1、2.4 二次函数的应用（2）
◆目标指引
1．运用二次函数的知识去分析问题、解决问题，并在运用中体会二次函数的实际意义．
2．体会利用二次函数的最值方面的性质解决一些实际问题．
3．经历把实际问题的解决转化为数学问题的解决的过程，学会运用这种“转化”的数学思想方法．
◆要点讲解
1．在具体问题中经历数量关系的变化规律的过程，运用二次函数的相关知识解决简单的实际问题，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
2．运用函数思想求最值和数形结合的思想方法研究问题．
◆学法指导
1．当涉及最值问题时，应运用二次函数的性质选取
2、合适的变量，建立目标函数，再求该目标函数的最值，求最值时应注意两点：（1）变量的取值范围；（2）求最值时，宜用配方法．
2．有关最大值或最小值的应用题，关键是列出函数解析式，再利用函数最值的知识求函数值，并根据问题的实际情况作答．
◆例题分析
【例1】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始，沿着AB向点B以1cm/s的速度移动；点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设P，Q同时出发，问：
（1）经过几秒后P，Q的距离最短？
（2）经过几秒后△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
【分析】这是一个动点问
3、题，也是一个最值问题，设经过ts，显然AP和BQ的长度分别为AP=t，BQ=2t（0≤t≤6）．PQ的距离PQ==．因此，只需求出被开方式5t2－12t+36的最小值，就可以求P，Q的最短距离．
【解】（1）设经过ts后P，Q的距离最短，则：
∵PQ====
∴经过s后，P，Q的距离最短．
（2）设△PBQ的面积为S，
则S=BP·BQ=（6－t）·2t=6t－t2=9－（t－3）2
∴当t=3时，S取得最大值，最大值为9．
即经过3s后，△PBQ的面积最大，最大面积为9cm2．
【注意】对于动点问题，一般采用“以
4、静制动”的方法，抓住某个静止状态，寻找等量关系．在求最值时，可用配方法或公式法，同时取值时要注意自变量的取值范围．
【例2】某高科技发展公司投资1500万元，成功研制出一种市场需求较大的高科技替代产品，并投入资金500万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价若增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利额（年获利额=年销售额－生产成本－投资）为z（万元）．
（1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（2）试写出z与x之间的函
5、数关系式（不必写出x的取值范围）；
（3）计算销售单价为160元时的年获利额，并说明：得到同样的年获利额，销售单价还可以定为多少元？相应的年销量分别为多少万件？
（4）公司计划：在第一年按年获利额最大时确定的销售单价进行销售；第二年的年获利额不低于1130万元，请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围？
【分析】本题以传统的经济活动中的利润、销售决策问题为背景，设计成数学应用题，引导学生主动关心和参与日常生活中的经济活动，把实际问题抽象成数学问题，运用函数性质和方程知识来解题．
【解】（1）依题意知：当销售单价定为x元时，年销
6、量减少（x－100）万件．
∴y=20－（x－100）=－x+30．
即y与x之间的函数关系式是y=－x+30．
（2）由题意可得：
z=（30－x）（x－40）－500－1500=－x2+34x－3200．
即z与x之间的函数关系式为z=－x2+34x－3200．
（3）∵当x=160时，
z=－×1602+34×160－3200=－320，
∴－320=－x2+34x－3200，
即x2－340x+28800=0．
由x1+x2=－得，160+x=340，∴x=180．
即得到同样
7、的年获利额，销售单价还可以定为180元．
当x=160时，y=－×160+30=14，
当x=180时，y=－×180+30=12．
所以相应的年销售量分别为14万件和12万件．
（4）∵z=－x2+34x－3200=－（x－170）2－310，
∴当x=170时，z取得最大值为－310．
即当销售单价为170元时，年获利额最大，并且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资．
第二年的销售单价定为x元时，则年获利额为：
z′=（30－x）（x－40）－310=－x2+34x－1510．
当z′=1130时，即1130=－x2+34x－1510，
解得x1=120，x2=220．
∴函数z′=－x2+34x－1510的大致图象如图所示．
由图象可看出：
当120≤x≤220时，z≥1130．
∴第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内．
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