九年级数学上册 第二章 二次函数 2.4 二次函数的应用 名师教案4 浙教版.doc

2.4 二次函数的应用（2）目标指引 1运用二次函数的知识去分析问题、解决问题，并在运用中体会二次函数的实际意义 2体会利用二次函数的最值方面的性质解决一些实际问题 3经历把实际问题的解决转化为数学问题的解决的过程，学会运用这种“转化”的数学思想方法要点讲解 1在具体问题中经历数量关系的变化规律的过程，运用二次函数的相关知识解决简单的实际问题，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型 2运用函数思想求最值和数形结合的思想方法研究问题学法指导 1当涉及最值问题时，应运用二次函数的性质选取合适的变量，建立目标函数，再求该目标函数的最值，求最值时应注意两点：（1）变量的取值范围；（2）求最值时，宜用配方法 2有关最大值或最小值的应用题，关键是列出函数解析式，再利用函数最值的知识求函数值，并根据问题的实际情况作答例题分析 【例1】如图，在ABC中，B=90，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始，沿着AB向点B以1cm/s的速度移动；点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设P，Q同时出发，问： （1）经过几秒后P，Q的距离最短？（2）经过几秒后PBQ的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】这是一个动点问题，也是一个最值问题，设经过ts，显然AP和BQ的长度分别为AP=t，BQ=2t（0t6）PQ的距离PQ=因此，只需求出被开方式5t212t+36的最小值，就可以求P，Q的最短距离 【解】（1）设经过ts后P，Q的距离最短，则： PQ= 经过s后，P，Q的距离最短 （2）设PBQ的面积为S， 则S=BPBQ=（6t）2t=6tt2=9（t3）2 当t=3时，S取得最大值，最大值为9 即经过3s后，PBQ的面积最大，最大面积为9cm2 【注意】对于动点问题，一般采用“以静制动”的方法，抓住某个静止状态，寻找等量关系在求最值时，可用配方法或公式法，同时取值时要注意自变量的取值范围 【例2】某高科技发展公司投资1500万元，成功研制出一种市场需求较大的高科技替代产品，并投入资金500万元进行批量生产已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价若增加10元，年销售量将减少1万件设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利额（年获利额=年销售额生产成本投资）为z（万元） （1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （2）试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （3）计算销售单价为160元时的年获利额，并说明：得到同样的年获利额，销售单价还可以定为多少元？相应的年销量分别为多少万件？ （4）公司计划：在第一年按年获利额最大时确定的销售单价进行销售；第二年的年获利额不低于1130万元，请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围？ 【分析】本题以传统的经济活动中的利润、销售决策问题为背景，设计成数学应用题，引导学生主动关心和参与日常生活中的经济活动，把实际问题抽象成数学问题，运用函数性质和方程知识来解题 【解】（1）依题意知：当销售单价定为x元时，年销量减少（x100）万件 y=20（x100）=x+30 即y与x之间的函数关系式是y=x+30 （2）由题意可得： z=（30x）（x40）5001500=x2+34x3200 即z与x之间的函数关系式为z=x2+34x3200 （3）当x=160时， z=1602+341603200=320， 320=x2+34x3200， 即x2340x+28800=0 由x1+x2=得，160+x=340，x=180 即得到同样的年获利额，销售单价还可以定为180元 当x=160时，y=160+30=14， 当x=180时，y=180+30=12 所以相应的年销售量分别为14万件和12万件 （4）z=x2+34x3200=（x170）2310， 当x=170时，z取得最大值为310 即当销售单价为170元时，年获利额最大，并且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资 第二年的销售单价定为x元时，则年获利额为： z=（30x）（x40）310=x2+34x1510 当z=1130时，即1130=x2+34x1510， 解得x1=120，x2=220函数z=x2+34x1510的大致图象如图所示 由图象可看出： 当120x220时，z1130 第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内