合的综合问题

1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有
A.24种 B.18种 C.12种 D.6种
2.四个不同的小球全部随意放入三个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法种数为
A.AA B.CA C.CA D.CCC
3．（05湖北卷）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数
A．168 B．96 C．72 D．144
4.（05江苏卷）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为
A）96 （B）48 （C）24 （D）0
5．从6名短跑运动员中选出4人参加4 × 100米接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有
A．180种 B．240种 C．300种 D．360种

6.书架上原有5本书，再放上2本，但要求原有书的相对顺序不变，则不同的放法有_____________种.
7.（04浙江）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有__________种.（用数字作答）
8.在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法?
9. 18人的旅游团要选一男一女参加生活服务工作，有两位老年男人不在推选之列，共有64种不同选法，问这个团中男女各几人?

10. 如下图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有多少种不同的涂色方法?

11. 6名运动员分到4所学校去做教练，每校至少1人，有多少种不同的分配方法?

参与答案
基本训练
1. 将4名学生均分成两组，方法数为C，再分配给6个年级中的2个，分配方法数为A，∴合要求的安排方法数为C·A.
答案：B
2.若不含A，则有A种；若含有A，则有C·C·A种.∴A+C·C·A=72.
答案：D
3.先把5本书中的两本捆起来（C），再分成四份（A），∴分法种数为C·A=240.
答案：B
4.①四位数中包含5和0的情况：
C·C·（A+A·A）=120.
②四位数中包含5，不含0的情况：
C·C·A=108.
③四位数中包含0，不含5的情况：
CCA=72.
综上，四位数总数为120+108+72=300.
答案：300
5.把四位乘客当作4个元素作全排列有A种排法，将一个空位和余下的4个空位作为一个元素插空有A种排法.∴A·A=480.
答案：480
例题分析
例1.解法一：问题分成三类：（1）甲、乙两人均不参加，有A种；（2）甲、乙两人有且仅有一人参加，有2C（A－A）种；（3）甲、乙两人均参加，有C（A－2A＋A）种.故共有252种.
解法二：六人中取四人参加的种数为A，除去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位置的有C A种，因前后把甲、乙两人都不在恰当位置的种数A减去了两次.故共有A－C A＋A=252种.
评述：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种方法处理.
例2.解：C（CC）A=576，第5次必测出一次品，余下3件在前4次被测出，从4件中确定最后一件品有C种方法，前4次中应有1正品、3次品，有CC种，前4次测试中的顺序有A种，由分步计数原理即得.
评述：本题涉及一类重要问题，即问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列.
例3.解：依题意，A、B两种作物的间隔至少6垄，至多8垄.（1）间隔6垄时，有3×A种；（2）间隔7垄时，有2×A种.（3）间隔8垄时，有A种.所以共有3A+2A+A=12种种植方法.
例4.解法一：分类讨论法.
（1）前排一个，后排一个，2C·C=192.
（2）后排坐两个（不相邻），
2（10+9+8+…+1）=110.
（3）前排坐两个，2·（6+5+…+1）+2=44个.
∴总共有192+110+44=346个.
解法二：考虑中间三个位置不坐，4号座位与8号座位不算相邻.
∴总共有A+2+2=346个.
答案：B
评述：本题考查分类讨论在解排列组合应用题中的运用.这是一道难度较大的小综合题.
例5.解：（1）先将3人（用×表示）与4张空椅子（用□表示）排列如图（×□□×□□×），这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，一是分开插入，如图中箭头所示（↓×□↓□×□↓□×↓），从4个空当中选2个插入，有C种插法；二是2张同时插入，有C种插法，再考虑3人可交换有A种方法.
所以，共有A（C+C）=60（种）.
下面再看另一种构造方法：
先将3人与2张空椅子排成一排，从5个位置中选出3个位置排人，另2个位置排空椅子，有AC种排法，再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间，只有1种插法，所以所求的坐法数为A·C=60.
（2）可先让4人坐在4个位置上，有A种排法，再让2个“元素”（一个是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位）插入4个人形成的5个“空当”之间，有A种插法，所以所求的坐法数为A·A=480.
例6.证法一：由二项式定理（1+m）n=Cm0+Cm1+…+Cmn，
（1+n）m=Cn0+Cn1+…+C，
又因为C=，C=，
而Ami>A，所以Cm2>C，C>Cn3，…，C>C.
又因为C=C，C=C，
所以（1+m）n>（1+n）m.
证法二：（1+m）n>（1+n）m
nln（1+m）>mln（1+n）
>.
令f（x）=，x∈［2，+∞］，
只要证f（x）在［2，+∞］上单调递减，只要证f ′（x）<0.
f ′（x）==.
当x≥2时，x－lg（1+x）<0，
x2（1+x）>0，得f ′（x）<0，即x∈［2,+∞］时，f ′（x）<0.
以上各步都可逆推，得（1+m）n>（1+n）m.

作业：1—4 BBDBB 6. 42 7. 5
8. 解法一：添加的三个节目有三类办法排进去：①三个节目连排，有CA种方法；②三个节目互不相邻，有A种方法；③有且仅有两个节目连排，有CCCA种方法.根据分类计数原理共有CA+A+CCCA=504种.
解法二：从结果考虑，排好的节目表中有9个位置，先排入三个添加节目有A种方法，余下的六个位置上按6个节目的原有顺序排入只有一种方法.故所求排法为A=504种.
解法三：=504.
评述：插空法是处理排列、组合问题常用的方法.

9.解：设这个团中有男人x人，则有女人18－x人，根据题意得C· C=64.解得x=10.
∴这个团中有男10人，女8人.
10.解法一：依题意，给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：
第一类，用4种颜色涂色，有A种方法；
第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有C种；在涂的过程中，选对顶的两部分（A、C或B、D）涂同色，另两部分涂异色有C种选法；3种颜色涂上去有A种涂法.共C·C·A种涂法；
第三类，用两种颜色涂色.选颜色有C种选法；A、C与B、D各涂一色有A种涂法.共C·A种涂法.
所以共有涂色方法A+C·C·A+C·A=260种.
解法二：区域A有5种涂色法；区域B有4种涂色法；区域C的涂色法有2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色法，区域D也有3种涂色法.
所以共有5×4×4+5×4×3×3=260种涂色法.
11.解法一：先取人，后取位子.
1，1，1，3：6人中先取3人有C种取法，与剩余3人分到4所学校去有A种不同分法，∴共CA种分法；
1，1，2，2：6人中取2人、2人、1人、1人的取法有C·C·C种，然后分到4所学校去，有种不同的分法，共C·C·C·种分法.所以符合条件的分配方法有CA+C·C·C·=1560种.
解法二：先取位子，后取人.
1，1，1，3：取一个位子放3个人，有C种取法，6人中分别取3人、1人、1人、1人的取法有C·C·C·C种，∴共有C·C·C·C·C种.
1，1，2，2：先取2个位子放2（其余2个位子放1）有C种取法，6人中分别取2人，2人，1人，1人的取法有C·C·C·C种，共有C·C·C·C·C种.
所以符合条件的分配方法有C·C·C·C+C·C·C·C=1560种.